Regresjon: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
m Endret beskyttelsesnivå for «Regresjon» (‎[move=sysop] (ubestemt))
 
(103 mellomliggende versjoner av 3 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:


== Innledning ==
== Innledning ==
Linje 8: Linje 5:
Poenget med regresjon er at man ut fra noen få målinger (observasjoner) lager en matematisk funksjon som forutsier hendelsen innenfor et visst område.  
Poenget med regresjon er at man ut fra noen få målinger (observasjoner) lager en matematisk funksjon som forutsier hendelsen innenfor et visst område.  


Regresjon på grunnkurset handler mye om å bruke kalkulatorens statistikkfunksjon, legge inn tabeller med observasjonsdata, og om å velge riktig regresjonstype. For å mestre kalkulatoren er det viktig at du leser bruksanvisningen og ”taster” deg gjennom et par eksempler.


Så langt har vi tegnet grafer ut fra kjente funksjonsuttrykk. I mange fag som økonomi, teknikk og naturfagene, er det ofte ønskelig å finne en sammenheng mellom forskjellige størrelser.  
Så langt har vi tegnet grafer ut fra kjente funksjonsuttrykk. I mange fag som økonomi, teknikk og naturfagene, er det ofte ønskelig å finne en sammenheng mellom forskjellige størrelser.  


Man kan måle og observere sammenhengen mellom størrelse og på det grunnlag formulere et funksjonsuttrykk som gir en sammenheng.
Man kan måle og observere sammenhengen mellom størrelse og på det grunnlag formulere et funksjonsuttrykk som gir en sammenheng.
[[Bilde:linje.png]]  [[Bilde:exp1.png]] [[Bilde:exp2.png]]  [[Bilde:log.png]] [[Bilde:poly2.png]]  <p></p>
[[Bilde:linje1.PNG]]  [[Bilde:exp22.PNG]] [[Bilde:exp2.png]]  [[Bilde:log.png]] [[Bilde:poly2.png]]  <p></p>
<p></p>
[[Bilde:graf1.PNG|right|thumb|1.Finn punktlisten og legg inn x og y verdiene]]
[[Bilde:graf2.PNG|right|thumb|2.Oppskrift på bruk av Graf ved regresjon]]
[[Bilde:graf3.PNG|right|thumb|3.Oppskrift på bruk av Graf ved regresjon]]
[[Bilde:graf4.PNG|right|thumb|4.Oppskrift på bruk av Graf ved regresjon]]
Over ser man forskjellige grafer som representerer matematiske funksjoner. Modelleringen består i hovedsak å finne en matematisk funksjon som passer til de måledata man har og finne ut i hvilket område modellen har gyldighet. Man har følgende data plottet i et koordinatsystem:<p></p>
 
[[Bilde:koo1.png]]
<p></p>
<p></p>
Oppgaven blir å finne en kurve / graf som passer best mulig til målepunktene. Man ser at graf nr. 2 over trolig er den som passer best. For å finne grafen og det matematiske uttrykket bruker vi digitale hjelpemidler. Det finnes mange digitale hjelpemidler du kan bruke, inkludert kalkulator. Hovedsaken er at du lærer deg å bruke hjelpemidlet godt.


Over ser man forskjellige grafer som representerer matematiske funksjoner. Modelleringen består i hovedsak å finne en matematisk funksjon som passer til de måledata man har. Man har følgende data plottet i et koordinatsystem:<p></p>
[[Bilde:koo2.png]]


[[Bilde:punkt.png]]
Man observerer at grafen ikke helt passer til målepunktene, men den passer ganske godt. Hvor godt den passer er r et mål på.<p></p>
<p></p>
Oppgaven blir å finne en kurve / graf som passer best mulig til målepunktene. Man ser at graf nr. 2 over trolig er den som passer best. For å finne grafen og det matematiske uttrykket bruker vi digitale hjelpemidler. I denne sekvensen bruker vi regneark, men det går også an å bruke kalkulator eller annen programvare.


== Koeffisienten r ==
== Koeffisienten r ==
Linje 28: Linje 31:
Når vi benytter regresjon går vi fra noen målepunkter (sammenhørende x og y verdier) til en generell sammenheng mellom x og y, uttrykt ved et funksjonsuttrykk.  
Når vi benytter regresjon går vi fra noen målepunkter (sammenhørende x og y verdier) til en generell sammenheng mellom x og y, uttrykt ved et funksjonsuttrykk.  


Et mål på hvor god vår modell er finner vi ved å se på bestemmelseskoeffisienten r. Verdiene for r varierer mellom -1 og 1, avhengig av hvor god tilpassningen er mellom data og trendlinje (graf) er. Dersom r er nær 0 er tilpassningen dårlig. Desto nærmer 1 eller -1 r- verdien kommer, desto bedre tilpassning.  
Et mål på hvor god vår modell er finner vi ved å se på bestemmelseskoeffisienten r. Verdiene for r varierer mellom -1 og 1, avhengig av hvor god tilpassingen er mellom data og trendlinje (graf) er. Dersom r er nær 0 er tilpassingen dårlig. Desto nærmer 1 eller -1 r- verdien kommer, desto bedre tilpassing.  


Vi velger altså den regresjonstypen med r verdi lengst fra null (nær 1 eller -1). Dersom man ser på <tex>r^2</tex> skal den være så nær en som mulig for å representere en god modell.
Vi velger altså den regresjonstypen med r verdi lengst fra null (nær 1 eller -1). Dersom man ser på <math>r^2</math> skal den være så nær en som mulig for å representere en god modell.




Når man lager modeller på denne måten må man tenke på området modellen er gyldig i. Dersom man lager en modell i Mai, for veksten av en blomst, vil modellen ha et gyldighetsområde. Det kan være fra Mai til oktober. Det er lite trolig at modellen er gyldig i Desember, når det er mørkt, kaldt og snøen liggger i hagen.
Når man lager modeller på denne måten må man tenke på området modellen er gyldig i. Dersom man lager en modell i Mai, for veksten av en blomst, vil modellen ha et gyldighetsområde. Det kan være fra Mai til oktober. Det er lite trolig at modellen er gyldig i Desember, når det er mørkt, kaldt og snøen ligger i hagen.<p></p>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A08%2BA09%2BA0A%2BA0B%2BA0C%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Lineær regresjon ==
== Lineær regresjon ==




[[Bilde:linje1.PNG]]


Figur 1 viser en rett linje. Dersom man har målepunker som ligger nesten på linje er det mulig at lineær regresjon er den beste modellen.
<p></p>Man vil da få en funksjon av typen:  <p></p>
'''f(x) = ax+b''' <p></p>
Dersom man har har følgende observasjoner
<table border="1" cellpadding="5">
<tr>
  <td>'''x - verdi '''</td><td>1</td><td>2</td><td> 3  </td><td> 4 </td> <td> 5  </td>
</tr>
<tr>
<td>'''y - verdi '''</td>  <td> 2  </td> <td> 3 </td><td> 3  </td><td> 4  </td> <td> 4,5  </td>
 
</tr>
</table>
Plotter man disse i et koordinatsystem får man:
<p></p>
[[Bilde:linreg1.png]]<p></p>
Dataprogrammet gir oss funksjonsuttrykket til den linjen som passer best med måledataene. I dette tilfellet er det <p></p>
y=0,6x+1,5<p></p>
<math>r^2 = 0,95</math> noe som tyder på at dette er en akseptabel modell.
Dersom man regner med at modellen er gyldig i området fra 0 til 20 x kan man bruke den til å regne ut verdier for y for større x-verdier enn 5, som var den høyeste x verdi i målingene.<p></p>
Dersom man lurer på hva y er når x er 15,er det bare å sette inn 15 for x i funksjonsuttrykket:  <p></p>
<math>y = 0,6 \cdot 15 + 1,5 = 10,5</math><p></p>
På denne måten kan man "forutsi" hva y blir for andre x-verdier enn de vi har målt.<p></p>
   
   
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A03%2BA04%2BA05%2BA06%2BA07%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
== Eksponentiell regresjon==
[[Bilde:exp1.png]] [[Bilde:exp2.png]]<p></p>
Dersom noe øker sakte til å begynne med, for så å øke rakt, som i figur 2, kan man trolig bruke en eksponentiell modell.<p></p>
Det samme gjelder dersom noe avtar raskt, for så nesten å flate ut, som i figur 3.<p></p>
En eksponentiell funksjon er på formen <math>f(x)=a \cdot b^x  </math>
<p></p>
Dersom grunntallet b er større enn en vokser funksjonen som i figur 2. Dersom b er mindre enn en avtar funksjonen med økende x verdier, som i figur 3.<p></p>
Dersom man har følgende observasjoner:<p></p>
<table border="1" cellpadding="5">
<tr>
  <td>'''x - verdi '''</td><td>1</td><td>2</td><td> 3  </td><td> 4 </td> <td> 5  </td>


   
</tr>
<tr>
<td>'''y - verdi '''</td> <td> 1,8  </td> <td> 2,2 </td><td> 2,5  </td><td> 6  </td> <td> 12  </td>
 
</tr>
 
</table>
 
kan man plotte punktene i et koordinatsystem. Om man velger en trendlinje som er eksponentiell får man følgende kurve:<p></p>
[[Bilde:exp23.PNG]]
<math>F(x) = 1,06 \cdot 1,5^x</math><p></p>
Man observerer at grunntallet er 1,5 , altså større enn en, og det betyr at grafen vokser mot høyre.
Figuren er laget i Graph som kan lastes ned her:[http://www.padowan.dk/graph/]
 
<table border="1" cellpadding="5">
<tr>
  <td>'''x - verdi '''</td><td>1</td><td>2</td><td> 3  </td><td> 4 </td> <td> 5  </td>
 
</tr>
<tr>
<td>'''y - verdi '''</td>  <td> 9  </td> <td> 7 </td><td> 5  </td><td> 4  </td> <td> 4  </td>
 
</tr>
 
</table>
 
 
[[Bilde:reg.png]]<p></p>
<math>f(x)=10,59 \cdot 0,8^x</math><p></p>
Man observerer at grunntallet er 0,8, altså mindre enn en, det betyr at grafen avtar mot høyre, altså når x blir større.
 
Figuren er laget i
 
http://no.openoffice.org/ regneark, Openoffice]
som kan lastes ned gratis.
 
 
 
<p></p>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A0D%2BA0E%2BA0F%2BA10%2BA11%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
 
== Logaritmisk regresjon==
 
[[Bilde:log.png]]
<p></p><table border="1" cellpadding="5">
<tr>
  <td>'''x - verdi '''</td><td>1</td><td>2</td><td> 3  </td><td> 4 </td> <td> 5  </td><td> 6  </td>
 
 
</tr>
<tr>
<td>'''y - verdi '''</td>  <td> 1  </td> <td> 3 </td><td> 6  </td><td> 7  </td> <td> 7  </td><td> 8  </td>


Et blikk på kurven og på målepunktene forteller oss at samsvaret er dårlig. På lang sikt ser et ut som om kurven underestimerer antallet, mens den overestimerer antallet individer i perioden 3 – 7,5 uker. Verdien for r2 er 0,717 og vi forkaster denne modellen.
 
</tr>


</table>
<p></p>
[[Bilde:log2.png]]<p></p>


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=9B7%2B9B8%2B9B9%2B9BB%2B9BA%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Geometrisk regresjon ==
== Polynom regresjon==


[[Bilde:poly2.png]]
<p></p>


Vi måler temperaturen kl. 13:00, 14:00, 15:00, 16:00, 18:00 og 20:00. Tidspunkt og temperatur plottes i et koordinatsystem. Hva blir temperaturen kl 22:00?


    
<table border="1" cellpadding="5">
<tr>
   <td>'''x - verdi '''</td><td>1</td><td>2</td><td> 3  </td><td> 4 </td> <td> 6  </td><td> 8 </td>




</tr>
<tr>
<td>'''y - verdi '''</td>  <td> 0  </td> <td> 2 </td><td> 3  </td><td> 2  </td> <td> -1  </td><td> -4  </td>


Denne tilpassningen ser bedre ut og r 2 = 0,906 bekrefter det. Men, når tiden øker ser det ut som om funksjonen viser for lave y verdier. Tilpassningen er god fram til x = 7 uker.
 
</tr>


</table>
<p></p>
Her brukes polynomregresjon av andre grad, da blir funksjonen en parabel.<p></p>
[[Bilde:temp.png]]<p></p>Fra figuren ser man at temperaturen vil bli ca. -11 grader, dersom modellen er gyldig. Husk at dette er en modell med en grad av usikkerhet, det er derfor meningsløst å oppgi desimaler. Funksjonsuttrykket for modellen er <p></p>
<math>f(x)= - 0,29x^2 + 1,89x - 1,06</math><p></p><math>r^2= 0,95</math><p></p>
Innsatt for 10 i funksjonsuttrykket får man:<p></p>
<math>f(10)= - 0,29(10)^2 + 1,89\cdot10 - 1,06= -29 + 18,9 -1,06 =-11</math>  <p></p>


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=9B7%2B9B8%2B9B9%2B9BB%2B9BA%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Eksponentiell regresjon ==
== Case==




Du arbeider som biolog og får en melding om at et nytt ukjent insekt har blitt observert i en park nær deg!! Det er grunn til å tro at insektet kan skape ubalanse i parken ved at det spiser opp produsenter som er nyttige i næringskjeden. Du får ni uker på deg før myndighetene vil ha et råd fra deg. Du bestemmer deg for å få en oversikt over formeringsevnen ved å setter opp elektroniske telleapparater som avleses hver uke. Du foretar 9 avlesninger, en hver uke. Resultater:


<table border="1" cellpadding="5">
<tr>
  <td>'''Uke nr. '''</td><td>1</td><td>2</td><td> 3  </td><td> 4 </td> <td> 5  </td><td> 6  </td><td> 7  </td><td> 8  </td><td> 9  </td>


</tr>
<tr>
<td>'''Antall '''</td>  <td> 2  </td> <td> 4 </td><td> 8  </td><td> 16  </td> <td> 40  </td><td> 100  </td><td> 190  </td><td> 450  </td>


Kurven ser ut til å passe godt med målepunktene og en r 2 verdi på 0,9968 bekrefter at tilpassningen er god. Den funksjonen som best beskriver situasjonen er altså
<td> 700  </td>
 
</tr>


f(x) = 0,8758e0,7628x , eller f(x) = 0,8758e0,7628x = 0,8758(e 0,7628)x = 0,8758·2,144 x
</table>


Vi har brukt 9 uker på undersøkelser og det er fortsatt 3 måneder igjen av sesongen for innsektene. Til sammen er det 21 uker.  
Erfaringer disse ukene vier at insektene ikke gjør så stor skade som først antatt og myndighetene vil ikke sette i gang tiltak før antallet insekter eventuelt overskrider 100.000. Det er 12 uker igjen av forplantningssesongen. Hva blir ditt råd til myndighetene?


f(21) = 0,8758· 2,144 21= 790.000


Dersom innsektene får formere seg med samme hastighet som i måleperioden ser man at antallet langt overstiger myndighetenes grense for å gripe inn (100.000).  
[[Bilde:senario2.PNG|right|thumb|.......]]


Grensen myndighetene har satt nåes etter:
<p></p>


f(x) = 100.000
[[Bilde:insekt.png]]


0,8758· 2,144 x= 100.000
Man observerer at funksjonen <math>f(x)=0,88\cdot 2,14^x</math> stiger raskt. I uke 21 vil det være <math>f(21)=0,88\cdot 2,14^{21} = 8000000</math>. I slutten av forplantningssessongen kan det være ca 8 millioner insekter. Grafen i høyremargen viser utviklingen til ca 100000 insekter.
I uke 15 eller 16 vil 100000 insekter passeres. Det betyr at myndighetene kun har 6-7 uker (fra siste måling) til å ordne opp i problemet. Rådet må altså være; Sett i gang tiltak snarest!!


x ≈ 15


ca 15 uker.
----


I dette eksemplet forutsettes det at veksten fortsetter etter den matematiske modellen i hele forplantningsperioden. Kan du tenke deg hva som kan inntreffe og føre til at modellen vil avvike fra virkeligheten?
[[Category:Analyse]]
[[Category:2P]] [[Category:1T]] [[Category:Ped]]

Siste sideversjon per 21. okt. 2019 kl. 12:10

Innledning

Poenget med regresjon er at man ut fra noen få målinger (observasjoner) lager en matematisk funksjon som forutsier hendelsen innenfor et visst område.


Så langt har vi tegnet grafer ut fra kjente funksjonsuttrykk. I mange fag som økonomi, teknikk og naturfagene, er det ofte ønskelig å finne en sammenheng mellom forskjellige størrelser.

Man kan måle og observere sammenhengen mellom størrelse og på det grunnlag formulere et funksjonsuttrykk som gir en sammenheng.

1.Finn punktlisten og legg inn x og y verdiene
2.Oppskrift på bruk av Graf ved regresjon
3.Oppskrift på bruk av Graf ved regresjon
4.Oppskrift på bruk av Graf ved regresjon

Over ser man forskjellige grafer som representerer matematiske funksjoner. Modelleringen består i hovedsak å finne en matematisk funksjon som passer til de måledata man har og finne ut i hvilket område modellen har gyldighet. Man har følgende data plottet i et koordinatsystem:

Oppgaven blir å finne en kurve / graf som passer best mulig til målepunktene. Man ser at graf nr. 2 over trolig er den som passer best. For å finne grafen og det matematiske uttrykket bruker vi digitale hjelpemidler. Det finnes mange digitale hjelpemidler du kan bruke, inkludert kalkulator. Hovedsaken er at du lærer deg å bruke hjelpemidlet godt.

Man observerer at grafen ikke helt passer til målepunktene, men den passer ganske godt. Hvor godt den passer er r et mål på.

Koeffisienten r

Når vi benytter regresjon går vi fra noen målepunkter (sammenhørende x og y verdier) til en generell sammenheng mellom x og y, uttrykt ved et funksjonsuttrykk.

Et mål på hvor god vår modell er finner vi ved å se på bestemmelseskoeffisienten r. Verdiene for r varierer mellom -1 og 1, avhengig av hvor god tilpassingen er mellom data og trendlinje (graf) er. Dersom r er nær 0 er tilpassingen dårlig. Desto nærmer 1 eller -1 r- verdien kommer, desto bedre tilpassing.

Vi velger altså den regresjonstypen med r verdi lengst fra null (nær 1 eller -1). Dersom man ser på <math>r^2</math> skal den være så nær en som mulig for å representere en god modell.


Når man lager modeller på denne måten må man tenke på området modellen er gyldig i. Dersom man lager en modell i Mai, for veksten av en blomst, vil modellen ha et gyldighetsområde. Det kan være fra Mai til oktober. Det er lite trolig at modellen er gyldig i Desember, når det er mørkt, kaldt og snøen ligger i hagen.

Test deg selv

Lineær regresjon

Figur 1 viser en rett linje. Dersom man har målepunker som ligger nesten på linje er det mulig at lineær regresjon er den beste modellen.

Man vil da få en funksjon av typen:

f(x) = ax+b

Dersom man har har følgende observasjoner

x - verdi 12 3 4 5
y - verdi 2 3 3 4 4,5

Plotter man disse i et koordinatsystem får man:


Dataprogrammet gir oss funksjonsuttrykket til den linjen som passer best med måledataene. I dette tilfellet er det

y=0,6x+1,5

<math>r^2 = 0,95</math> noe som tyder på at dette er en akseptabel modell.

Dersom man regner med at modellen er gyldig i området fra 0 til 20 x kan man bruke den til å regne ut verdier for y for større x-verdier enn 5, som var den høyeste x verdi i målingene.

Dersom man lurer på hva y er når x er 15,er det bare å sette inn 15 for x i funksjonsuttrykket:

<math>y = 0,6 \cdot 15 + 1,5 = 10,5</math>

På denne måten kan man "forutsi" hva y blir for andre x-verdier enn de vi har målt.

Test deg selv

Eksponentiell regresjon

Dersom noe øker sakte til å begynne med, for så å øke rakt, som i figur 2, kan man trolig bruke en eksponentiell modell.

Det samme gjelder dersom noe avtar raskt, for så nesten å flate ut, som i figur 3.

En eksponentiell funksjon er på formen <math>f(x)=a \cdot b^x </math>

Dersom grunntallet b er større enn en vokser funksjonen som i figur 2. Dersom b er mindre enn en avtar funksjonen med økende x verdier, som i figur 3.

Dersom man har følgende observasjoner:

x - verdi 12 3 4 5
y - verdi 1,8 2,2 2,5 6 12

kan man plotte punktene i et koordinatsystem. Om man velger en trendlinje som er eksponentiell får man følgende kurve:

<math>F(x) = 1,06 \cdot 1,5^x</math>

Man observerer at grunntallet er 1,5 , altså større enn en, og det betyr at grafen vokser mot høyre. Figuren er laget i Graph som kan lastes ned her:[1]

x - verdi 12 3 4 5
y - verdi 9 7 5 4 4


<math>f(x)=10,59 \cdot 0,8^x</math>

Man observerer at grunntallet er 0,8, altså mindre enn en, det betyr at grafen avtar mot høyre, altså når x blir større.

Figuren er laget i

http://no.openoffice.org/ regneark, Openoffice] som kan lastes ned gratis.


Test deg selv

Logaritmisk regresjon



x - verdi 12 3 4 5 6
y - verdi 1 3 6 7 7 8

Test deg selv

Polynom regresjon

Vi måler temperaturen kl. 13:00, 14:00, 15:00, 16:00, 18:00 og 20:00. Tidspunkt og temperatur plottes i et koordinatsystem. Hva blir temperaturen kl 22:00?



x - verdi 12 3 4 6 8
y - verdi 0 2 3 2 -1 -4

Her brukes polynomregresjon av andre grad, da blir funksjonen en parabel.

Fra figuren ser man at temperaturen vil bli ca. -11 grader, dersom modellen er gyldig. Husk at dette er en modell med en grad av usikkerhet, det er derfor meningsløst å oppgi desimaler. Funksjonsuttrykket for modellen er

<math>f(x)= - 0,29x^2 + 1,89x - 1,06</math>

<math>r^2= 0,95</math>

Innsatt for 10 i funksjonsuttrykket får man:

<math>f(10)= - 0,29(10)^2 + 1,89\cdot10 - 1,06= -29 + 18,9 -1,06 =-11</math>

Test deg selv

Case

Du arbeider som biolog og får en melding om at et nytt ukjent insekt har blitt observert i en park nær deg!! Det er grunn til å tro at insektet kan skape ubalanse i parken ved at det spiser opp produsenter som er nyttige i næringskjeden. Du får ni uker på deg før myndighetene vil ha et råd fra deg. Du bestemmer deg for å få en oversikt over formeringsevnen ved å setter opp elektroniske telleapparater som avleses hver uke. Du foretar 9 avlesninger, en hver uke. Resultater:

Uke nr. 12 3 4 5 6 7 8 9
Antall 2 4 8 16 40 100 190 450 700

Erfaringer disse ukene vier at insektene ikke gjør så stor skade som først antatt og myndighetene vil ikke sette i gang tiltak før antallet insekter eventuelt overskrider 100.000. Det er 12 uker igjen av forplantningssesongen. Hva blir ditt råd til myndighetene?


.......

Man observerer at funksjonen <math>f(x)=0,88\cdot 2,14^x</math> stiger raskt. I uke 21 vil det være <math>f(21)=0,88\cdot 2,14^{21} = 8000000</math>. I slutten av forplantningssessongen kan det være ca 8 millioner insekter. Grafen i høyremargen viser utviklingen til ca 100000 insekter. I uke 15 eller 16 vil 100000 insekter passeres. Det betyr at myndighetene kun har 6-7 uker (fra siste måling) til å ordne opp i problemet. Rådet må altså være; Sett i gang tiltak snarest!!