Praktiske problemer der differensiallikninger er løsningen: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(178 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
UNDER KONSTRUKSJON
 


== Svingninger ==
== Svingninger ==
Linje 6: Linje 6:
:[[Bilde:kloss.png]]
:[[Bilde:kloss.png]]


En kloss ligger på et friksjonsfritt underlag. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er <tex>x_0</tex>. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).
En kloss ligger på et friksjonsfritt underlag. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er $x_0$. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).


Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik masse multiplisert med akslerasjon.<p>
Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik masse multiplisert med akselerasjon.<p>
</p>
</p>
<tex>\sum F = ma</tex><p></p>
$\sum F = ma$


Hooks lov sier at:<p></p>
Hooks lov sier at:
F = -kx<p></p>k er fjærkonstanten. Kraften er proporsjonal med utslaget og virker hele tiden mot likevektspunktet.<p></p>
$ F = kx $, k er fjærkonstanten. Siden kraften er proporsjonal med utslaget og virker hele tiden mot likevektspunktet, setter vi F = -kx<p></p>
Vi får:<p></p>
Vi får:<p></p>
<tex>m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx </tex>
$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx $
som gir
som gir
<tex>\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}{x} = 0</tex>
$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}{x} = 0 $
Ved å innføre  
Ved å innføre
<tex>\omega =\sqrt{\frac{k}{m}</tex>
$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$
får vi
får vi
<tex>\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0</tex>
$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0 $
<p></p> som er identisk med<p></p>
<p></p> som er identisk med<p></p>
<tex>x^{,,} + \omega^2x = 0</tex><p></p>
$ x' ' + \omega^2x = 0 $<p></p>
 
Her finner du hvordan disse likningene løses:
Her finner du hvordan disse likningene løses:
[[http://per.matematikk.net/index.php?title=Introduksjon_til_differensiallikninger#Homogene_line.C3.A6re_andreordens_differensialligninger_med_konstante_koeffisienter.]]<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
[http://matematikk.net/side/Andre_ordens_differensiallikninger  Andre ordens homogene]
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
'''Eksempel 1:'''<p></p>
'''Eksempel 1:'''<p></p>
En kloss med masse 0,75 kg. ligger på en friksjonsfri overflate og er festet til en forankret fjær. Fjæren strekkes 1,5 meter med en kraft på 200 Newton.
En kloss med masse 2,5 kg. ligger på en friksjonsfri overflate og er festet til en forankret fjær. Fjæren strekkes 0,5 meter med en kraft 1,25 Newton.


Klossen trekkes ut 0,6 meter mot høyre, fra likevektspunktet, der den slippes.
Klossen trekkes ut 0,3 meter mot høyre, fra likevektspunktet, der den slippes.
Beskriv bevegelsen.
Beskriv bevegelsen.


'''Løsning:'''
Vi ser bort fra friksjonen og har harmoniske svingninger.
x+ω2x=0
r2+ω2=0
r2=ω2


</blockquote>
r=±ω2
 
r=±ωi
 
Det gir oss følgende generelle løsning:
 
y(t)=C1sinωt+C2cosωt
 
For å finne den spesielle løsningen må vi bruke de opplysningene vi har:
 
* Fjærkonstanten k: k=Fx=1,25N0,5m=2,5 N/m
* Ved tiden t=0 er y = 0,3; y(0)= 0,3
* I ytterstillingene er farten null, dvs y(0)=0
* Ved likevekt er kraften, og derved akselerasjonen null: y(0)=0
 
* ω=2,52,5=1
 
Vi har y(t)=C1sint+C2cost og deriver og dobbeltderiverer for å kunne bruke initialbetingelsene til å finne den spesielle likningen.
 
y(t)=C1costC2sint y(t)=C1sintC2cost
 
y(0)=0,3SSy(0)=C1sin(0)+C2cos(0)
 
C2=0,3 y(0)=0
0=C1cos(0)C2sin(0)
C1=0
 
Funksjonen blir da: y(t)=0,3cos(t)
 
DIGITALT:
 
[[Bilde:diff-eks2-digi.png]]
</div>


===Frie svingninger med dempning===
===Frie svingninger med dempning===
Linje 40: Linje 87:
:[[Bilde:kloss2.png]]
:[[Bilde:kloss2.png]]


En kloss ligger på et underlag med friksjon. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er <tex>x_0</tex>. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).
En kloss ligger på et underlag med friksjon. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er <math>x_0</math>. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).
Man antar at friksjonen R er proporsjonal med farten v og virker mot bevegelsen. v er x' og R = rx'<p></p>
Man antar at friksjonen R er proporsjonal med farten v og virker mot bevegelsen. v er x' og R = rx'<p></p>
<tex>m\frac{d^2x}{dt^2}  = -rv - kx \Leftrightarrow m\frac{d^2x}{dt^2}+ r \frac{dx}{dt} + kx =0</tex>
<math>m\frac{d^2x}{dt^2}  = -rv - kx \Leftrightarrow m\frac{d^2x}{dt^2}+ r \frac{dx}{dt} + kx =0</math>
<p></p>
<p></p>


mx'' + rx' + kx = 0 eller <p></p>
$ mx' ' + rx' + kx = 0 $ eller
<tex> x^{''}+ \frac rm x^' + \frac km =0 </tex>
 
x+rmx+kmx=0
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
'''Eksempel 2:'''
 
En kloss med masse 2,5 kg. ligger på en  overflate og er festet til en forankret fjær. Fjærstivheten er 1,25 N/m.
 
Klossen trekkes ut 0,3 meter mot høyre, fra likevektspunktet, der den slippes. Friksjonstallet er 0,03.
Beskriv bevegelsen.
 
'''Løsning:'''
 
Vi har friksjonen og får dempede  svingninger (bevegelsen vil ta slutt).
 
$ x' ' + \frac rm x' + \frac km x =0 $
 
 
'''DIGITALT'''
 
:[[Bilde:diff-eks3-1.PNG]]
 
:[[Bilde:diff-eks3-2.PNG]]
</div>


== Naturlig vekst ==
== Naturlig vekst ==
Dersom en størrelse x vokser med tiden, kan det skrives som  
Dersom en størrelse x vokser med tiden, kan det skrives som  
<tex>\frac{dx}{dt} = kx </tex><p></p>
<math>\frac{dx}{dt} = kx </math><p></p>
der k er en konstant og x = x(t).<p></p>
der k er en konstant og x = x(t).<p></p>
Man får<p></p>
Man får<p></p>
<tex>\frac{dx}{x} = kdt \
<math>\frac{dx}{x} = kdt \
\int{\frac{dx}{x}} = \int{kdt} \
\int{\frac{dx}{x}} = \int{kdt} \
ln|x| = kt +C \
ln|x| = kt +C \
x=e^{kt}e^C = Ae^{kt}</tex>
x=e^{kt}e^C = Ae^{kt}</math>
A er konstanten e<sup>C</sup> og man observerer at vet tiden t = 0 er A = x, dvs. A =x<sub>0</sub><p></p>
A er konstanten e<sup>C</sup> og man observerer at vet tiden t = 0 er A = x, dvs. A =x<sub>0</sub><p></p>
Altså:<p></p>
Altså:<p></p>
<tex>x= x_0e^{kt}</tex><p></p>
<math>x= x_0e^{kt}</math><p></p>
Dersom k > 0 har man en vekstsituasjon.<p></p>
 
Dersom k < 0 har man en situasjon der en størrelse avtar, foreksempel aktiviteten i et radioaktivt materiale:
Dersom en størrelse avtar, for eksempel aktiviteten i et radioaktivt materiale, har man:
<tex>\frac{dN}{dt} = -kN</tex><p></p>
<math>\frac{dN}{dt} = -kN</math><p></p>
<tex>N(t) = e^{-kt}</tex><p></p>
<math>N(t) = C e^{-kt}</math><p></p>
k er isotipavhengig ( dersom modellen representerer aktivitet i radioaktivt materiale).
k er isotopavhengig ( dersom modellen representerer aktivitet i radioaktivt materiale).
<p></p>
<p></p>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 3:'''
Et radioaktivt stoff har masse 5 kg. ved tiden t = 0 og minker med 2% per år.
*finn m(t)
Her har vi flere muligheter:
* Differensiallikning m=kmm+km=0mekt=cm=cektinitialbetingelser:m=5ekt
* Med opplysningen om 2% reduksjon kunne man funnet funksjonen uten å gå veien om differensiallikningen:
M=50,98t=5(eln0,98)tM(t)=5e0,0202t
k i den første løsningen er altså tilnærmet 0,0202.
Dersom vi ønsker en funksjon som inneholder halveringstiden eksplisitt:
12=(12)tT
Likningen stemmer når t og T er like store. t er tiden og T halveringstiden. Vi finner halveringstiden:
12=e0,0202tt=ln0,50,0202=34,3
m(t)=m0(12)t34,3
:[[Bilde:radioaktiv-diff.png]]
Alle tre funksjonsuttrykkene gir den samme utviklingen, altså den samme grafen.
</div>
Dersom man har en populasjon kan modellen over være egnet til å beskrive veksten i startfasen, men ingen populasjoner vokser i det uendelige. En mer egnet modell kan da være den logistiske.
Dersom man har en populasjon kan modellen over være egnet til å beskrive veksten i startfasen, men ingen populasjoner vokser i det uendelige. En mer egnet modell kan da være den logistiske.


== Logistisk vekst ==
== Logistisk vekst ==
Man tenker at populasjonsveksten vil stagnere når antall individer nærmer seg det et område kan tåle. Det antall kalles bæreevnen og vil variere ut fra økosystemets forutsetninger. Man kaller bæreevnen for B
Man tenker at populasjonsveksten vil stagnere når antall individer nærmer seg det et område kan tåle. Det antall kalles bæreevnen og vil variere ut fra økosystemets forutsetninger. Man kaller bæreevnen for B
<p></p> Den relative vekstraten er <p></p>
<p></p> Den relative vekstraten<p></p>
 
1NdNdt skal være lik en positiv konstant, multiplisert med forskjellen mellom bæreevne og antall. Man får:<p></p>
 
1NdNdt=a(BN)dNdt=aN(BN)
 
Delbrøkoppspalting gir:
 
1N(BN)=aN+bBN1=a(BN)+bNa=b=1B
 
N0NB
 
 
1N(BN)dN=adt1B(1N+1BN)dN=adt
 
1B(ln|N|ln|BN|)=at+C1ln|N|ln|BN|=aBt+C,C=C1B
 
ln|NBN|=aBt+C
 
$\frac{N}{B-N} = Ke^{aBt}, \quad \quad K = \pm e^C
$
 
Ved tiden t = 0 er N=N0<p></p>
 
Da er K=N0BN0<p></p>
som gir<p></p>
NBN=N0eaBtBN0<p></p>
 
Ved noe regning får man<p></p>
 
N(t)=BN0N0+(BN0)eaBt<p></p>
 
( Utregning: NBN=N0eaBtBN0N=N0eaBtBN0(BN)N=BN0eaBtBN0NN0eaBtBN0 
 
N(1+N0eaBtBN0)=BN0eaBtBN0N=BN0eaBt(BN0)(1+N0eaBtBN0)


<tex> \frac1N \frac{dN}{dt}</tex> skal være lik en postiv konstant, multiplisert med forskjellen mellom bæreevne og antall. Man får:<p></p>
$N = \frac{BN_0e^{aBt}}{B+  \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0}  - N_0 - \frac{N_0 \cdot N_0e^{aBt}}{B-N_0} }  \quad \Rightarrow \quad  N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{B(B-N_0)+  BN_0e^{aBt} - N_0 (B-N_0) - N_0 \cdot N_0e^{aBt}}$


<tex> \frac1N \frac{dN}{dt} = a(B-N) \Leftrightarrow \frac{dN}{dt} = aN(B-N)\
$N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{B(B-N_0)  - N_0 (B-N_0)+  BN_0e^{aBt} - N_0 \cdot N_0e^{aBt}} \quad \Rightarrow \quad  N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{(B - N_0 )(B-N_0)+  (B - N_0) N_0e^{aBt}} $
\int \frac{1}{N(B-N)} dN= \int a dt \Leftrightarrow \frac1B \int(\frac1N + \frac{1}{B-N}dN = \int a dt</tex>
 
$N = \frac{BN_0e^{aBt}}{(B-N_0)+  N_0e^{aBt}} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0}{(B-N_0)e^{-aBt}+  N_0} $
 
og vi er i mål.)
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 4:'''
 
</div>


== Newtons avkjølingslov ( og oppvarming) ==
== Newtons avkjølingslov ( og oppvarming) ==
Linje 81: Linje 229:


Den momentane temperaturendringen er


T(t) - er objektets temperatur ved tiden t.<p></p>
T(t) - er objektets temperatur ved tiden t.<p></p>


T<sub>omg</sub> - er omgivelsenes temperatur.<p></p>
T<sub>omg</sub> - er omgivelsenes temperatur.<p></p>
T(0)  - er objektets temperatur ved tiden t = 0, dvs. i det øyeblikket det befinner s.<p></p>
T(0)  - er objektets temperatur ved tiden t = 0.<p></p>
Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen <tex>\frac{dT}{dt} </tex>
Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen <math>\frac{dT}{dt} </math>
er proporsjonal med differansen mellom T(t) og T<sub>omg</sub>, dvs:<p></p>
er proporsjonal med differansen mellom T(t) og T<sub>omg</sub>, dvs:<p></p>


<tex>\frac{dT}{dt} = k(T(t) - T_{omg})</tex><p></p>
<math>\frac{dT}{dt} = k(T(t) - T_{omg})</math><p></p>
k er en konstant som blant annet har med legemets varmeledningsevne og geometri å gjøre.<p></p>
k er en konstant som blant annet har med legemets varmeledningsevne og geometri å gjøre.<p></p>
Her har man to muligheter:<p></p>
Her har man to muligheter:<p></p>
Linje 97: Linje 244:
=== Avkjøling ===
=== Avkjøling ===


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
Dersom objektet er varmere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en <b>avkjølingssituasjon.</b> Da er
Dersom objektet er varmere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en <b>avkjølingssituasjon.</b> Da er
<tex>\frac{dT}{dt} </tex> negativ. Det gir:
<math>\frac{dT}{dt} </math> negativ. Det gir:
<tex>
 
(T(t) - T_{omg}) > 0</tex> <p></p>
$ T(t) - T_{omg} > 0 $ <p></p>
</blockquote>
</div>


=== Oppvarming ===
=== Oppvarming ===


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
Dersom objektet er kaldere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en <b>oppvarmingssituasjon.</b> Da er
Dersom objektet er kaldere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en <b>oppvarmingssituasjon.</b> Da er
<tex>\frac{dT}{dt} </tex> positiv. Det gir:
<math>\frac{dT}{dt} </math> positiv. Det gir:


<tex>T(t) - T_{omg} < 0 </tex><p></p></blockquote>
<math>T(t) - T_{omg} < 0 </math><p></p></div>


Det gir Newtons lov for avkjøling:
===Det gir Newtons lov for avkjøling:===


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">


<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg})</tex> <p></p>


</blockquote>
<math>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg})</math> <p></p>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">


'''Eks 8:'''  <p></p>
</div>
 
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
 
'''Eksempel 5:'''  <p></p>
En smed skal bearbeide et stykke metall. Når det tas ut av ovnen er det 500°C.   
En smed skal bearbeide et stykke metall. Når det tas ut av ovnen er det 500°C.   
Metallet lar seg bearbeide til det er 150°C.
Metallet lar seg bearbeide til det er 150°C.
Linje 130: Linje 286:
<b>Løsning:</b><p></p>
<b>Løsning:</b><p></p>
Newtons lov for avkjøling sier:<p></p>
Newtons lov for avkjøling sier:<p></p>
<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg})</tex><p></p>
$ \frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg}) $ <p></p>
I dette tilfellet gir det:<p></p>
I dette tilfellet gir det:
<tex>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 30) \
 
\frac{dT}{dt} = k(23 - T(t))\
 
\int \frac {1}{23 - T(t)})dT = \int(k)dt \
$\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 30)\ \frac{dT}{dt} = k(30 - T(t))\ \int ( \frac {1}{30 - T(t)})dT = \int(k)dt\ - ln |30 - T(t)| = kt + C \
- ln (23 - T(t)) = kt + C \
30 - T(t) = e^{-(kt + C)}$
23 - T(t) = e^{-(kt + C)} </tex><p></p>
 
<tex>23 - T(t) = C_2e^{-kt } \ \hspace{50 mm} der \hspace{5 mm}C_2 \hspace{5 mm}er\hspace{5 mm} e^C \
<p></p>
T(t) = 23 - C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} </tex><p></p>
$ 30 - T(t) = C_2e^{-kt } \ \hspace{50 mm} der \hspace{5 mm}C_2 \hspace{5 mm}er\hspace{5 mm} e^C \
T(t) = 30 - C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} $
 
<p></p>




Man har oppgitt:<p></p>
Man har oppgitt:<p></p>
<tex>
 
$
T(0) = 500C \
T(0) = 500C \
30 - 500 = C_2 \
30 - 500 = C_2 \
C_2 = -470 \
C_2 = -470 \
T(t) = 470 e^{-kt} \</tex>
T(t) = 30 + 470 e^{-kt} \ $
Hva er k?<p></p>
Hva er k?<p></p>
k er en konstant som bestemmes av objektets form og materialegenskaper,  
k er en konstant som bestemmes av objektets form og materialegenskaper,  
samt omgivelsenes tetthet / varmelednigsegenskaper mm.<p></p>
samt omgivelsenes tetthet / varmeledningsegenskaper mm.<p></p>
For å finne k må man benytte seg av smedens erfaringer og kunnskaper:
For å finne k må man benytte seg av smedens erfaringer og kunnskaper:
<p></p>
<p></p>


<tex>T(10) = 300C \
<math>T(10) = 300C \
300 = 470 e^{-10k} \
300 = 30 +470 e^{-10k} \
ln( \frac {300}{470}) = -10k \
ln( \frac {270}{470}) = -10k \
k = 0,0449 </tex>
k = 0,0554 </math>
Det gir funksjonen for avkjøling:<p></p>
Det gir funksjonen for avkjøling:<p></p>
<tex>  
<math>  
T(t) = 470 e^{-0,0449t}</tex><p></p>
T(t) = 30 +470 e^{-0,0554t}</math><p></p>
Hvor lang tid har så smeden før arbeidsstykket hans går under 150?<p></p>
Hvor lang tid har så smeden før arbeidsstykket hans går under 150?<p></p>
<tex>150 = 470 e^{-0,0449t}</tex><p></p>
<math>150 = 30 + 470 e^{-0,0554t}</math><p></p>


t = 25 min<p></p>
$t \approx 24, 6 min $<p></p>
Temperaturforløpet ser slik ut:<p></p>
Temperaturforløpet ser slik ut:<p></p>
:[[Bilde:avkj.PNG]]
:[[Bilde:diff-log-temp.PNG]]
</blockquote>
</div>
 
== Konsentrasjon i væsker ==
 
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
'''Eksempel 6:'''
 
En tank inneholder 1000 liter saltvann, med 15 kg oppløst salt. Rent vann fylles på tanken med en fart på 10 liter / minutt. Blandingen røres hele tiden godt. Samtidig tappes tanken med 10 liter / minutt. Hvor mye salt er det i tanken etter t minutter?
 
Vi har følgende:
 
A(t) = saltmengde ved tiden t
 
Endring av saltmengde dAdt  = salt inn – salt ut
 
dAdt = (konsentrasjon inn gL) (væskestrøm inn Lmin) - (konsentrasjon ut gL) (væskestrøm ut Lmin)
 
dAdt=0A100010=A100
 
 
dAdt=A1001AdA=1100dtln|A|=1100t+Celn|A|=e1100t+C|A|=eCe1100t
 
Initialbetingelser: A(0) = 15 gir:
 
A(t)=15e1100t
 
:[[Bilde:kunnskap-diff-blandin_1.PNG]]
</div>
 
 
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
'''Eksempel 7:'''
 
I en vanntank som rommer 1000 liter er det 500 liter ferskvann. Det tilsettes 3 liter per minutt av en vannløsning som inneholder 4 gram salt per liter. Samtidig som det blandes godt, tappes det ut 2 liter per minutt i bunnen av tanken. Finn saltmengden i tanket x(t) ved tiden t.
 
Vi har:
 
Saltmengden i tank ved tiden t: x(t)
 
Salt inn:  4 g / L 3 L / min = 12 g/ min
 
Salt ut:  x(t)V(t) (- 2) L / min
 
 
Endring i væskevolum: dVdt=32=1dV=1dtV(t)=t+C.
 
Ved tiden t = 0 var det 500 liter i tanken, så:
 
V(t) = t + 500.
 
 
Det betyr at det tar 500 minutter før tanken er full.
 
 
Endring i saltmengde: dxdt=122x(t)V(t)dxdt=122x(t)t+500
 
 
Så løser vi likningen:
 
x+2xt+500=12
 
Finner integrerende faktor:
 
e2t+500=e2ln|t+500|=eln(t+500)2=(t+500)2
 
Multipliserer så alle ledd med integrerende faktor:
 
x(t+500)2+2xt+500(t+500)2=12(t+500)2(x(t+500)2)dt=12(t+500)2dt
 
Setter u = t + 500 på høyreside og får du = dt og integrerer.
 
x(t+500)2=123(t+500)3+Cx=4(t+500)+C(t+500)2
 
For å finne C bruker vi opplysningen om at ved tiden t = 0 var x(0) =0, altså bare ferskvann.
 
x(0)=00=2000+C5002c=2000250000C=500000000
 
Det gir oss likningen for vårt spesielle tilfelle:
 
x(t)=4t+2000500000000(t+500)2
:[[Bilde:diff-blanding-tank2.PNG]]
 
</div>




<p></p>
<p></p>


----
 
[[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]
[[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]



Siste sideversjon per 20. jul. 2024 kl. 10:46


Svingninger

Frie svingninger uten dempning

En kloss ligger på et friksjonsfritt underlag. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er x0. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).

Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik masse multiplisert med akselerasjon.

F=ma

Hooks lov sier at:

F=kx, k er fjærkonstanten. Siden kraften er proporsjonal med utslaget og virker hele tiden mot likevektspunktet, setter vi F = -kx

Vi får:

md2xdt2=kx som gir d2xdt2+kmx=0 Ved å innføre ω=km får vi d2xdt2+ω2x=0

som er identisk med

x+ω2x=0

Her finner du hvordan disse likningene løses:

Andre ordens homogene

Eksempel 1:

En kloss med masse 2,5 kg. ligger på en friksjonsfri overflate og er festet til en forankret fjær. Fjæren strekkes 0,5 meter med en kraft 1,25 Newton.

Klossen trekkes ut 0,3 meter mot høyre, fra likevektspunktet, der den slippes. Beskriv bevegelsen.

Løsning:

Vi ser bort fra friksjonen og har harmoniske svingninger.

x+ω2x=0


r2+ω2=0

r2=ω2

r=±ω2

r=±ωi

Det gir oss følgende generelle løsning:

y(t)=C1sinωt+C2cosωt

For å finne den spesielle løsningen må vi bruke de opplysningene vi har:

  • Fjærkonstanten k: k=Fx=1,25N0,5m=2,5 N/m
  • Ved tiden t=0 er y = 0,3; y(0)= 0,3
  • I ytterstillingene er farten null, dvs y(0)=0
  • Ved likevekt er kraften, og derved akselerasjonen null: y(0)=0
  • ω=2,52,5=1

Vi har y(t)=C1sint+C2cost og deriver og dobbeltderiverer for å kunne bruke initialbetingelsene til å finne den spesielle likningen.

y(t)=C1costC2sint y(t)=C1sintC2cost

y(0)=0,3SSy(0)=C1sin(0)+C2cos(0)

C2=0,3 y(0)=0 0=C1cos(0)C2sin(0) C1=0

Funksjonen blir da: y(t)=0,3cos(t)

DIGITALT:

Frie svingninger med dempning

En kloss ligger på et underlag med friksjon. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er x0. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).

Man antar at friksjonen R er proporsjonal med farten v og virker mot bevegelsen. v er x' og R = rx'

md2xdt2=rvkxmd2xdt2+rdxdt+kx=0

mx+rx+kx=0 eller

x+rmx+kmx=0

Eksempel 2:

En kloss med masse 2,5 kg. ligger på en overflate og er festet til en forankret fjær. Fjærstivheten er 1,25 N/m.

Klossen trekkes ut 0,3 meter mot høyre, fra likevektspunktet, der den slippes. Friksjonstallet er 0,03. Beskriv bevegelsen.

Løsning:

Vi har friksjonen og får dempede svingninger (bevegelsen vil ta slutt).

x+rmx+kmx=0


DIGITALT

Naturlig vekst

Dersom en størrelse x vokser med tiden, kan det skrives som

dxdt=kx

der k er en konstant og x = x(t).

Man får

dxx=kdtdxx=kdtln|x|=kt+Cx=ekteC=Aekt

A er konstanten eC og man observerer at vet tiden t = 0 er A = x, dvs. A =x0

Altså:

x=x0ekt

Dersom en størrelse avtar, for eksempel aktiviteten i et radioaktivt materiale, har man:

dNdt=kN

N(t)=Cekt

k er isotopavhengig ( dersom modellen representerer aktivitet i radioaktivt materiale).

Eksempel 3:

Et radioaktivt stoff har masse 5 kg. ved tiden t = 0 og minker med 2% per år.

  • finn m(t)

Her har vi flere muligheter:

  • Differensiallikning m=kmm+km=0mekt=cm=cektinitialbetingelser:m=5ekt
  • Med opplysningen om 2% reduksjon kunne man funnet funksjonen uten å gå veien om differensiallikningen:

M=50,98t=5(eln0,98)tM(t)=5e0,0202t

k i den første løsningen er altså tilnærmet 0,0202.

Dersom vi ønsker en funksjon som inneholder halveringstiden eksplisitt:

12=(12)tT

Likningen stemmer når t og T er like store. t er tiden og T halveringstiden. Vi finner halveringstiden:

12=e0,0202tt=ln0,50,0202=34,3

m(t)=m0(12)t34,3

Alle tre funksjonsuttrykkene gir den samme utviklingen, altså den samme grafen.


Dersom man har en populasjon kan modellen over være egnet til å beskrive veksten i startfasen, men ingen populasjoner vokser i det uendelige. En mer egnet modell kan da være den logistiske.

Logistisk vekst

Man tenker at populasjonsveksten vil stagnere når antall individer nærmer seg det et område kan tåle. Det antall kalles bæreevnen og vil variere ut fra økosystemets forutsetninger. Man kaller bæreevnen for B

Den relative vekstraten

1NdNdt skal være lik en positiv konstant, multiplisert med forskjellen mellom bæreevne og antall. Man får:

1NdNdt=a(BN)dNdt=aN(BN)

Delbrøkoppspalting gir:

1N(BN)=aN+bBN1=a(BN)+bNa=b=1B

N0NB


1N(BN)dN=adt1B(1N+1BN)dN=adt

1B(ln|N|ln|BN|)=at+C1ln|N|ln|BN|=aBt+C,C=C1B

ln|NBN|=aBt+C

NBN=KeaBt,K=±eC

Ved tiden t = 0 er N=N0

Da er K=N0BN0

som gir

NBN=N0eaBtBN0

Ved noe regning får man

N(t)=BN0N0+(BN0)eaBt

( Utregning: NBN=N0eaBtBN0N=N0eaBtBN0(BN)N=BN0eaBtBN0NN0eaBtBN0

N(1+N0eaBtBN0)=BN0eaBtBN0N=BN0eaBt(BN0)(1+N0eaBtBN0)

N=BN0eaBtB+BN0eaBtBN0N0N0N0eaBtBN0N=BN0eaBt(BN0)B(BN0)+BN0eaBtN0(BN0)N0N0eaBt

N=BN0eaBt(BN0)B(BN0)N0(BN0)+BN0eaBtN0N0eaBtN=BN0eaBt(BN0)(BN0)(BN0)+(BN0)N0eaBt

N=BN0eaBt(BN0)+N0eaBtN=BN0(BN0)eaBt+N0

og vi er i mål.)

Eksempel 4:

Newtons avkjølingslov ( og oppvarming)

Hvordan går det egentlig med et legeme med romtemperatur, når den slippes i kokende vann?


T(t) - er objektets temperatur ved tiden t.

Tomg - er omgivelsenes temperatur.

T(0) - er objektets temperatur ved tiden t = 0.

Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen dTdt

er proporsjonal med differansen mellom T(t) og Tomg, dvs:

dTdt=k(T(t)Tomg)

k er en konstant som blant annet har med legemets varmeledningsevne og geometri å gjøre.

Her har man to muligheter:


Avkjøling

Dersom objektet er varmere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en avkjølingssituasjon. Da er dTdt negativ. Det gir:

T(t)Tomg>0

Oppvarming

Dersom objektet er kaldere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en oppvarmingssituasjon. Da er dTdt positiv. Det gir:

T(t)Tomg<0

Det gir Newtons lov for avkjøling:


dTdt=k(T(t)Tomg)



Eksempel 5:

En smed skal bearbeide et stykke metall. Når det tas ut av ovnen er det 500°C. Metallet lar seg bearbeide til det er 150°C. Under denne temperatur er det vanskelig å forme. Smeden har fra tidligere erfaringer funnet ut at metallet avkjøles med 200 grader de første 10 minuttene. I rommet der arbeidet foregår er det 30°C.

Hvor lang tid har smeden på bearbeidingsprosessen?

Løsning:

Newtons lov for avkjøling sier:

dTdt=k(T(t)Tomg)

I dette tilfellet gir det:


dTdt=k(T(t)30)dTdt=k(30T(t))(130T(t))dT=(k)dtln|30T(t)|=kt+C30T(t)=e(kt+C)

30T(t)=C2ektderC2ereCT(t)=30C2ekt


Man har oppgitt:

T(0)=500C30500=C2C2=470T(t)=30+470ekt

Hva er k?

k er en konstant som bestemmes av objektets form og materialegenskaper,

samt omgivelsenes tetthet / varmeledningsegenskaper mm.

For å finne k må man benytte seg av smedens erfaringer og kunnskaper:

T(10)=300C300=30+470e10kln(270470)=10kk=0,0554

Det gir funksjonen for avkjøling:

<math>

T(t) = 30 +470 e^{-0,0554t}</math>

Hvor lang tid har så smeden før arbeidsstykket hans går under 150?

150=30+470e0,0554t

t24,6min

Temperaturforløpet ser slik ut:

Konsentrasjon i væsker

Eksempel 6:

En tank inneholder 1000 liter saltvann, med 15 kg oppløst salt. Rent vann fylles på tanken med en fart på 10 liter / minutt. Blandingen røres hele tiden godt. Samtidig tappes tanken med 10 liter / minutt. Hvor mye salt er det i tanken etter t minutter?

Vi har følgende:

A(t) = saltmengde ved tiden t

Endring av saltmengde dAdt = salt inn – salt ut

dAdt = (konsentrasjon inn gL) (væskestrøm inn Lmin) - (konsentrasjon ut gL) (væskestrøm ut Lmin)

dAdt=0A100010=A100


dAdt=A1001AdA=1100dtln|A|=1100t+Celn|A|=e1100t+C|A|=eCe1100t

Initialbetingelser: A(0) = 15 gir:

A(t)=15e1100t



Eksempel 7:

I en vanntank som rommer 1000 liter er det 500 liter ferskvann. Det tilsettes 3 liter per minutt av en vannløsning som inneholder 4 gram salt per liter. Samtidig som det blandes godt, tappes det ut 2 liter per minutt i bunnen av tanken. Finn saltmengden i tanket x(t) ved tiden t.

Vi har:

Saltmengden i tank ved tiden t: x(t)

Salt inn: 4 g / L 3 L / min = 12 g/ min

Salt ut: x(t)V(t) (- 2) L / min


Endring i væskevolum: dVdt=32=1dV=1dtV(t)=t+C.

Ved tiden t = 0 var det 500 liter i tanken, så:

V(t) = t + 500.


Det betyr at det tar 500 minutter før tanken er full.


Endring i saltmengde: dxdt=122x(t)V(t)dxdt=122x(t)t+500


Så løser vi likningen:

x+2xt+500=12

Finner integrerende faktor:

e2t+500=e2ln|t+500|=eln(t+500)2=(t+500)2

Multipliserer så alle ledd med integrerende faktor:

x(t+500)2+2xt+500(t+500)2=12(t+500)2(x(t+500)2)dt=12(t+500)2dt

Setter u = t + 500 på høyreside og får du = dt og integrerer.

x(t+500)2=123(t+500)3+Cx=4(t+500)+C(t+500)2

For å finne C bruker vi opplysningen om at ved tiden t = 0 var x(0) =0, altså bare ferskvann.

x(0)=00=2000+C5002c=2000250000C=500000000

Det gir oss likningen for vårt spesielle tilfelle:

x(t)=4t+2000500000000(t+500)2



Tilbake til R2 Hovedside