Komplekse tall: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
m Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»
 
(13 mellomliggende versjoner av 3 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. <tex>i^2</tex> er størrelsen som tilfredstiller
Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. <math>i^2</math> er størrelsen som tilfredstiller
<tex> i^2= -1</tex>.
<math> i^2= -1</math>.


Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.
Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.
Linje 16: Linje 16:
   
   


Potenser av <tex>i^n</tex> kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er <tex>i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i</tex>
Potenser av <math>i^n</math> kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er <math>i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i</math>


Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere Z1 = 1 + 2i og Z2 = 2 + 2i blir resultatet Z3 = 3 + 4i  
Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere <math>Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i</math> blir resultatet <math>Z_3 = 3 + 4i</math>


Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som  
Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som  
Linje 28: Linje 28:
[[Bilde:Kompleksplan2.gif]]
[[Bilde:Kompleksplan2.gif]]


Lengden av linjestykket OZn kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved |Zn| = sqrt(a2 + b2). (sqrt = engelsk forkortelse for kvadratrot). |Zn| kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet Zn
Lengden av linjestykket <math>OZ_n</math> kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved <math>|Z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>. <math>|Z_n|</math> kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet <math>Z_n</math>


Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi
Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi
Linje 34: Linje 34:
Z - W = (a - c) + i(b - d)  
Z - W = (a - c) + i(b - d)  


Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden OZn og vinkelen mellom X aksen og linjestykket OZn.
Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden <math>OZ_n</math> og vinkelen mellom X aksen og linjestykket <math>OZ_n</math>.


[[Bilde:Kompleks3.gif]]
[[Bilde:Kompleks3.gif]]
Linje 42: Linje 42:
Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >
Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >
   
   
punktet kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.
punktet <math> \overline{Z}= a-bi</math> kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.


en viktig egenskap er:
en viktig egenskap er:<p></p>
<math>Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2</math>


 
'''Multiplikasjon.'''<p></p>
 
Multiplikasjon utføres på vanlig måte: <p></p><math>(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i</math>
Multiplikasjon utføres på vanlig måte: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
<p></p>
 
'''Divisjon.'''<p></p>
Divisjon. Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:
Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:<p></p>
<tex>\frak{a+bi}{c+di} = \frak{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}</tex>
<math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac {ac-adi +bci -bdi^2}{c^2 -cdi + cdi -d^2i^2}= \frac {ac+bd -(ad-bc)i}{c^2 + d^2}</math>
----
[[X Hovedside | Tilbake til X hovedside]]
----
----
[[kategori:lex]]
[[kategori:lex]]

Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58

Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. <math>i^2</math> er størrelsen som tilfredstiller <math> i^2= -1</math>.

Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.

a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).

Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.

For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:


REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL

Potenser av <math>i^n</math> kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er <math>i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i</math>

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere <math>Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i</math> blir resultatet <math>Z_3 = 3 + 4i</math>

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som

Z + W = (a + c) + i(b + d).

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;

Lengden av linjestykket <math>OZ_n</math> kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved <math>|Z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>. <math>|Z_n|</math> kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet <math>Z_n</math>

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d)

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden <math>OZ_n</math> og vinkelen mellom X aksen og linjestykket <math>OZ_n</math>.

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >

punktet <math> \overline{Z}= a-bi</math> kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:

<math>Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2</math>

Multiplikasjon.

Multiplikasjon utføres på vanlig måte:

<math>(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i</math>

Divisjon.

Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:

<math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac {ac-adi +bci -bdi^2}{c^2 -cdi + cdi -d^2i^2}= \frac {ac+bd -(ad-bc)i}{c^2 + d^2}</math>


Tilbake til X hovedside