S1 2024 Høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

DEL EN

Oppgave 1

$f(x) = \frac{e^{2x}}{x}$

Deriverer f: $f'(x) = \frac{(e^{2x})' \cdot x + x' \cdot e^{2x}}{x^2} = \frac{2xe^{2x} + e^{2x}}{x^2} = \frac{e^{2x} (2x + 1)}{x^2} $

Oppgave 2

Programmet leter etter toppunktet til funksjonen $O(x) = -0,1x^2+2000x-50000$.

Programmet løper gjennom en while løkke og sjekker funksjonsverdien O(x+1) i forhold til O(x). Så lenge O(x+1)> O(x) fortsetter løkken. Når det ikke lenger er tilfellet, skriver det ut x- verdien.

Vi deriver O og setter uttrykket lik null.

$-0,2x + 2000 =0$

$x = \frac{-2000}{-0,2} = 10000 $

Programmet skriver ut 10000, som er x verdien som gir størst funksjonsverdi.

Oppgave 3

$100 ^x - 3 \cdot 10^x= 4$

$ (10^2)^x - 3 \cdot 10^x-4 =0$

$(10^x)^2 - 3 \cdot 10^x- 4 = 0$

$10^x = \frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{2}$

$10^x = \frac{3 \pm 5}{2}$

Vi er bare interessert i den positive verdien fordi vi ikke kan opphøye 10 i noe som gir en negativ verdi.

$10^x = 4$

$x = lg(4)$

Oppgave 4

\[ \lim_{x\to \infty} \frac{x^2+x-12}{2x^2 -18} \]

\[ \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}+ \frac{x}{x^2}- \frac{12}{x^2}}{ \frac{2x^2}{x^2} - \frac{18}{x^2}} \]

\[ \lim_{x\to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}- \frac{12}{x^2}}{ 2 - \frac{18}{x^2}} = \frac 12 \]

Oppgave 5

a)

To kuler med samme farge:

P(to i samme farge) = P(to røde) + P(to blå) + P( to gule)

$ \frac {4} {9} \cdot \frac {3} {8} + \frac {3} {9} \cdot \frac {2} {8} +\frac {2} {9} \cdot \frac {1} {8} = \frac {12+6+2} {72} = \frac {5} {18} $

b)

Nøyaktig en gul

$ P(en gul) = P(gul) \cdot P(annen farge) + P(annen farge) \cdot P( gul) $

$ P(en gul)= \frac {2} {9} \cdot \frac {7} {8} + \frac {7} {9 } \cdot \frac {2} {8} = \frac {28} {72} = \frac {7} {18} $

Oppgave 6

Både g og f tilfredsstiller kravet om gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [0,4]. g har derivert lik 0,5 for alle x, så det er kun f som tilfredsstiller kravene.

DEL TO

Oppgave 1

a)

Forskjellige antrekk (multiplikasjonsprinsippet):

FA = $10 \cdot 20 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 5= 225 000 $

Oppgave 2

a)

Gjennomsnittlig vekstfart: $\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4) - f(1) }{4-1} = \frac{18-3}{3} = 5$

Påstanden er riktig.

b)

Begge går mot samme grenseverdi når x går mot pluss eller minus uendelig. Påstanden er feil.

c)

Påstanden er feil for $a \in \mathbb{R}$

$a \in \mathbb{R} \setminus \left\{ -1, 0, 1 \right\}$ så er x = y.

a= - 1 gir løsninger når både x og y er partall, eller når begge er oddetall

$a = 0 \vee a = 1 $ er $x \neq y$ løsninger, såvel som $x = y$

Oppgave 3

Logaritmen til basisen for logaritmen er 1. Eksempelvis er $lg_{10}(10) = 1 $ og $ln(e) =1$. Derfor er basis her 5.

Oppgave 5

a)

Antall parkeringsplasser nå er x

Inntekter nå er 1000x per måned

Dersom prisen øker med 500 kr. vil hun miste 10 kunder, men leieinntektene forblir de samme:

$1000x = 1500(x-10)$

$1000x = 1500x - 15000$

$-500x = -15000$

$x = \frac{-15000}{-500} = 30$

b)

Antall utleide plasser: $x = 30 - \frac{p - 1000}{50}$ , der p er pris

Inntekt: $I(p) = p\cdot x = p(30 - \frac{p - 1000}{50}) $ $I(p) =30p - \frac{p^2 - 1000p}{50} = 30p - \frac{p^2}{50}+ \frac{1000p}{50} $

$I(p) = 50p - \frac{p^2}{50}$

Finner hvilken pris som gir maksimal inntekt ved å sette den deriverte av inntektsfunksjonen lik null:

$I'(p) = 50 - \frac{p}{25}$

$I'(p) =0$

$50 - \frac{p}{25} = 0$

$p = 50 \cdot 25 = 1250$

Den maksimale inntekten blir da:

$I(1250) = 50 \cdot 1250 - \frac{1250^2}{50} = 31250$

Den månedlige maksimalinntekten er på 31250 kr.

Oppgave 6

a)

Den deriverte av I når x er 15 gir oss inntektsendringen ved salg av enhet 15. Man øker inntekten med 235 000 kroner ved salg av motor nr. 15.

b)

Overskuddet er størst når det selges 180 enheter. Da er overskuddet 15 600 000kr.

Oppgave 7

${S}$ - Smittet

$\bar{S}$ - ikke smittet

${P}$ - test positiv ( du er smittet i følge test)

$ \bar{P}$ - test negativ

Sannsynlighet for positiv test:

$P(P) = P(P|S)\cdot P(S) + P(P|\bar{S}) \cdot P(\bar{S}) = 0,99 \cdot 0,01 + 0,02 \cdot 0,99 = 0,0099 + 0,0198 = 0,0297$

$ P(S|P) = \frac{P(P|S) \cdot P(S)}{P(P)} = \frac{0,99 \cdot 0,01}{0,0297} \approx 33,3 $ %

Sannsynligheten for at personen er smittet gitt positiv test er litt i overkant av 33%

Selv om testen har høy sensitivitet (99%) og spesifisitet (98%), fører den lave grunnsannsynligheten for å være smittet (P(S)=1%) til at sannsynligheten for å være smittet selv etter en positiv test fortsatt er relativt lav. Dette er et eksempel på hvordan grunnsannsynligheten påvirker tolkningen av testresultater, en problemstilling som ofte oppstår i medisinsk diagnostikk.