Trigonometri II: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(4 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 19: Linje 19:
==Trigonometeriske funksjoner==
==Trigonometeriske funksjoner==


De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens, som er et produkt av sinus og cosinus. Sinus er den viktigste trigonometriske funksjonen, siden alle de andre trigonometriske funksjonene kan utledes fra denne.
De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens.


==Enhetssirkelen==
===Enhetssirkelen===


Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en.
Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en.
Linje 305: Linje 305:




$v= -u \ cos (v)= cos(-v) \ cos (v) = cos (2 \pi - v) \ cos v = - cos ( \pi - v)$
$v= -u $
 
$cos (v)= cos(-v) $
 
$ cos (v) = cos (2 \pi - v) $
 
$cos v = - cos ( \pi - v)$


[[Bilde:trig-3-4-2-4.png]]
[[Bilde:trig-3-4-2-4.png]]
Linje 462: Linje 468:
sinucosv=12[sin(u+v)+sin(uv)](16)
sinucosv=12[sin(u+v)+sin(uv)](16)


$cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u+v)]\quad \quad \color{red}{(17)}$
$cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u-v)]\quad \quad \color{red}{(17)}$


</div>
</div>
Linje 652: Linje 658:
'''SIN'''
'''SIN'''


sin(π4x)=12x[0,2π>π4x=π6+2kππ4x=ππ6+2kπx=23+8kx=423+8kx=23x=103
$sin( \frac{\pi}{4}x) = \frac 12 \quad \quad \quad x \in[0, 2 \pi> \$
 
$\frac{\pi}{4}x = \frac{\pi}{6} +2k \pi \vee  \frac{\pi}{4}x = \pi -  \frac{\pi}{6} +2k \pi \$
 
$x= \frac 23 +8k \vee x = 4- \frac 23 + 8k $
 
$\ x= \frac 23 \vee x = \frac{10}{3}$


x{23,103}  
x{23,103}  

Siste sideversjon per 16. aug. 2023 kl. 06:56

Absolutt vinkelmål

Radianer (også kalt absolutt vinkelmål) er definert som følger. Ta utgangspunkt i figuren:

Vi konstruerer en sirkelbue med lengde s og radius r, som vist på figuren. Buen er avgrenset av de to radiene som går fra sentrum av buen. Vinkelen mellom de to radiene i radianer er da definert som

α=sr

Det følger at forholdet mellom radianer og grader er gitt ved

360=2π

eller ekvivalent ved

v[]=180πv[rad] for en vinkel v

Trigonometeriske funksjoner

De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens.

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en.

Definisjon av sin x og cos x

Ta utgangspunkt i figuren under:

Når vi konstruerer en enhetssirkel og en radius med vinkel α på x-aksen slik figuren viser, vil radien skjære sirkelperiferien i punktet P. Hvis trekker normalene fra P på koordinataksene, vil de skjære disse i punktene A og B slik figuren viser. Da vil y-verdien til punktet A være lik sinα og x-verdien til punktet B være lik cosα

Når vi plotter sinus- og cosinuskurvene ser de slik ut:

Sinus- og cosinuskurvene har begge perioder på 2π radianer.

Merk at cosinusfunksjonen kun er sinusfunkjsonen forskjøvet π2 radianer i minusretningen. Altså gjelder det at sin(x+π2)=cosx

Definisjon av tan(x)

Tangensfunksjonen er definert slik at

tanx=sinxcosx

Når vi plotter tangenskurven, ser den slik ut:

Tangenskurven har en periode på π radianer.

Fortegn av trigonometriske funksjoner

Dette diagrammet viser fortegnene til de forskjellige trigonometriske funksjonene for forskjellige vinkler. Den sorte streken gjennom tangensdiagrammet viser vinklene der tanx går mot ±. Vi får et bruddpunkt, og det er derfor meningsløst å snakke of fortegnet til tanx når x=π2 eller x=3π2.

Hvis du kan disse diagrammene utanat, vil du kunne vurdere hvilke løsninger du forventer til trigonometriske ligninger. Det vil bli lettere å vurdere om løsningene stemmer.

Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x på tabellform

Verdiene i tabellen under bør du memorisere. Å kunne disse utenat vil være til stor hjelp i løsingen av trigonometriske ligninger.


Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x i enhetssirkelen (1. kvadrant)

Trigonometriske identiteter

Ettersom alle de trigonometriske funksjonene er periodiske, vil de samme verdiene gå igjen for hver syklus. Generellt gjelder det at

sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
tan(x+π)=tanx

Å være klar over disse sammenhengene vil ha betydning når vi senere vurderer løsninger av trigonometriske ligninger.

Ut ifra figuren om definisjonen av sinus og cosinus kan vi se flere egenskaper ved funksjonene. Spesifikt,

sin(πx)=sinx
sin(x)=sinx
cos(2πx)=cosx
tan(x)=tanx

De trigonometriske funksjonene har mange viktige relasjoner med hverandre. Noe som gjelder per definisjon for sinus og cosinus er identiteten

sin2x+cos2x=1

som lett kan vises geometrisk med Pythagorassetningen, se figuren om definisjonen av sinus og cosinus.Denne identiteten er viktig fordi den lar oss omforme sinus til cosinus og omvendt.

Som vi senere skal se, henger også tangens sammen med cosinus på følgende måte:

tan2x+1=1cos2x

Denne identiteten beviser vi lenger nede i artikkelen.

Inverse trigonometriske funksjoner

Vi definerer de inverse trigonometriske funksjonene arcsin, arccos og arctan slik at

arcsin(sinx)=x,x[π2,π2]
arccos(cosx)=x,x[0,π]
arctan(tanx)=x,x∈<π2,π2>

Dersom x ikke befinner seg i disse mengdene, vil du likevel få en verdi innenfor disse mengdene. Ha dette i bakhodet når du løser trigonometriske ligninger på kalkulator.

I mange lærebøker i den videregående skole, og på kalkulatoren er notasjonen slik:

arcsinx=sin1x, arccosx=cos1x, arctanx=tan1x

Sumformelen for sin x og cos x

Hvis vi vet verdien av sinus og cosinus til to forskjellige vinkler, kan vi finne sinus og cosinus til summen av vinklene. Vi vet at

sin(v±u)=sinvcosu±cosvsinu

og

cos(v±u)=cosvcosusinvsinu

Også disse identitetene kan bevises geometrisk.

Spesialtilfellet u=v er verdt å merke seg, siden disse av og til dukker opp i ligninger:

sin(2v)=2sinvcosv
cos(2v)=cos2vsin2v

Trigonometriske ligninger

Trigonometriske ligninger er ligninger der trigonometriske funksjoner av variabler inngår. Disse er nyttige i mange abstrakte og fysiske situasjoner.

I denne seksjonen presenteres løsningsmetoder for de forskjellige typene trigonometriske ligninger.

Løsninger og definisjonsmengde

I mange trigonometriske ligninger er definisjonsmengden til variabelen gitt på forhånd. Definisjonsmengden har innflytelse ikke bare på hva løsningene er, men også hvor mange løsninger som finnes. Dersom det ikke er gitt noen definisjonsmengde kan variabelen ha enhver reell verdi. For å få med alle løsninger bruker vi et lite triks, som vi viser nedenfor.

Når definisjonsmengden er gitt, bør du først se om du kan forhåndsbestemme hvor mange løsninger du forventer å få. Gitt at ligningen er løselig er det akseptabelt å forvente to løsninger per 2π-syklus av de trigonometriske funksjonene. Her er et eksempel:

Eksempel



Bildet viser en plott av funksjonen f(x)=3sin(2x)+2cos(2x)+1. Nullpunktene til funksjonen, markert med grå prikker, viser løsningene til ligningen 3sin(2x)+2cos(2x)=1. Hvis definisjonsmengden er x[0,π>, går funksjonene gjennom én 2π-syklus, og vi får 2 løsninger. Hvis definisjonsmengden er x[0,2π>, går funksjonene gjennom to 2π-sykluser, og nå får vi 4 løsninger.
OBS!
Regelen om 2 løsninger per syklus gjelder bare hvis vi kan uttrykke ligningen ved én enkelt trigonometrisk funksjon, og denne ikke har sin største eller minste verdi. Som vi skal se senere kan funksjonen over beskrives på formen f(x)=Asin(x+ϕ)+d.

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

I denne seksjonen finner du beviser for formlene for derivasjon av de trigonometriske funksjonene.

Derivasjon av sin x
ddxsinx=limΔx0sin(x+Δx)sinxΔx
Vi bruker sumformelen for sinus og ekspanderer den venstre sinusfunksjonen.
limΔx0sinxcosΔx+cosxsinΔxsinxΔx
Vi faktoriserer:
limΔx0sinx(cosΔx1)+cosxsinΔxΔx
Vi har nå en sum av to genseverdier:
limΔx0sinxcosΔx1Δx+cosxsinΔxΔx
Det kan bevises geometrisk at
limΔx0cosΔx1Δx=0
og at
limΔx0sinΔxΔx=1
Resultatet blir da at
ddxsinx=cosx


Derivasjon av cos x
ddxcosx=limΔx0cos(x+Δx)cosxΔx
Vi bruker sumformelen og ekspanderer den venstre cosinusfunksjonen.
limΔx0cosxcosΔxsinxsinΔxcosxΔx
Vi faktoriserer.
limΔx0cosx(cosΔx1)sinxsinΔxΔx
Vi har nå en sum av to grenseverdier:
limΔx0cosxcosΔx1ΔxsinxsinΔxΔx
Disse grenseverdiene er de samme som vi støtte på i beviset av derivasjonen av sinusfunksjonen. Dermed blir resultatet at
ddxcosx=sinx


Derivasjon av tan x
Nå som vi har derivasjonsformlene for sinus og cosinusfunksjonene, kan vi derivere tangensfunksjonen. Til det bruker vi definisjonen av tangens og skriver den som en brøk av sinus og cosinus og bruker brøkregelen.
ddxtanx=ddxsinxcosx=(ddxsinx)cosx(ddxcosx)sinxcos2x=cos2x+sin2xcos2x
Vi nevnte i seksjonen om trigonometriske identiteter at vi skulle bevise identiteten om tangens og cosinus. Det gjør vi nå. Det er to måter å forenkle brøken over på. Den ene er å trekke sammen sinus og cosinus med sin2x+cos2x=1. Den andre er å separere brøken.
cos2x+sin2xcos2x=1cos2x
cos2x+sin2xcos2x=sin2xcos2x+cos2xcos2x=tan2x+1
Ettersom disse uttrykkene åpenbart må være like, har vi bevist identiteten.
Resultatet av derivasjonen er
ddxtanx=tan2x+1
og
ddxtanx=1cos2x


Spisse vinkler

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:

DEFINISJONER

sinB=ba

cosB=ca

tanB=bc=sinBcosB

Enhetssirkelen - sin - cos - tan

De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler.

  • Vi tegner en sirkel med radius 1.
  • Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken.
  • Dette kalles orienterte vinkler.
  • I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).
  • Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling.

Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:



sin(a)=ycos(a)=xtan(a)=yx


Sin og cos har begge perioden 2π. Tan har perioden π.


Enhetssirkelen og dens fire kvadranter:


Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn.

En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant.

Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene.

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til cosinus:


v=u

cos(v)=cos(v)

cos(v)=cos(2πv)

cosv=cos(πv)

cos(α)=sin(π2α)sin(α)=cos(π2α)

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til sinus:

sin(α)=sin(α)sin(α)=sin(πα)sin(α)=sin(α+2π)sin(π+α)=sin(2πα)

Identiteter

sin2v+cos2v=1(1)


BEVIS (1):

Relasjonen fremkommer ved å anvende Pytagoras direkte i enhetssirkelen.

Sum og differanser av vinkler

cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)(2)cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)(3)

sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)(4)sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)(5)



BEVIS (2):


Vinkelen (u-v) er vinkelen mellom vektorene OB og OC Begge disse har lengde en.

OB=[cosv,sinv]OC=[cosu,sinu]

Skalarprodukt:

[cosu,sinu][cosv,sinv]=11cos(uv)cos(uv)=cosucosv+sinusinv(2)




BEVIS (3):


cos(v)=cosvsin(v)=sinv


cos(uv)=cos(u(v))=cosucos(v)+sinusin(v)cos(u+v)=cosucosvsinusinv(3)




BEVIS (5):

sinv=cos(90v)sin(u+v)=cos(90(u+v))sin(u+v)=cos((90u)v)

sin(u+v)=cos(90+u)cosv+sin(90u)sinvsin(u+v)=sinucosv+cosusinv(5)





BEVIS (4):

sin(u+v)=sinucosv+cosusinvsin(u+(v))=sinucos(v)+cosusin(v)sin(uv)=sinucosvcosusinv(4)



Dobble vinkler

sin(2u)=2sin(u)cos(u)(6) cos(2u)=cos2usin2u(7)


cos(2u)=cos(u+u)=cos(u)cos(u)sin(u)sin(u)=cos2(u)sin2(u)

cos(2u)=2cos21(u)(8)

cos(2u)=12sin2(u)(9)

Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u

Fra sum til produkt

sinu+sinv=2sin(u+v2)cos(uv2)(10)

sinusinv=2cos(u+v2)sin(uv2)(11)

cosu+cosv=2cos(u+v2)cos(uv2)(12)

cosucosv=2sin(u+v2)sin(uv2)(13)

Fra produkt til sum

sinusinv=12[cos(uv)cos(u+v)](14)

cosucosv=12[cos(uv)+cos(u+v)](15)

sinucosv=12[sin(u+v)+sin(uv)](16)

cosusinv=12[sin(u+v)sin(uv)](17)

Flere funksjoner

De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2.

cot(a)=xysec(a)=1xcosec(a)=1y

De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:

cotB=cb=cosBsinB=1tanB

secB=ac=1cosB

cosecB=ab=1sinB


tan2v+1=sec2v(2)cot2v+1=csc2v(3)

Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.

Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.
Uttrykt ved sinv cosv tanv! cscv secv cotv
sinv= sinv ±1cos2v ±tanv1+tan2v 1cscv ±sec2v1secv ±11+cot2v
cosv= ±1sin2v cosv ±11+tan2v ±csc2v1cscv 1secv ±cotv1+cot2v
tanv= ±sinv1sin2v ±1cos2vcosv tanv ±1csc2v1 ±sec2v1 1cotv
cscv= 1sinv ±11cos2v ±1+tan2vtanv cscv ±secvsec2v1 ±1+cot2v
secv= ±11sin2v
1cosv ±1+tan2v ±cscvcsc2v1 secv ±1+cot2vcotv
cotv= ±1sin2vsinv ±cosv1cos2v 1tanv ±csc2v1 ±1sec2v1 cotv

Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.

Kvadrant I II III IV
cos pos neg neg pos
sin pos posneg neg
tan pos negpos neg
cot posneg pos neg
sec pos neg neg pos
cosec pos pos neg neg

Det finnes forskjellige typer trigonometriske likninger og ofte er det forskjellige måter å løse dem på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.

Det er viktig å ha enhetssirkelen i bakhodet og spesielt være klar over følgende:

sin(x+2π)=sinx
cos(x+2π)=cosx
tan(x+π)=tanx

1. Trigonometriske grunnlikninger

Trigonometriske likninger som kun involverer én trigonometrisk funksjon, kaller vi trigonometriske grunnlikninger. Disse er de enkleste trigonometriske likningene å løse, og krever kun kunnskap om de trigonometriske funksjonenes inverser.

Løsningsmetode for trigonometriske grunnlikninger

Vi tar for oss ligningen

asin(bx)=c

Vi vil løse denne ligninger for x. Det første vi gjør er å isolere sin(bx) på venstresiden:

sin(bx)=ca

Siden høyresiden er lik venstresiden, vil arcsin av høyresiden være lik arcsin av venstresiden. Altså:

arcsin(sin(bx))=arcsin(ca) Dette gir oss to uttrykk for x:

bx=arcsin(ca)πbx=arcsin(ca)

Sinus er periodisk i 2π så vi må legge til en vilkårlig multippel av 2π på hver side.

bx+k2π=arcsin(ca)πbx+k2π=arcsin(ca),kZ

Når vi isolerer x på venstresiden får vi
x=arcsin(ca)k2πbx=π(2k+1)arcsin(ca)b,kZ

Den samme fremgangsmåten kan benyttes på trigonometriske grunnlikninger med cos og tan også, men husk at disse har litt forskjellige egenskaper, så løsningene blir ikke de samme.

EKSEMPEL 1.

COS

2cos(πx)=1x[0,2π>cos(πx)=12

πx=π3+k2ππx=2ππ3+k2πx=13+2kx=213+2k

x=13x=73x=133x=53x=113x=173

x{13,53,73,113,133,173}

Slik ser det ut:


SIN

sin(π4x)=12x[0,2π>

π4x=π6+2kππ4x=ππ6+2kπ

x=23+8kx=423+8k

x=23x=103

x{23,103}

Slik ser det ut:


TAN

0,3tan(4x)=2x[0,π2>tan(4x)=6,6674x=1,42+kπx=0,36x=1,14

x{ 0,36 , 1,14}


Slik ser det ut:

2)

acos2x+bcosx+c=0 eller asin2x+bsinx+c=0

Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med u. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x (eller sin x) og finner mulige x verdier.

Eksempel 2.

sin2x+sinx1=0,x[0,2π>

Setter sin x = u og bruker andregradsformelen, og får:

sinx=512

sinx=5+12


Merk at 5+12>1, altså har ikke denne grunnlikningen noen løsninger.

Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnlikningen. Når vi løser denne, får vi

x=0,67x=2,48

Slik ser det ut:


x{0,67 , 2,48}

3)

asinx+bcosx=0

Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.

Eksempel 3.

4sinx2cosx=0x[0,2π>4tanx2=0tanx=12x=tan1(12)=0,46+kπx=0,46x=3,61

x {0,46 , 3,61}

Slik ser det ut:

4)

acos2x+bsinx+c=0 eller asin2x+bcosx+c=0

Ligningen løses ved å erstatte sin2x med 1cos2x eller cos2x med 1sin2x

Eksempel 4.

sinx+2cos2x=1,x[0,2π>
Vi kjenner identiteten sin2x+cos2x=1.

Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til

sinx+22sin2x=1
2sin2xsinx1=0
Dette er en andregradslikning i sinx, som vi kan løse:
sinx=1±1+84=1±34
sinx=1+34=1sinx=134=12
sinx=1x=π2
sinx=12x=7π6x=11π6


x=π2x=7π6x=11π6

x{π2,7π6,11π6}

Slik ser det ut:

5)

asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0

Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med cos2xcosx0

Eksempel 5.

2sin2x+3sinxcosxcos2x=0x[0,2π>2tan2x+3tanx1=02u2+3u1=0

tanx=1,06tanx=0,27x=1,06+kπx=0,27+kπx=0,27x=3,45x=2,08x=5,22

x {0,27 , 2,08 , 3,45 , 5,22}

Slik ser det ut:

6)

asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d

Her må konstantleddet skrives om : d=d1=d(sin2x+cos2x) . Ligningen løses nå som beskrevet i punktet over.

Eksempel 6.

4sin2x+sinxcosx3cos2x=3x[0,2π>4sin2x+sinxcosx3cos2x=3sin2x+3cos2xsin2x+sinxcosx6cos2=0tan2x+tanx6=0tanx=3tanx=2x=1,24+kπx=1,11+kπx=1,11x=4,25x=1,90x=5,04

x{1,11 , 1,90 , 4,25 , 5,04}

Slik ser det ut:

7)

Likninger av typen

asincx+bcoscx=d

Løses ved å skrive om til:

Asin(cx+φ)=d der A=a2+b2 og φ er gitt ved tanφ=ba og φligger i samme kvadrant som (a,b).

Eksempel 7.

Eksempel:

sinx+cosx=1x[0,2π>

A=a2+b2=2a=b=1

Vinkelen φ ligger i første kvadrant, φ=tan1(1)=π4

Vi får

2sin(x+π4)=1sin(x+π4)=22x+π4=π4+2kπx+π4=ππ4+2kπx=0x=π2


x {0, π2}

Det ser slik ut:

8)

a2±ab=0a(a±b)=0

a og b er sinx og cosx, eler cosx og sinx.

Eksempel 8.

Når vi skal løse trigonometriske ligninger må vi ofte dele den opp i flere trigonometriske grunnlikninger før vi kan løse den. Et klassisk eksempel er faktoriseringsmetoden. Vi tar for oss ligningen

sinxcosxcosx=0,x[0,2π>

Selv om det kan være fristende, må du, uansett hva du gjør, ikke dele på cosx. Generelt prøver man å ikke dele eller multiplisere med funksjoner av variabler, fordi du kan miste løsninger, eller lage falske løsninger. Dette gjelder generelt når du deler på null eller multipliserer med null. I stedet faktoriserer vi ligningen:

cosx(sinx1)=0

Nå ser vi at for at ligningen skal oppfylles, må cosx=0 eller sinx1=0. Vi har klart å redusere den kompositte trigonometriske ligningen til to trigonometriske grunnlikninger.
sinx=1x=π2
cosx=0x=π2x=3π2

x{π2,3π2}

NB: Dersom du på forhånd har sjekket at det du deler eller multipliserer med ikke er lik null, er det greit å gjennomføre operasjonen. Dette kan gjøres ved å plugge inn null for den aktuelle faktoren og se om likningen oppfylles.



Fra graf til funksjonsuttrykk

Generellt ser uttrykket til en sinusfunksjon slik ut:

f(x)=Asin(kx+c)+d

Hvordan kan vi knytte dette funksjonsuttrykket sammen med en graf som ser slik ut?:


Likevektslinje

Likevektslinjen er den linjen den periodiske funksjonen svinger rundt. Utslaget er like stort til begge sider (opp og ned).

Likevektslinje: y = d

Vi finner uttrykket for d ved å regne ut: d=fmaks+fmin2=2,5+(0,5)2=1


Amplitude: A

Amplituden er det største utslaget på grafen. Når du skrur på volumet på stereoen din bestemmer du amplituden. Dersom du ønsker høy lyd er aplituden stor..

Amplituden er utslaget fra likevekstlinja, og er alltid positivt.

Amplitude: fmaxd=2,51=1,5


Man må merke seg at amplituden er en absoluttverdi, den er alltid positiv fordi den måler avstanden fra likevekstlinje til maksimalt (eller minimalt) utslag.


Amplituden er lengden av den blå linjen. Den grønne linjen er likevekstlinjen.


Da har vi etablert at modellen ser slik ut: f(x)=1,5sin(kx+c)+1

Vi mangler fortsatt k og c.

Periode

Hvor mange ganger funksjonen repeterer seg selv i intervallet 2π multiplisert med lengden av repetisjonen gir:

pk=2π

Peiode P: p=2πk,Antallrepetisjoneri 2π:k=2πp

k er gjentakelser i intervallet 2π og p er lengden av perioden.


Den stiplede linjen viser gjentakelsene av funksjonen en fra F til G, og en fra G til E, altså k = 2.

k er antallet ganger funksjonen repeterer seg selv i intevallet 2π. Fra figuren ser man at k = 2 og at lengden på peroden blir π

Faseforskyvning

sin (x) og sin (kx) vil være null for x = 0, for så å vokse med økende x. Ved faseforskyvning blir grafen forskjøvet.

Vi finner skjæring med likevektslinje ved å sette

kx + c= 0

Faseforskyvning: x=ck

Man observere at faseforskyvningen er -0,25. Vi tar utgangspunkt i punktet der likevektslinjen krysser y aksen og beveger oss til den delen av grafen som vokser, fordi sinusfunksjonen vokser for vinkler i første kvadrant. Se fuguren over.

Da blir c: kx+c=0c=kxc=2(14)=12


Dersom c<0 forskyves grafen mot høyre.

Dersom c>0 forskyves grafen mot venstre.


Funksjonsutrykket ser slik ut: f(x)=32sin(2x+12)+1

Dersom vi faktoriserer uttrykket man skal ta sinus av får man

f(x)=32sin(2(x+14))+1

Her ser man at faseforskyvningen vises eksplisit.

Litt mere om faseforskyvning

Alternativ skrivemåte


Nullpunkt for sinusfunksjonen

For å finne nullpunktene til sinusfunksjonen må man kunne løse likninger, fordi man som vanlig setter f(x)=0

Trigonometriske likninger finner du her [[1]].

Ekstremalpunkt for sinusfunksjonen

Man kan derivere funksjonen og sette den deriverte lik null, men ofte er det lettere å benytte egenskapene ved sinusfunksjonen.

Vi vet at sin( u) antar verdier fra -1 til 1.


Vi har funksjonen g(x)=3sin(2xπ4)1Dg=[0,3π>

toppunkt

Vi vet funksjonen har sin (u) maksimale verdi lik 1 når u=π2

2xπ4=π2

Så må vi ta hensyn til at definisjonsmengden går fra 0 til 3π og får:

2xπ4=π2+2πk8xπ=2π+8kπx=3π8+kπk=0girx=3π8k=1girx=11π8k=2girx=19π8

k = 4 kommer over øvre grensen til definisjonsmengden, og skal ikke være med.




Vi ønsker å skrive funksjonen f(x)= a sin cx + b cos cx på formen g(x)= A sin (cx +φ). Det er alltid mulig.

Altså: a sin cx + b cos cx = A sin (cx + φ)

A=a2+b2 og tanφ=ba

NB: φ ligger i samme kvadrant som punktet (a, b)


Eksempel:


f(x) = -2 sin 3x + cos 3x A=(2)2+12=5=2,24tanφ=12φ=2,678

Husk at punktet (-2,1) ligger i andre kvadrant, så vi jakter på en vinkel i denne kvadranten.

Vi får : f(x)= 2,24 sin(3x + 2,,678)

Her er utgangsfunksjonen, her kalt g(x) tegnet med likevektslinje y = 2, bare for å kunne sammenligne grafene til de to uttrykkene. Vi ser at de er identiske, med en faseforskyvning mot venstre på 2,6783=0,89.




Bevis




Tilbake til R2 Hovedside