Trigonometri II: Forskjell mellom sideversjoner
(4 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke) | |||
Linje 19: | Linje 19: | ||
==Trigonometeriske funksjoner== | ==Trigonometeriske funksjoner== | ||
De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens | De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens. | ||
==Enhetssirkelen== | ===Enhetssirkelen=== | ||
Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en. | Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en. | ||
Linje 305: | Linje 305: | ||
$v= -u | $v= -u $ | ||
$cos (v)= cos(-v) $ | |||
$ cos (v) = cos (2 \pi - v) $ | |||
$cos v = - cos ( \pi - v)$ | |||
[[Bilde:trig-3-4-2-4.png]] | [[Bilde:trig-3-4-2-4.png]] | ||
Linje 462: | Linje 468: | ||
$cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u | $cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u-v)]\quad \quad \color{red}{(17)}$ | ||
</div> | </div> | ||
Linje 652: | Linje 658: | ||
'''SIN''' | '''SIN''' | ||
$sin( \frac{\pi}{4}x) = \frac 12 \quad \quad \quad x \in[0, 2 \pi> \$ | |||
$\frac{\pi}{4}x = \frac{\pi}{6} +2k \pi \vee \frac{\pi}{4}x = \pi - \frac{\pi}{6} +2k \pi \$ | |||
$x= \frac 23 +8k \vee x = 4- \frac 23 + 8k $ | |||
$\ x= \frac 23 \vee x = \frac{10}{3}$ | |||
Siste sideversjon per 16. aug. 2023 kl. 06:56
Absolutt vinkelmål
Radianer (også kalt absolutt vinkelmål) er definert som følger. Ta utgangspunkt i figuren:
Vi konstruerer en sirkelbue med lengde
Det følger at forholdet mellom radianer og grader er gitt ved
eller ekvivalent ved
for en vinkel
Trigonometeriske funksjoner
De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens.
Enhetssirkelen
Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en.
Definisjon av sin x og cos x
Ta utgangspunkt i figuren under:
Når vi konstruerer en enhetssirkel og en radius med vinkel
Når vi plotter sinus- og cosinuskurvene ser de slik ut:
Sinus- og cosinuskurvene har begge perioder på
Merk at cosinusfunksjonen kun er sinusfunkjsonen forskjøvet
Definisjon av tan(x)
Tangensfunksjonen er definert slik at
Når vi plotter tangenskurven, ser den slik ut:
Tangenskurven har en periode på
Fortegn av trigonometriske funksjoner
Dette diagrammet viser fortegnene til de forskjellige trigonometriske funksjonene for forskjellige vinkler. Den sorte streken gjennom tangensdiagrammet viser vinklene der
Hvis du kan disse diagrammene utanat, vil du kunne vurdere hvilke løsninger du forventer til trigonometriske ligninger. Det vil bli lettere å vurdere om løsningene stemmer.
Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x på tabellform
Verdiene i tabellen under bør du memorisere. Å kunne disse utenat vil være til stor hjelp i løsingen av trigonometriske ligninger.
Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x i enhetssirkelen (1. kvadrant)
Trigonometriske identiteter
Ettersom alle de trigonometriske funksjonene er periodiske, vil de samme verdiene gå igjen for hver syklus. Generellt gjelder det at
Å være klar over disse sammenhengene vil ha betydning når vi senere vurderer løsninger av trigonometriske ligninger.
Ut ifra figuren om definisjonen av sinus og cosinus kan vi se flere egenskaper ved funksjonene. Spesifikt,
De trigonometriske funksjonene har mange viktige relasjoner med hverandre. Noe som gjelder per definisjon for sinus og cosinus er identiteten
som lett kan vises geometrisk med Pythagorassetningen, se figuren om definisjonen av sinus og cosinus.Denne identiteten er viktig fordi den lar oss omforme sinus til cosinus og omvendt.
Som vi senere skal se, henger også tangens sammen med cosinus på følgende måte:
Denne identiteten beviser vi lenger nede i artikkelen.
Inverse trigonometriske funksjoner
Vi definerer de inverse trigonometriske funksjonene
Dersom
I mange lærebøker i den videregående skole, og på kalkulatoren er notasjonen slik:
Sumformelen for sin x og cos x
Hvis vi vet verdien av sinus og cosinus til to forskjellige vinkler, kan vi finne sinus og cosinus til summen av vinklene. Vi vet at
og
Også disse identitetene kan bevises geometrisk.
Spesialtilfellet
Trigonometriske ligninger
Trigonometriske ligninger er ligninger der trigonometriske funksjoner av variabler inngår. Disse er nyttige i mange abstrakte og fysiske situasjoner.
I denne seksjonen presenteres løsningsmetoder for de forskjellige typene trigonometriske ligninger.
Løsninger og definisjonsmengde
I mange trigonometriske ligninger er definisjonsmengden til variabelen gitt på forhånd. Definisjonsmengden har innflytelse ikke bare på hva løsningene er, men også hvor mange løsninger som finnes. Dersom det ikke er gitt noen definisjonsmengde kan variabelen ha enhver reell verdi. For å få med alle løsninger bruker vi et lite triks, som vi viser nedenfor.
Når definisjonsmengden er gitt, bør du først se om du kan forhåndsbestemme hvor mange løsninger du forventer å få. Gitt at ligningen er løselig er det akseptabelt å forvente to løsninger per
- Eksempel
- Bildet viser en plott av funksjonen
. Nullpunktene til funksjonen, markert med grå prikker, viser løsningene til ligningen . Hvis definisjonsmengden er , går funksjonene gjennom én -syklus, og vi får 2 løsninger. Hvis definisjonsmengden er , går funksjonene gjennom to -sykluser, og nå får vi 4 løsninger.
- OBS!
- Regelen om 2 løsninger per syklus gjelder bare hvis vi kan uttrykke ligningen ved én enkelt trigonometrisk funksjon, og denne ikke har sin største eller minste verdi. Som vi skal se senere kan funksjonen over beskrives på formen
.
Derivasjon av trigonometriske funksjoner
I denne seksjonen finner du beviser for formlene for derivasjon av de trigonometriske funksjonene.
- Derivasjon av sin x
- Vi bruker sumformelen for sinus og ekspanderer den venstre sinusfunksjonen.
- Vi faktoriserer:
- Vi har nå en sum av to genseverdier:
- Det kan bevises geometrisk at
- og at
- Resultatet blir da at
- Derivasjon av cos x
- Vi bruker sumformelen og ekspanderer den venstre cosinusfunksjonen.
- Vi faktoriserer.
- Vi har nå en sum av to grenseverdier:
- Disse grenseverdiene er de samme som vi støtte på i beviset av derivasjonen av sinusfunksjonen. Dermed blir resultatet at
- Derivasjon av tan x
- Nå som vi har derivasjonsformlene for sinus og cosinusfunksjonene, kan vi derivere tangensfunksjonen. Til det bruker vi definisjonen av tangens og skriver den som en brøk av sinus og cosinus og bruker brøkregelen.
- Vi nevnte i seksjonen om trigonometriske identiteter at vi skulle bevise identiteten om tangens og cosinus. Det gjør vi nå. Det er to måter å forenkle brøken over på. Den ene er å trekke sammen sinus og cosinus med
. Den andre er å separere brøken.
- Ettersom disse uttrykkene åpenbart må være like, har vi bevist identiteten.
- Resultatet av derivasjonen er
- og
Spisse vinkler
De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:
DEFINISJONER
•
•
•
Enhetssirkelen - sin - cos - tan
De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler.
- Vi tegner en sirkel med radius 1.
- Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken.
- Dette kalles orienterte vinkler.
- I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).
- Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling.
Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:
Sin og cos har begge perioden
Enhetssirkelen og dens fire kvadranter:
Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn.
En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant.
Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene.
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til cosinus:
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til sinus:
Identiteter
Sum og differanser av vinkler
BEVIS (3):
BEVIS (5):
BEVIS (4):
Dobble vinkler
Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u
Fra sum til produkt
Fra produkt til sum
Flere funksjoner
De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2.
De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:
•
•
•
Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.
Uttrykt ved | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.
Kvadrant | I | II | III | IV |
cos | pos | neg | neg | pos |
sin | pos | pos | neg | neg |
tan | pos | neg | pos | neg |
cot | pos | neg | pos | neg |
sec | pos | neg | neg | pos |
cosec | pos | pos | neg | neg |
Det finnes forskjellige typer trigonometriske likninger og ofte er det forskjellige måter å løse dem på. Nedenfor følger en oversikt over de vanligste typene og et forslag til hvordan de kan løses.
Det er viktig å ha enhetssirkelen i bakhodet og spesielt være klar over følgende:
1. Trigonometriske grunnlikninger
Trigonometriske likninger som kun involverer én trigonometrisk funksjon, kaller vi trigonometriske grunnlikninger. Disse er de enkleste trigonometriske likningene å løse, og krever kun kunnskap om de trigonometriske funksjonenes inverser.
Løsningsmetode for trigonometriske grunnlikninger
Vi tar for oss ligningen
Vi vil løse denne ligninger for
Siden høyresiden er lik venstresiden, vil
Sinus er periodisk i
- Når vi isolerer
på venstresiden får vi
Den samme fremgangsmåten kan benyttes på trigonometriske grunnlikninger med
EKSEMPEL 1.
2)
Løses ved å erstatt cos x , eventuelt sin x, med u. Løser andregradsligningen og setter løsningen(e) lik cos x (eller sin x) og finner mulige x verdier.
Eksempel 2.
Setter sin x = u og bruker andregradsformelen, og får:
Merk at
Vi står igjen med kun den første trigonometriske grunnlikningen. Når vi løser denne, får vi
Slik ser det ut:
3)
Begge sider divideres med cos x (forskjellig fra null). Vi får da en identitet i tan x.
Eksempel 3.
4)
Ligningen løses ved å erstatte
Eksempel 4.
- Vi kjenner identiteten
.
- Vi kjenner identiteten
Den kan vi bruke her for å omforme ligningen til
- Dette er en andregradslikning i
, som vi kan løse:
- Dette er en andregradslikning i
Slik ser det ut:
5)
Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med
Eksempel 5.
6)
Her må konstantleddet skrives om :
Eksempel 6.
7)
der og er gitt ved og ligger i samme kvadrant som (a,b).
Eksempel 7.
8)
a og b er sinx og cosx, eler cosx og sinx.
Eksempel 8.
Når vi skal løse trigonometriske ligninger må vi ofte dele den opp i flere trigonometriske grunnlikninger før vi kan løse den. Et klassisk eksempel er faktoriseringsmetoden. Vi tar for oss ligningen
Selv om det kan være fristende, må du, uansett hva du gjør, ikke dele på
- Nå ser vi at for at ligningen skal oppfylles, må
eller . Vi har klart å redusere den kompositte trigonometriske ligningen til to trigonometriske grunnlikninger.
- NB: Dersom du på forhånd har sjekket at det du deler eller multipliserer med ikke er lik null, er det greit å gjennomføre operasjonen. Dette kan gjøres ved å plugge inn null for den aktuelle faktoren og se om likningen oppfylles.
Fra graf til funksjonsuttrykk
Generellt ser uttrykket til en sinusfunksjon slik ut:
Hvordan kan vi knytte dette funksjonsuttrykket sammen med en graf som ser slik ut?:
Likevektslinje
Likevektslinjen er den linjen den periodiske funksjonen svinger rundt. Utslaget er like stort til begge sider (opp og ned).
Likevektslinje: y = d
Vi finner uttrykket for d ved å regne ut:
Amplitude: A
Amplituden er det største utslaget på grafen. Når du skrur på volumet på stereoen din bestemmer du amplituden. Dersom du ønsker høy lyd er aplituden stor..
Amplituden er utslaget fra likevekstlinja, og er alltid positivt.
Amplitude:
Man må merke seg at amplituden er en absoluttverdi, den er alltid positiv fordi den måler avstanden fra likevekstlinje til maksimalt (eller minimalt) utslag.
Amplituden er lengden av den blå linjen. Den grønne linjen er likevekstlinjen.
Da har vi etablert at modellen ser slik ut:
Vi mangler fortsatt k og c.
Periode
Hvor mange ganger funksjonen repeterer seg selv i intervallet
Peiode P:
k er gjentakelser i intervallet
Den stiplede linjen viser gjentakelsene av funksjonen en fra F til G, og en fra G til E, altså k = 2.
k er antallet ganger funksjonen repeterer seg selv i intevallet
Faseforskyvning
sin (x) og sin (kx) vil være null for x = 0, for så å vokse med økende x. Ved faseforskyvning blir grafen forskjøvet.
Vi finner skjæring med likevektslinje ved å sette
kx + c= 0
Faseforskyvning:
Man observere at faseforskyvningen er -0,25. Vi tar utgangspunkt i punktet der likevektslinjen krysser y aksen og beveger oss til den delen av grafen som vokser, fordi sinusfunksjonen vokser for vinkler i første kvadrant. Se fuguren over.
Da blir c:
Dersom
Dersom
Funksjonsutrykket ser slik ut:
Dersom vi faktoriserer uttrykket man skal ta sinus av får man
Her ser man at faseforskyvningen vises eksplisit.
Litt mere om faseforskyvning
Alternativ skrivemåte
Nullpunkt for sinusfunksjonen
For å finne nullpunktene til sinusfunksjonen må man kunne løse likninger, fordi man som vanlig setter
Trigonometriske likninger finner du her [[1]].
Ekstremalpunkt for sinusfunksjonen
Man kan derivere funksjonen og sette den deriverte lik null, men ofte er det lettere å benytte egenskapene ved sinusfunksjonen.
Vi vet at sin( u) antar verdier fra -1 til 1.
Vi har funksjonen
toppunkt
Vi vet funksjonen har sin (u) maksimale verdi lik 1 når
Så må vi ta hensyn til at definisjonsmengden går fra 0 til
k = 4 kommer over øvre grensen til definisjonsmengden, og skal ikke være med.
Vi ønsker å skrive funksjonen f(x)= a sin cx + b cos cx på formen g(x)= A sin (cx +
Altså: a sin cx + b cos cx = A sin (cx +
NB:
Eksempel:
f(x) = -2 sin 3x + cos 3x
Husk at punktet (-2,1) ligger i andre kvadrant, så vi jakter på en vinkel i denne kvadranten.
Vi får : f(x)= 2,24 sin(3x + 2,,678)
Her er utgangsfunksjonen, her kalt g(x) tegnet med likevektslinje y = 2, bare for å kunne sammenligne grafene til de to uttrykkene. Vi ser at de er identiske, med en faseforskyvning mot venstre på
Bevis