Aritmetriske rekker

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk følge er en tallfølge, $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ ($\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</math>.

Eksempel

Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</math>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</math>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</math>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</math>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</math>, så <math>a_3=2+5=7</math> osv.

Test deg selv

Aritmetisk rekke (sum)

En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</math> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> med et endelig antall ledd <math>N</math>. Den <math>n</math>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</math> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</math>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</math> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</math> ledd:

<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</math>

Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</math> og den konstante differansen <math>d</math>.

Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</math>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</math>.

Eksempel

La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math> Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = 55</math>

Test deg selv

---

Tilbake til R2 Hovedside