Komplekse tall: Forskjell mellom sideversjoner
Ingen redigeringsforklaring |
m Teksterstatting – «</tex>» til «</math>» |
||
(17 mellomliggende versjoner av 3 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. | Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. | ||
< | <math> i^2= -1</math>. | ||
Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden. | Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden. | ||
Linje 16: | Linje 16: | ||
Potenser av | Potenser av | ||
Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere | Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere <math>Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i</math> blir resultatet <math>Z_3 = 3 + 4i</math> | ||
Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som | Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som | ||
Linje 28: | Linje 28: | ||
[[Bilde:Kompleksplan2.gif]] | [[Bilde:Kompleksplan2.gif]] | ||
Lengden av linjestykket | Lengden av linjestykket | ||
Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi | Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi | ||
Linje 34: | Linje 34: | ||
Z - W = (a - c) + i(b - d) | Z - W = (a - c) + i(b - d) | ||
Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden | Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden | ||
[[Bilde:Kompleks3.gif]] | [[Bilde:Kompleks3.gif]] | ||
Linje 42: | Linje 42: | ||
Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π > | Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π > | ||
punktet kalles det konjugerte komplekse tallet til Z. | punktet | ||
en viktig egenskap er: | en viktig egenskap er:<p></p> | ||
<math>Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2</math> | |||
'''Multiplikasjon.'''<p></p> | |||
Multiplikasjon utføres på vanlig måte: <p></p> | |||
<p></p> | |||
'''Divisjon.'''<p></p> | |||
Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:<p></p> | |||
---- | |||
[[X Hovedside | Tilbake til X hovedside]] | |||
---- | ---- | ||
[[kategori:lex]] | [[kategori:lex]] |
Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58
Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten.
Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.
a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).
Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C.
For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:
REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL
Potenser av
Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere
Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som
Z + W = (a + c) + i(b + d).
Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik;
Lengden av linjestykket
Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi
Z - W = (a - c) + i(b - d)
Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden
Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi :
Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >
punktet
en viktig egenskap er:
Multiplikasjon.
Multiplikasjon utføres på vanlig måte:
Divisjon.
Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren: