S1 2020 høst LØSNING

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Videoløsning del 1 av Lektor Lainz

DEL 1

Oppgave 1

a)

$2(3x+2)=2x(x+2)+4 \\ 6x+4 = 2x^2+4x+4 \\ -2x^2+2x=0 \quad |:(-2)\\ x^2-x = 0 \\ x(x-1)=0 \\ x=0 \vee x=1 $

b)

$3^x\cdot 3^2=\frac{1}{3^5} \\ 3^{x+2}=3^{-5} \\ x+2=-5 \\ x=-7$

c)

$lg(3x-2)=2lgx \\ lg(3x-2)=lg(x^2) \\ 10^{lg(3x-2)}=10^{lg(x^2)} \\ 3x-2 = x^2 \\ -x^2+3x-2=0 \quad | :(-1)\\ x^2-3x+2=0 \\ (x-1)(x-2)=0 \\ x=1 \vee x=2$

Oppgave 2

a)

$\frac{4a^3(a^{-2}b^3)^2}{(2^{-1})^{-2}ab^4} \\ =\frac{4a^3\cdot a^{-4}\cdot b^6}{2^2\cdot ab^4} \\ = a^{3-4-1}\cdot b^{6-4} \\ = a^{-2}\cdot b^{2} \\ = (\frac{b}{a})^2 $

b)

$\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^2-1}+1 \\ = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}-\frac{2x}{(x+1)(x-1)}+\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x+1-2x+(x^2-1)}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x^2-x}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} \\ = \frac{x}{x+1}$

Oppgave 3

$x^2-3x+2\leq 0 \\ (x-1)(x-2)\leq 0$

Nullpunkter: $x=1$ og $x=2$

$x^2-3x+2\leq 0$ når $x\in [1,2]$

Oppgave 4

La $x$ være antall gullmedaljer, og $y$ være antall sølvmedaljer.

$I \quad x+y=16 \\ II \quad 7x+5y=102$

$I \quad y=16-x$

$II \quad 7x+5(16-x)=102 \\ \quad \quad 7x+80-5x=102 \\ \quad \quad 2x=102-80 \\ \quad \quad x=\frac{22}{2}=11$

Norge tok 11 gullmedaljer i vinter-OL i 2014.

Oppgave 5

a)

$P(to \, like)=P((B\cap B)\cup(R\cap R))= \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{12}+\frac{2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

Sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget er $\frac{1}{3}$.

b)

La $x$ være antall røde kuler.

$P(to\, ulike)=P((B\cap R)\cup(R\cap B)) \\ = \frac{2}{2+x}\cdot \frac{x}{2+x-1} + \frac{x}{2+x} \cdot \frac{2}{2+x-1} \\ = \frac{2x}{(2+x)(1+x)}\cdot 2 \\ = \frac{4x}{x^2+2x+x+2} \\ = \frac{4x}{x^2+3x+2}$

Setter $P(to\,ulike) < \frac{1}{2}$

$\frac{4x}{x^2+3x+2} < \frac{1}{2} \\ 8x < x^2+3x+2 \\ -x^2+5x-2 < 0 \\ x^2-5x+2 > 0 \\ x>\frac{5\pm\sqrt{25-4\cdot 1 \cdot 2}}{2} \\ x_1> \frac{5+\sqrt{17}}{2} \vee x_2>\frac{5-\sqrt{17}}{2}$

Velger den positive løsningen, $x_1$. Vi vet at $\sqrt{17} > 4$, siden $\sqrt{16}=4$.

$x_1 > \frac{5+4}{2} \\ x_1 > 4,5$

Det må ligge flere enn 5 røde kuler i krukken, dersom sannsynligheten for at de to kulene som trekkes har ulik farge, er mindre enn 50 %.

Oppgave 6

$\bullet$ Vi har en vertikal asymptote i x = 3. Det vil si at nevner er lik null når x = 3.

$\quad 3+c = 0 \Rightarrow c=-3$

$\bullet$ Vi lar x gå mot uendelig:

$\quad lim_{x \to \infty} \frac{ax+b}{x+c} \approx lim_{x \to \infty} \frac{ax}{x} = a $

$\quad $ Vi har en horisontal asymptote i y = -2, og har derfor $a=-2$

$\bullet$ Ser at vi har et nullpunkt i x=2. Setter $f(x)=0$

$\quad \frac{ax+b}{x+c}=0 \\ \quad \frac{-2\cdot 2+b}{x-3}=0 \\ \quad -4+b = 0 \\ \quad b=4 $

Vi har $a = -2$, $b = 4$ og $c = -3$.

Oppgave 7

a)

Skriver om ulikhetene på formen y=ax+b. Tegner inn disse linjene i et koordinatsystem (du må gjøre det for hånd).

$-2x+5y \leq 8 \quad \Rightarrow \quad y \leq \frac{2}{5}x+\frac{8}{5} \quad \Rightarrow \quad y \leq 0,4x+1,6$

$2x+y \geq 4 \quad \Rightarrow \quad y \geq -2x+4$

$2x-y \leq 8 \quad \Rightarrow \quad y \geq 2x-8 $

b)

Regner ut verdien til uttrykket $-2x+3y$ i hjørnene:

Hjørnet (1,2): $-2\cdot 1+3\cdot 2 = -2+6=4$

Hjørnet (3,-2): $-2\cdot 3 + 3\cdot (-2) = -6-6 = -12$

Hjørnet (6,4): $-2\cdot 6 + 3\cdot 4 = -12+12 = 0$

Uttrykket $-2x+3y$ kan få alle verdier i intervallet $[-12,4]$, dersom (x,y) skal ligge i M.

Oppgave 8

$g(x) = x^3-\frac{3}{2}x^2$

a)

$g(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^3-\frac{3}{2}\cdot (\frac{3}{2})^2=(\frac{3}{2})^3-(\frac{3}{2})^3=0$

$g(2)=2^3-\frac{3}{2}\cdot 2^2 = 8-3\cdot 2 = 8-6 = 2 $

Gjennomsnittlig vekstfart:

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-0}{2-\frac{3}{2}} = \frac{2}{0,5} = 4$

Den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet $[\frac{3}{2},2]$ er 4.

b)

$g'(x)=3x^2-\frac{3\cdot 2}{2}x = 3x^2-3x$

$g'(2)=3\cdot 2^2-3\cdot 2 = 12-6 = 6$

c)

Setter $g'(x)=6$

$3x^2-3x = 6 \\ 3x^2-3x-6 = 0 \quad |:3 \\ x^2-x-2 = 0 \\ (x+1)(x-2)=0 \\ x_1=-1 \vee x_2 = 2$

$g(-1) = (-1)^3-\frac{3}{2}\cdot (-1)^2 = -1-\frac{3}{2} = -\frac{2}{2}-\frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$

$g(2) = 2$, som vi regnet ut i a).

$A=(-1, -\frac{5}{2})$ og $B=(2,2)$.

Oppgave 9

a)

Vi har omkretsen til rektangelet $O=2x+2y = 96\,cm$

$2x+2y=96 \\ y = \frac{96-2x}{2} \\ y= 48-x$

b)

Vi trenger et uttrykk for radiusen til sylinderen. Vi har omkretsen til sylinderen $O=2\pi r = x$

$2\pi r = x \quad \Rightarrow \quad r = \frac{x}{2\pi}$

Volumet av en sylinder: $V=\pi r^2\cdot h$

$V(x)=\pi (\frac{x}{2\pi})^2 \cdot (48-x) \\ = \pi (\frac{x^2}{4 \pi ^2})\cdot (48-x) \\ = \frac{x^2}{4\pi}(48-x) \\ = \frac{1}{4\pi}(48x^2-x^3)$

c)

$V'(x)=\frac{1}{4\pi}(96x - 3x^2)$

Setter $V'(x)=0$

$\frac{1}{4\pi}(96x - 3x^2)=0 \\ 96x-3x^2 = 0 \\ x(96-3x)=0 \\ x_1=0 \vee x_2 = \frac{96}{3}=32$

Vi kan ikke ha en omkrets x=0, så vi må ha omkretsen x=32 for at volumet av sylinderen skal bli størst mulig.

Notat: andregradsleddet til den deriverte har negativt fortegn, så den deriverte er en andregradsfunksjon som vender den hule siden ned. Det vil si at V'(x) er positiv i intervallet $x\in[0,32]$, så funksjonen V(x) vokser i dette intervallet, og vi vet derfor at vi har et toppunkt i x=32 (og ikke et bunnpunkt).

DEL 2

a)

Sannsynligheten for at det er sol en tilfeldig dag på Gran Canaria er $\frac{300}{365}\approx 0,8219$.

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra og velger binomisk fordeling. Velger n=14 og p=0,8219, som gir $P(X\geq 14) \approx 0,064$.

Agnete har antatt en binomisk fordeling av soldager. Det innebærer at:

$\bullet$ Sannsynligheten for at det er sol en dag er den samme hver dag.

$\bullet$ Sannsynligheten for at det er sol en dag er uavhengig av sannsynligheten for at det er sol en annen dag.

$\bullet$ Det er enten sol eller ikke sol. Hun har ikke tatt høyde for ulike varianter av sol med skyer, sol kun på formiddagen etc.

b)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og velger igjen en binomisk fordeling. Velger n = 8 (antall ferier), og p = 0,064 (sannsynligheten for bare soldager i en ferie). Finner $P(X\geq 2) = 0,0886$.

Det er 8,86 % sannsynlighet for at familien opplever bare soldager på minst 2 av sine 8 ferier på Gran Canaria.

c)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og velger binomisk fordeling. Velger n = 28 (4 x 7 dager), og prøver meg frem til en sannsynlighet som gir $p(X\geq 22)$. Finner da p=0,8551.

$\frac{x}{365}=0,8551 \Rightarrow x =0,8551 \cdot 365 \approx 312,11$

Det må minst være i gjennomsnitt 313 soldager i året på dette stedet, for at påstanden fra reisebyrået skal være sann.

Oppgave 2

a)

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra.

$g(x)=3936\cdot 1,125^x$ er en eksponentiell modell for avskogingen i Amazonas (målt i kvadratkilometer) x år etter 2011.

b)

Tegner grafen i Geogebra.

c)

Avskogingen var 7893 kvadratkilometer per år i 2016. Tegner linja $y=2\cdot 7893$, og finner skjæringspunktet med grafen til f (se punkt A).

15,48 år etter 2011, det vil si i løpet av år 2026, vil avskogingen per år for første gang være mer enn dobbelt så stor som avskogingen var i 2016, ifølge modellen f.

d)

Bruker CAS i Geogebra til å finne f'(10).

Dette forteller oss at 10 år etter 2011, altså i år 2021, øker avskogingen med 797,4 kvadratkilometer per år.

Oppgave 3

a)

La og være antall marsipanpølser konditoriet produserer hver dag av henholdsvis type A og type B.

Vi har $x\geq 0$ og $y\geq 0$ fordi konditoriet må produsere 0 eller flere marsipanpølser.

Setter opplysningene om marsipanpølsene i en tabell.

	Type A	Type B	Mengde tilgjengelig
Melis	$ 50\% \cdot 500\,g = 250\,g$	$ 20\% \cdot 500g = 100\,g$	$60000\,g$
Mandler	$ 45\% \cdot 500\,g = 225\,g$	$ 70\% \cdot 500\,g = 350\,g$	$88200\,g$
Eggehvite	$ 5\% \cdot 500\,g = 25\,g$	$ 10\% \cdot 500\,g = 50\,g$	$12000\,g$

Leser av for melis i tabellen, at 250 g melis per type A marsipanpølse og 100 g melis per type B marsipanpølse, til sammen må forbruke mindre enn 60000g tilgjengelig melis.

$250x+100y \leq 60000 \Rightarrow 2,5x+y\leq 600$

Leser av for mandler i tabellen, at 225 g mandler per type A marsipanpølse og 350 g mandler per type B marsipanpølse, til sammen må forbruke mindre enn 88200g tilgjengelig mandler.

$225x+350y \leq 88200 \Rightarrow 2,25x+3,5y\leq 882$

Leser av for eggehvite i tabellen, at 25 g eggehvite per type A marsipanpølse og 50 g eggehvite per type B marsipanpølse, til sammen må forbruke mindre enn 12000g tilgjengelig eggehvite.

$25x+50y \leq 12000 \Rightarrow x+2y\leq 480$

b)

c)

Lager en glider, 20x+15y=I, og finner ut i hvilket hjørne av området fortjenesten er maksimert. Dette er i punkt A, men det går ikke an å produsere et desimaltall antall marsipanpølser.

Undersøker de nærmeste punktene med hele antall marsipanpølser, som fortsatt er innenfor det skraverte området. Se punkt B, C og D.

Regner ut maksimal fortjeneste i de ulike punktene:

Punkt B: $20\,kr\cdot 186 + 15\,kr \cdot 132 = 5700\,kr$

Punkt C: $20\,kr\cdot 187 + 15\,kr \cdot 131 = 5705\,kr$

Punkt D: $20\,kr\cdot 188 + 15\,kr \cdot 130 = 5710\,kr$

For å maksimere fortjenesten sin, må konditoriet produsere 188 marsipanpølser av type A, og 130 marsipanpølser av type B. Fortjenesten blir da 5710 kr.

d)

Legger til $x+y\leq 250$ til de andre ulikhetene i Geogebra. Beveger glidere fra oppgave c), og ser at fortjenesten nå er størst i nærheten av punkt F.

Finner de nærmeste punktene med hele tall som fremdeles er innenfor det skraverte området, og regner ut fortjenesten:

Punkt G: $20\,kr\cdot 233+15\,kr\cdot 17 = 4915\,kr$

Punkt H: $20\,kr\cdot 234+15\,kr\cdot 15 = 4905\,kr$

Den største fortjenesten konditoriet klarer å få per dag denne uken er 4915 kr.