Funksjoner

Koordinatsystem

Et koordinatsystem består av to tallinjer som står vinkelrett på hverandre. Vi kaller disse tallinjene for akser. Punktet der aksene krysser hverandre kalles for origo. Begge aksene har verdien null i origo. Den vannrette aksen kalles for x- aksen eller første aksen. Den loddrette aksen kalles for y- aksen eller andre aksen.

Et punkt kan bestemmes med to tall ( et tallpar ) som vi kaller koordinater. Tallpar skrives på formen (x, y). Origo har koordinatene (0, 0). Man oppgir alltid x- verdien først. Punktet (1, 3) har verdiene x = 1 og y = 3.

Her er eksempler på noen punkter: A (1,2), B (4,0), C (-1, -2), D (-2, 0).

På denne måten kan alle ”steder” (punkter) i et plan representeres, med en x koordinat og en y koordinat. Alle kart er laget på denne måten. X – aksen er da øst - vest retning og Y – aksen er nord – sør retningen.

Test deg selv

Funksjon

Hva er en funksjon?

La oss tenke oss en liten tunnel som det går an å kjøre en bil gjennom. Hver gang en rød bil kjører inn i tunnelen er den blå når den kommer ut. Når en svart bil kjører inn er den blå når den kommer ut. Når en grønn bil kjører inn er den blå når den kommer ut. Når en blå bil kjører inn er den blå når den kommer ut.

Hva er tunnelens funksjon?

Jo, den maler alle biler blå.

La oss tenke oss at vi har en liten boks med et hull i toppen og et i bunnen. Når vi putter et tall inn i toppen kommer et annet tall ut i bunnen. La oss gi boksen vårt et navn. La oss kalle den for Y.

Vi putter tallet 3 inn og får ut tallet 5. Vi putter tallet 1 inn og får ut tallet 3. Vi putter tallet 7 inn og får ut tallet 9. Vi putter tallet -3 inn og får ut tallet -1. Vi putter tallet -1 inn og får ut tallet 1

Hva gjør boksen? Den legger til to til det tallet som blir stappet inn i boksen. Vi kallet boksen for y? La oss kalle tallet vi putter inn for x.

Vi kan skrive dette slik matematisk:

$$y = x + 2$$

$y = x + 2$ kalles for funksjonsutrykket. Vi sier at y er en funksjon av x. Verdien av y avhenger av verdien av x. Detter er det vi kaller en lineær funksjon, dvs. en rett linje.

Funksjonssuttrykk

Funksjonen $f(x) = 2x + 5$ har funksjonsuttrykket $2x + 5$. Uttrykket forteller hva som skal gjøres med tallet som skal inn i funksjonen. I dette tilfellet skal tallet multipliseres med 2 og 5 legges til.

$f$ er navnet på funksjonen. Bokstaven i parentes er navnet på den variable. Vanlige navn er $x$ og $t$. $t$ brukes gjerne om tid. Vanlige funksjonsnavn er $f,g,h$ og $V$, for å nevne noen. Man kan gi en funksjon det navn man ønsker, men det er fornuftig å gi navn som forteller noe om hva funksjonen gjør.

Video eksempel: Hva er en funksjon?

Video eksempel: Hvordan lage funksjoner ut fra praktiske situasjoner.

Test deg selv

Graf

En graf er en kurve (linje) som viser sammenhengen mellom to variable størrelser, for eksempel x og y.

Det er viktig å legge merke til at dersom kurven representerer en funksjon finnes det bare en y-verdi for hver x-verdi. For en y-verdi kan det finnes flere x-verdier. Dersom x er forskjellige tidspunkt på dagen og y er temperaturen, betyr det at et tidspunkt kan kun ha en temperatur, men en temperatur kan ha forekommet flere tider på dagen.

Figuren viser hvordan en tilfeldig x verdi kun kan ha en tilhørende y verdi, mens en tilfeldig y verdi kan ha flere tilhørende x verdier.

Video eksempel: Fra funksjonsuttrykk, via verditabell, til graf

Test deg selv

Definisjonsmengde

Hvilke verdi den variable kan ha i funksjonen bestemmes av definisjonsmengden D. Dersom funksjonens navn er f, brukes notasjonen <math>D_f = [x_1, x_2]</math>. Alternativt bruker man <math> x \in [x_1, x_2] </math>

Verdimengde

Hvilke verdier som kommer ut av funksjonen, funksjonsverdiene, er bestemt av definisjonsmengden og av funksjonsuttrykket, Mengden av funksjonsverdier verdiene kalles Verdimengden. Om funksjonens navn er f brukes notasjonen <math> V_f </math>.

Man kan se på en funksjon som en ”bro” mellom mengder, definisjonsmengden og verdimengden.

Video eksempel: Fra Definisjonsmengde til verdimengde.

Sentrale Punkter på grafen

Nullpunkter

Nullpunkt er det samme som skjæring med x akse. Løs likningen:

f(x) = 0

Et nullpunkt er et sted der grafen til en funksjon kysser x -aksen. Dersom vi har funksjonen f(x) finner vi eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f(x) = 0. En funksjon kan ha ingen, ett eller flere nullpunkter avhengig av type funksjon, definisjonsområde og koeffisienter. Visuelt finner man nullpunktene ved å lese av verdien på x-aksen, der grafen krysser aksen.

Eksempel 1

Grafen over skjærer både x-aksen og y-aksen. Den har funksjonsuttrykk $f(x) = -0,4x+3$

Nullpunkt

\[f(x)=0 \] \[-0,4x + 3 =0 \] \[-0,4 x = -3 \] \[x = \frac{3}{0,4}\] \[x = 7,5\]

Video eksempel: Nullpunkter og skjæring med y-aksen.

Skjæring med y- akse

f(0) gir skjæring med y- akse.

Vi kaller ofte denne verdien konstantleddet. Det er et interessant punkt når man skal tegne grafen til funksjonen. Den vil være startvedien til funksjonen dersom den er definert for x verdier fra og med null og oppover, $x \in[ 0, \rightarrow>$.

Eksempel 2

Grafen over skjærer både x-aksen og y-aksen. Den har funksjonsuttrykk $f(x) = -0,4x+3$

Skjæring med y- akse: \[ f(0) = -0,4 \cdot 0 + 3 = 3 \]

Funksjonstyper

Video eksempel: Hvordan skrive funksjoner i Geogebra.

Lineære funksjoner

Det at en funksjon er lineær betyr at om vi tegner grafen i et koordinat system med X verdier på førsteaksen og Y verdier på andreaksen får vi en rett linje. Det generelle funksjonsuttrykket er:

$ y = ax + b $ eller $f(x) = ax+b$ som betyr det samme og er en mer vanlig skrivemåte.

a kalles for stigningstallet og b for konstantleddet. Dersom x er null er Y lik b. Konstantleddet b forteller hvor grafen krysser y-aksen. a forteller hvor mange enheter man beveger seg i y rettning (opp eller ned), når man beveger seg en enhet til høyre på x aksen.

Dersom a er positiv betyr det at grafen stiger mot høyre, med økende x verdi. Desto høyere a verdi, desto brattere stiger grafen.

Dersom a er negativ betyr det at y avtar mot høyre, eller med økende x verdi.

Tallet b forteller hvor grafen krysser y aksen. Når grafen krysser y- aksen er x verdien lik null.

Eksempel 3:

Vi har funksjonsuttrykket: <math> y = \frac12x + 2 </math>
Grafen ser slik ut:

Man observerer at grafen går gjennom punktet (0,2) på y aksen. Stigningstallet er <math>\frac12</math>. Det betyr at når man beveger seg en enhet til høyre må man bevege seg 0,5 (en halv) oppover i y rettning for å treffe grafen igjen.

Test deg selv

Dersom man har kontroll på stigningstall og konstantledd er det greit å tegne grafen med bare disse to størrelsene. Dersom man synes dette er vanskelig er det lurt å lage en verditabell.

Verditabell

Vi velger selv tilfeldige x- verdier. Det er gjerne lurt å velge verdier som ligger nærheten av origo.

Når vi har valgt en x- verdi setter vi den inn for x i funksjonstrykket (1). Da får vi en y verdi som hører til x verdien.

Disse resultatene setter vi inn i en tabell. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut:

Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså samhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen.

Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller.

Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner samhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet.

Eksempel 4:

Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra x = -2 til x = 2.

Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:

x	f(x)= 2x - 3	f(x)	(x, f(x))
-2	f(-2) = 2 (-2) - 3	f(-2)= -7	(-2, -7)
-1	f(-1) = 2 (-1) – 3	f(-1) = -5	(-1,-5)
0	f(0) = 2 (0) – 3	f(0)= -3	(0, -3)
1	f(1) = 2 (1)– 3	f(1)= - 1	(1, -1)
2	f(2) = 2 (2) – 3	f(2) = 1	(2, 1)

Og grafen ser slik ut:

Her har vi brukt verditabellen til å tegne en rett linje, eller en lineær funksjon. Verditabeller kan brukes til å tegne alle typer funksjoner, men det kan fort bli mye jobb med kalkulatoren.

Ettpunktsformelen

Dersom du kjenner et punkt på linjen og stigningstallet kan du finne funksjonsutrykket ved å bruke følgende formel:

<math> y-y_1 = a(x-x_1) </math>

a er stigningstallet og <math>(x_1 , y_1) </math> er koordinatene til punktet.

Eksempel 5:

Hva er funksjonsuttrykket til en funksjon som har stigningstall 2 og går gjennom punktet (-2,-1)?

<math> y-(-1) = 2(x-(-2)) </math>

<math> y = 2x + 3 </math>

Test deg selv

Topunktsformelen

Dersom man kjenner to punkter på en rett linje er stigningstallet a gitt som:

<math> a =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>

Dersom man setter dette uttrykket inn i ettpunktsformelen over får man:

<math> y- y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1) </math>

Eksempel 6:

En lineær funksjon går gjennom punktene (1,4) og (3,5). Finn funksjonsuttrykket.

Vi begynner med å finne stigningstallet:

\[ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5-4}{3-1} = \frac {1}{2} \]

Så bruker vi ett av punktene, vi vet at grafen går gjennom punkter (1, 4):

\[ f(x) = \frac{1}{2} x + b \]

Finner b:

\[ 4 = \frac{1}{2} \cdot 1 + b \] \[b= \frac{7}{2} \]

Som gir funksjonsuttrykket

\[ f(x) = \frac 12 x + \frac 72 \]

Andregradsfunksjoner

Funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon er gitt som

<math> f(x) = ax^2 + bx + c </math>

Gitt på denne formen er <math>ax^2</math> andregradsleddet, bx er førstegradsleddet og c er konstantleddet. Grafene til andregradsfunksjoner kalles parabler. Grafene krummer og er symmetriske om symmetriaksen som er gitt som:

Symmetriakse:
<math> x = \frac{-b}{2a}</math>

Eksempel 7:

Finn symmetriaksen til funksjonen
<math> f(x) = -x^2 + 2x + 4 </math>

Løsning:

<math> x = \frac{-b}{2a} =\frac{-2}{2 \cdot (-1)} =1</math>

Dersom konstanten a i andregradsleddet er positiv vender grafen sin hule side oppover, den ”smiler”

Dersom konstanten er negativ vender grafen sin hule side nedover, den er ”sur”.

En andregradsfunksjon kan også være gitt på formen

<math> f(x) = a(x + b)^2 + c </math>

Konstanten a vil være den samme i begge fremstillingsmåter, men konstantene b og c er forskjellige. Hvilke fremstillingsmåte man benytter er smak og behag, men begge har sine fordeler.

Eksempel 8:

Grafen nedenfor viser funksjonen

I \[ f(x) = 0,4x^2 -2x +1 \]

eventuelt

II \[ g(x) = 0,4(x -2,5)^2 -1,5 \]

f og g er en og samme funksjon

Fordelen med utrykk I er at det er på formen man bruker i ”abc” formelen, for å finne nullpunkter.

Fordelen med uttrykk II er at det gir symmetriakse og minimumspunkt direkte. Dersom man multipliserer ut parentesene og trekker sammen ender man opp med uttrykk I.

Rasjonale funksjoner

Funksjoner der x inngår som en del av nevneren kalles brøkfunksjoner eller asymptotiske funksjoner. . Funksjonene går ofte mot en grense når x går mot en bestemt verdi. Dette kalles for asymptoter.

En rett linje som grafen til f(x) nærmer seg når x går mot en bestemt verdi eller <math> \pm \infty </math>. En graf kan godt krysse en asymptote. Vi har vertikale og horisontale (eller skrå) asymptoter.

Figuren viser grafen til funksjonen <math>f(x)= \frac{x-1}{x-2}</math>

Vi ser at grafen har en vertikal asymptote for x = 2 og en horisontal asymptote for y = 1.

Vertikal asymptote - Bruddpunkt

Dersom f (x) går mot pluss / minus uendelig når x nærmer seg et tall a fra den ene eller andre siden (eller begge) så er linjen X = a en vertikal asymptote for f. Dette kan formuleres slik:

<math> \lim\limits_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty \quad \quad \quad \lim\limits_{x \to a^-} f(x)= \pm \infty </math>

I eksempelet over er a = 2.

Du finner vertikal asymptote ved å sette utrykket i teller lik null og så løse for x.

Eksempel 9:

Grafen i figuren over har funksjonsuttrykk \[f(x)= \frac{x-1}{x-2} \]

Setter nevner lik null og løser for x: \[x-2=0\] \[x=2 \]

Vertikal asymptote er x=2, som vi også så fra figuren over. Funksjonen er ikke definer og defor kalles det også for et bruddpunkt.

Horisontal asymptote

For å finne den horisontale asymptoten må vi undersøke hva som skjer med verdien av f (x) når x går mot ± uendelig. Dette skrives slik:

<math> \lim\limits_{x \to \infty} f(x)= k \quad \quad \quad \lim\limits_{x \to - \infty} f(x)= k </math>

Dette leses "grenseverdien til f (x) når x går mot pluss / minus uendelig". Dersom et eller begge kriteriene er oppfylt er linjen y = k en horisontal asymptote for f.

For å finne horisontal asymptote deler man alle ledd i brøken på høyeste forekomne grad av x.

Eksempel 10:

Funksjonsuttrykk: \[f(x)= \frac {4x+2}{3x-1}\]

Deler på høyeste grad av x og lar x gå mot uendelig:

\[\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} \frac {4x+2}{3x-1} =\lim\limits_{x \to \infty}\frac {\frac{4x}{x}+ \frac 2x }{\frac{3x}{x}- \frac 1x} = \lim\limits_{x \to \infty}\frac {4+ \frac 2x }{3- \frac 1x} = \frac 43 \]

Ved å dele alle ledd på x står vi igjen med en brøk i teller og en i nevner, begge med x i nevner. Når x blir stor går disse brøkene mot null, og "hovedbrøken" går mot $\frac 43$

Den horisontale asymptoten har likningen $y =\frac 43$

Skrå asymptote

Når teller og nevner er av samme orden blir asymptoten en horisontal linje. Dersom telleren h (x) er en orden over nevneren får vi en skrå asymptote. Dersom vi har funksjonen <math>f (x)= \frac{3x^2 + 2x -5}{x} </math>og utfører divisjonen ser vi at den kan skrives som <math>f (x)= 3x + 2 - \frac 5x</math>. Vi ser at når x går mot ± uendelig går f mot den rette linjen 3x + 2. Grafen ser slik ut:

En graf kan aldri krysse en vertikal asymptote. Men, grafen kan krysse både horisontale-, skrå- og buede asymptoter, men da ikke når x går mot pluss / minus uendelig

Polynomfunksjoner

Funksjoner som kan bestå av flere ledd. Både rettlinjede funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner, men så sentrale at de behandles spesielt.

Generelt er polynomfunksjoner gitt ved:

<math> f(x) = a\cdot x^n + b\cdot x^{n-1}+ ...+ c </math>

Der n er hele positive tall.

Eksempel 11: Eksempel på polynomfunksjoner:

\[f(x) = 2x^3-4x^2 + \frac 32 x-1\]

\[g(x) = 0,7x^4 -x +1\]

\[h(t) = x^2 +2x\]

f er en tredjegradsfunksjon, g en fjerdegradsfunksjon og h er en funksjon av andre grad. De navngis etter høyeste potens. Antall ledd kan variere.

Eksempel 12:

Figuren viser to tredjegradsfunksjoner. De kan ha inntil tre nullpunkt, men ikke alle har det.

En polynomfunksjon av n-te grad kan ha n nullpunkter (men ofte ikke).

Potensfunksjoner

På samme måte som polynomfuksjoner består også potensfunksjoner av potenser der grunntallet er den variable. Forskjellen er at eksponenten i potensfunksjonene ikke er hele tall.

\[f(x) = a\cdot x^b \]

der

\[a,b \in \mathbb{R}\setminus \{0\} \]

\[ b> 0 \rightarrow D_f =[0, \rightarrow> \] \[ b< 0 \rightarrow D_f =<0, \rightarrow> \]

Eksempel 13:

Figuren viser noen forskjellige potensfunksjoner. Eksponenter større enn 1, gjør at grafen vokser raskt (h).

Når eksponenten er mindre enn 1, men større enn null, vokser funksjonen sakte (f)

En negativ eksponent gjør at funksjonsverdien avtar med økende x. For små x verdier blir funksjonsverdien stor.

Eksponentialfunksjoner

Dersom vi har en situasjon der noe endrer seg opp eller ned med en fast prosent per tidsenhet, har vi en eksponentiell situasjon og kan lage en eksponentialfunksjon.

Funksjonene er av typen

\[ f(x) = a\cdot b^x \quad \quad (b > 0) \]

a er startverdien, b er vekstfaktoren og x er tidsperioder (år, dager, sekunder, etc.)

Dersom b < 1, så minker funksjonen. Dersom b > 1 så øker funksjonen

Eksempel 14:

Eva har funnet ut at hennes matematikkunnskaper taper seg med 6% per uke dersom hun ikke jobber jevnt med matematikken. Hun lager en funksjon som forteller hvordan utviklingen blir over sommerferien dersom hun ikke vedlikeholder faget.

Typiske spørsmål til en slik situasjon kan være:

Hvor lang tid tar det før Eva har mistet 20% av kompetansen?

Hvor mye kompetanse er igjen etter syv uker?

Dersom hun mister 20% har hun 80% igjen. Vi legger inn den rette linjen f(x)= 80 og tar skjæring mellom to objekter. Det tar 3 uker og ca. 4 dager før hun har mistet 20%

For å finne hvor mye som er igjen etter syv uker skriver man x=7 og tar skjæring mellom to objekter. Eva bestemmer seg for å jobbe med faget sommerferien.

Eksempel 15

En bakteriekultur består a 10.000 bakterier, og øker med 3 % per time. Figuren viser utviklingen de neste 10 døgn. Antallet dobbler seg (grovt sett) hvert døgn.