R2 2020 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Quiz (diskusjon | bidrag)
Lainz (diskusjon | bidrag)
mIngen redigeringsforklaring
 
(44 mellomliggende versjoner av 3 brukere er ikke vist)
Linje 11: Linje 11:


[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3147 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3147 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHW9hzWiGQzuobHhr2u8K5ib Videoløsninger Del 1 laget av Lektor Håkon Raustøl]
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHUV_vo_3NPrmryBaimxrPej Videoløsninger Del 2 laget av Lektor Håkon Raustøl]
[https://youtu.be/OKqer4YcKlA Videoløsning del 1 laget av Lektor Lainz]
[https://youtu.be/Lnr86AB5Rhs Videoløsning del 2 av Lektor Lainz]


=DEL 1=
=DEL 1=
Linje 72: Linje 80:
Finner summen av de 10 første leddene:
Finner summen av de 10 første leddene:


$S_{10} = \frac{a_1+a_10}{2}\cdot 10 \ S_{10} = \frac{3+39}{2}\cdot 10 \ S_{10} = 210$
$S_{10} = \frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10 \ S_{10} = \frac{3+39}{2}\cdot 10 \ S_{10} = 210$


===b)===
===b)===
Linje 115: Linje 123:


===b)===
===b)===
Skjæring med y-aksen:
f(0)=2sin(π0+π)1=2sin(π)1=01=1
Grafen til f skjærer y-aksen i punktet (0,1). Vi kan også se dette av funksjonsuttrykket.
Skjæring med x-aksen; setter f(x)=0
2sin(πx+π)1=0sin(πx+π)=12sin(u)=12u=π6+k2πu=5π6+k2ππx+π=π6πx+π=5π6πx+π=13π6πx+π=17π6x=56x=16x=76x=116
Grafen til f skjærer x-aksen i punktene (56,0),(16,0),(76,0),(116,0).
===c)===
Bruk ekstremalpunktene og nullpunktene, samt skjæring med y-aksen, til å lage en skisse for hånd.
[[File: R2_V20_del1_4c.png]]
==Oppgave 5==
Vi har punktene <i> A(-1,3,2), B(2,2,1), C(0,1,0) </i> og <i> T(5,3,8). </i>
===a)===
AB=[2(1),23,12]=[3,1,1]
AC=[0(1),13,02]=[1,2,2]
AB×AC=[(1)(2)(1)(2),(1)13(2),3(2)(1)1]=[22,1+6,6+1]=[0,5,5]
===b)===
AT=[5(1),33,82]=[6,0,6]
V=|(AB×AC)AT|6=|[0,5,5][6,0,6]|6=|06+50+(5)6|6=|30|6=306=5
Volumet av pyramiden <i>ABCT</i> er 5.
===c)===
Likningen for et plan er
a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0
Der a, b og c er koordinatene til planets normalvektor, og  (x0,y0,z0) er et punkt i planet.
Vi har planets normalvektor [0,5,5] og et punkt i planet  <i> A(-1,3,2)</i>.
Vi får da likning for planet som inneholder punktene A, B og C:
0(x(1))+5(y3)+(5)(z2)=05y155z+10=05y5z=5yz=1
==Oppgave 6==
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved
2+lnx+(lnx)22+...
===a)===
Vi har kvotienten k=lnx2. Rekken konvergerer når lnx21,1. Løser ulikhetene:
lnx2>1lnx>2x>e2
og
lnx2<1lnx<2x<e2
Rekken konvergerer når xe2,e2
===b)===
Summen av rekken er gitt ved
S(x)=a11k4=21lnx24(1lnx2)=242lnx=22lnx=2lnx=1x=e
Summen av rekken blir 4 når x=e.
==Oppgave 7==
Vi har differensiallikningen 2xy3y=0
Sjekker stigningstallet til tangenten i hvert av punktene:
Punkt A(2,2): 22y32=04y6=0y=32
Punkt B(-2,2): 2(2)y32=04y6=0y=32
Punkt C(-2,-2): 2(2)y3(2)=04y+6=0y=32
Punkt D(2,-2): 22y3(2)=04y+6=0y=32
Den markerte tangentretningen samsvarer med retningen til tangenten til integralkurven som går gjennom punkt B og C, men ikke A og D. I punkt A viser den markerte tangentretningen stigningstall 0, og i punkt D stigningstall 14, noe som ikke passer med tangenten til integralkurven i disse to punktene.
==Oppgave 8==
Linje l, som står normalt på planet α, gjennom punktet <i>P(-3,7,-1)</i>:
$l: \left[ \begin{align*}
x &=-3-2s \
y &= 7+2s \
z &= -1-s \end{align*}\right]$
Linja m, som står normalt på planet β, gjennom punktet <i>Q(-4,5,-2)</i>:
$m: \left[ \begin{align*}
x &=-4-7t \
y &= 5+4t \
z &= -2-4t \end{align*}\right]$
Skjæringspunktet mellom linje l og m er sentrum i kula. Finner skjæringspunktet <i>S</i>, ved å løse likningssettet:
I32s=47tII7+2s=5+4tIII1s=24t
Finner et uttrykk for s:
IIIs=1+4t
Setter inn uttrykket for s i likning I, og finner t:
I32(1+4t)=47t328t=47tt=1
Setter inn uttrykket for t i uttrykket for s fra likning III. (Dette for å kunne sjekke at likningssettet er riktig løst):
s=1+4(1)=14=3
Setter inn t = -1 i parameterfremstillingen for linje m, og finner punktet <i>S</i>:
x=47(1)=4+7=3y=5+4(1)=54=1z=24(1)=2+4=2
Sentrum i kula er <i>S(3,1,2)</i>. Bestemmer radius til kula:
QS=[3(4),15,2(2)]=[7,4,4]
|QS|=72+(4)2+42=49+16+16=81=9
Radius i kula er 9. Finner likning for kuleflaten:
(x3)2+(y1)2+(z2)2=92
==Oppgave 9==
En følge er gitt ved a1=2 og an=an1+n. Vi skal vise at an=n2+n+22 for alle n\N.
1. Induksjonsgrunnlag: n=1 gir a1=12+1+22=42=2. Påstanden stemmer for n=1.
2. Induksjonstrinnet: Vi antar at ak=k2+k+22. Med n=k+1 får vi ak+1=(k+1)2+(k+1)+22, som vi skal vise.
Vi har an=an1+n. Setter inn n=k+1:
ak+1=ak+(k+1)ak+1=k2+k+22+(k+1)ak+1=k2+k+22+2k+22ak+1=k2+2k+1+n+32ak+1=(k+1)2+(k+1)+22
Hvilket skulle vises.
=DEL 2=
==Oppgave 1==
===a)===
Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse.
[[File: R2_V20_del2_1a.png]]
En trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen er:
f(x)=1108,5+442,8sin(0,52x+1,16)
===b)===
Bruker Geogebra til å tegne grafen til f og f for t[0,12]. Finner toppunktet til f, punkt B, med kommandoen <i>Ekstremalpunkt</i>. x-verdien til punkt B er den samme som vendepunktet i den voksende delen av f.
[[File: R2_V20_del2_1b.png]]
Ifølge modellen økte forbruket raskest den 10. måneden, altså oktober.
===c)===
Bruker Geogebra til å bestemme integralet.
[[File: R2_V20_del2_1c.png]]
012f(t)dt=15547,46. Det betyr at det totale energiforbruket i 2019 er 15547 kWh ifølge  modellen.
===d)===
Bruker Geogebra. Funksjonen T(t)=p(t)f(t) uttrykker prisen for energiforbruket måned for måned i 2019.
Bestemmer 012T(t)dt for å finne totalprisen for 2019.
[[File: R2_V20_del2_1d.png]]
Den årlige energikostnaden til boligen er 13941,5 kr ifølge modellen.
==Oppgave 2==
===a)===
Differensiallikningen M=kM beskriver situasjonen, fordi vekstfarten, <i>M'</i>, er proporsjonal med massen, <i>M</i>.
<i>k</i> er proporsjonalitetskonstanten, og denne må være mindre enn null, fordi massen til det radioaktive stoffet avtar. Vekstfarten, <i>M'</i>, er altså negativ, og da må vi også ha <i>k<0</i> i differensiallikningen.
===b)===
Bruker CAS i Geogebra 6.0.
[[File: R2_V20_del2_2b.png]]
Løser differensiallikningen i linje 1, setter inn (6,97) i linje 2 for å finne k.
M(t)=100e0,0051t
===c)===
Bruker Microsoft Mathematics til å løse likningen M(t)=2, da CAS i Geogebra ikke ser ut til å fungere.
[[File: R2_V20_del2_2c.png]]
Det vil ta ca. 771 timer før massen til det radioaktive stoffet er 2 mg.
===d)===
Bruker Microsoft Mathematics. Deriverer M(t) i første linje, og løser M(t)=0,2 i andre linje.
[[File: R2_V20_del2_2d.png]]
Det tar ca. 183,5 timer før stoffet ikke lenger blir vurdert som helsefarlig.
==Oppgave 3==
===a)===
Summen av diameterne de n innerste rundene kan uttrykkes ved den aritmetiske rekken:
Sn=5+5,03+5,06+...+(5+(n1)0,03)=5+an2n
Diameteren i runde nr. 50:
a50=5+490,03=6,47 cm.
Summen av diameterne de 50 innerste rundene:
S50=5+a50250=5+6,47250=286,75 cm.
Summen av omkretsene (lengden på papiret) de 50 innerste rundene:
π5+π5,03+...+πa50=πS50=π286,75=900,85 cm 9 m.
Det vil være omtrent 9 meter papir igjen på tørkerullen når det er 50 runder igjen før den er tom.
===b)===
Finner "rundenummer" når diameteren er 20,00 cm (bruker Microsoft Mathematics). 20,00 cm er ytre diameter av tørkerullen, så indre diameter denne runden vil være 200,03.
[[File: R2_V20_del2_3b.png]]
Summen av omkretsene (lengden på papiret) de 500 innerste rundene:
πS500=π5+(200,03)2500=π6242,5=19611 cm 196,1 m.
Det er omtrent 196,1 meter papir på tørkerullen når diameteren <i>D</i> er 20,00 cm.
===c)===
Finner "rundenummer" når det er 500 meter papir (altså 50000 cm) igjen på tørkerullen (bruker Microsoft Mathematics):
Snπ=50000a1+an2nπ=50000
[[File: R2_V20_del2_3c.png]]
Vi har rundenummer 877.
Indre diameter til runde nr. 877: d=5+(8771)0,03=31,28 cm.
Ytre diameter til tørkerullen: D=31,28+0,03=31,31 cm.
Diameteren er omtrent 31,3 cm når det er 500 meter igjen på tørkerullen.
==Oppgave 4==
Vi har punktet <i>A(-1,-1,2), B(3,4,-1), C(5,3,1) og D(5,6,4)</i>. Planet α går gjennom A, B og C. Linjen går gjennom A og D.
Bruker CAS i Geogebra 6.0.
[[File: R2_V20_del2_4.png]]
Linje 5: finner likning for planet α. Linje 6: finner parameterfremstilling for linjen . Linje 7: definerer sentrum S, som ligger et sted på linjen . Linje 8: Finner ut for hvilke verdier av t avstanden mellom planet α og sentrum S, er 8.  Linje 9 og 10: finner de mulige koordinatene til S.
De mulige koordinatene til S er (13,15,2) og (11,13,6).

Siste sideversjon per 15. mai 2022 kl. 18:54

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning del 1 av Kristian Saug

Løsning del 2 av Kristian Saug

Løsning del 1 og del 2 av Lektor Trandal

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Videoløsninger Del 1 laget av Lektor Håkon Raustøl

Videoløsninger Del 2 laget av Lektor Håkon Raustøl

Videoløsning del 1 laget av Lektor Lainz

Videoløsning del 2 av Lektor Lainz

DEL 1

Oppgave 1

a)

f(x)=xsinx

f(x)=sinx+xcosx

b)

g(x)=cos(x2)x

g(x)=2xsin(x2)xcos(x2)1x2=2x2sin(x2)cos(x2)x2

Oppgave 2

a)

(x2+3+e2x)dx=13x3+3x+12e2x+C

b)

Bruker variabelskifte, der u=x2

dudx=2xdx=du2x

6xsin(x2)dx=32xsin(u)du2x=3sin(u)du=3cos(u)+C=3cos(x2)+C

c)

Bruker delvis integrasjon, der u=lnxu=1x og v=xv=12x2

Finner det ubestemte integralet:

xlnxdx=12x2lnx1x12x2dx=12x2lnx12xdx=12x2lnx14x2+C

Finner det bestemte integralet:

1exlnxdx=[12x2lnx14x2]1e=(12e2lne14e2)(1212ln11412)=(24e2114e2)(12014)=14e2+14

Oppgave 3

a)

Finner a5:

S5=a1+a52555=3+a525a5=55523a5=19

Finner differensen:

d=a5a151d=1934d=4

Finner a10:

a10=a1+(101)da10=3+94a10=39

Finner summen av de 10 første leddene:

S10=a1+a10210S10=3+39210S10=210

b)

Dersom 1<k<1 i en geometrisk tallfølge an=a1kn1 sier vi at den konvergerer.

I slike tilfeller er limnSn=a11k

I rekken 7+72+74+... er an=712n1

Vi har k=12 og rekken konvergerer derfor.

Bestemmer summen av rekken:

limnSn=7112=712=14

Oppgave 4

f(x)=2sin(πx+π)1,x1,3

a)

f(x)=2πcos(πx+π),x1,3

Setter f(x)=0

2πcos(πx+π)=0cos(u)=0u=π2+kππx+π=π2πx+π=3π2πx+π=5π2πx+π=7π2x=12x=12x=32x=52

Finner y-koordinatene til ekstremalpunktene (vet at en sinusfunksjon kun har topp- og bunnpunkter, og ingen terrassepunkter):

f(12)=2sin(π2+π)1=2sin(π2)1=211=1

f(12)=2sin(π2+π)1=2sin(3π2)1=2(1)1=3

f(32)=2sin(3π2+π)1=2sin(5π2)1=211=1

f(52)=2sin(5π2+π)1=2sin(7π2)1=2(1)1=3

Toppunkter: (12,1) og (32,1)

Bunnpunkter: (12,3) og (52,3)

b)

Skjæring med y-aksen:

f(0)=2sin(π0+π)1=2sin(π)1=01=1

Grafen til f skjærer y-aksen i punktet (0,1). Vi kan også se dette av funksjonsuttrykket.

Skjæring med x-aksen; setter f(x)=0

2sin(πx+π)1=0sin(πx+π)=12sin(u)=12u=π6+k2πu=5π6+k2ππx+π=π6πx+π=5π6πx+π=13π6πx+π=17π6x=56x=16x=76x=116

Grafen til f skjærer x-aksen i punktene (56,0),(16,0),(76,0),(116,0).

c)

Bruk ekstremalpunktene og nullpunktene, samt skjæring med y-aksen, til å lage en skisse for hånd.

Oppgave 5

Vi har punktene A(-1,3,2), B(2,2,1), C(0,1,0) og T(5,3,8).

a)

AB=[2(1),23,12]=[3,1,1]

AC=[0(1),13,02]=[1,2,2]

AB×AC=[(1)(2)(1)(2),(1)13(2),3(2)(1)1]=[22,1+6,6+1]=[0,5,5]

b)

AT=[5(1),33,82]=[6,0,6]

V=|(AB×AC)AT|6=|[0,5,5][6,0,6]|6=|06+50+(5)6|6=|30|6=306=5

Volumet av pyramiden ABCT er 5.

c)

Likningen for et plan er

a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0

Der a, b og c er koordinatene til planets normalvektor, og (x0,y0,z0) er et punkt i planet.

Vi har planets normalvektor [0,5,5] og et punkt i planet A(-1,3,2).

Vi får da likning for planet som inneholder punktene A, B og C:

0(x(1))+5(y3)+(5)(z2)=05y155z+10=05y5z=5yz=1

Oppgave 6

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

2+lnx+(lnx)22+...

a)

Vi har kvotienten k=lnx2. Rekken konvergerer når lnx21,1. Løser ulikhetene:

lnx2>1lnx>2x>e2

og

lnx2<1lnx<2x<e2

Rekken konvergerer når xe2,e2

b)

Summen av rekken er gitt ved

S(x)=a11k4=21lnx24(1lnx2)=242lnx=22lnx=2lnx=1x=e

Summen av rekken blir 4 når x=e.

Oppgave 7

Vi har differensiallikningen 2xy3y=0

Sjekker stigningstallet til tangenten i hvert av punktene:

Punkt A(2,2): 22y32=04y6=0y=32

Punkt B(-2,2): 2(2)y32=04y6=0y=32

Punkt C(-2,-2): 2(2)y3(2)=04y+6=0y=32

Punkt D(2,-2): 22y3(2)=04y+6=0y=32

Den markerte tangentretningen samsvarer med retningen til tangenten til integralkurven som går gjennom punkt B og C, men ikke A og D. I punkt A viser den markerte tangentretningen stigningstall 0, og i punkt D stigningstall 14, noe som ikke passer med tangenten til integralkurven i disse to punktene.

Oppgave 8

Linje l, som står normalt på planet α, gjennom punktet P(-3,7,-1):

l:[x=32sy=7+2sz=1s]

Linja m, som står normalt på planet β, gjennom punktet Q(-4,5,-2):

m:[x=47ty=5+4tz=24t]

Skjæringspunktet mellom linje l og m er sentrum i kula. Finner skjæringspunktet S, ved å løse likningssettet:

I32s=47tII7+2s=5+4tIII1s=24t

Finner et uttrykk for s:

IIIs=1+4t

Setter inn uttrykket for s i likning I, og finner t:

I32(1+4t)=47t328t=47tt=1

Setter inn uttrykket for t i uttrykket for s fra likning III. (Dette for å kunne sjekke at likningssettet er riktig løst):

s=1+4(1)=14=3

Setter inn t = -1 i parameterfremstillingen for linje m, og finner punktet S:

x=47(1)=4+7=3y=5+4(1)=54=1z=24(1)=2+4=2

Sentrum i kula er S(3,1,2). Bestemmer radius til kula:

QS=[3(4),15,2(2)]=[7,4,4]

|QS|=72+(4)2+42=49+16+16=81=9

Radius i kula er 9. Finner likning for kuleflaten:

(x3)2+(y1)2+(z2)2=92

Oppgave 9

En følge er gitt ved a1=2 og an=an1+n. Vi skal vise at an=n2+n+22 for alle n\N.

1. Induksjonsgrunnlag: n=1 gir a1=12+1+22=42=2. Påstanden stemmer for n=1.

2. Induksjonstrinnet: Vi antar at ak=k2+k+22. Med n=k+1 får vi ak+1=(k+1)2+(k+1)+22, som vi skal vise.

Vi har an=an1+n. Setter inn n=k+1:

ak+1=ak+(k+1)ak+1=k2+k+22+(k+1)ak+1=k2+k+22+2k+22ak+1=k2+2k+1+n+32ak+1=(k+1)2+(k+1)+22

Hvilket skulle vises.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse.

En trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen er:

f(x)=1108,5+442,8sin(0,52x+1,16)

b)

Bruker Geogebra til å tegne grafen til f og f for t[0,12]. Finner toppunktet til f, punkt B, med kommandoen Ekstremalpunkt. x-verdien til punkt B er den samme som vendepunktet i den voksende delen av f.

Ifølge modellen økte forbruket raskest den 10. måneden, altså oktober.

c)

Bruker Geogebra til å bestemme integralet.

012f(t)dt=15547,46. Det betyr at det totale energiforbruket i 2019 er 15547 kWh ifølge modellen.

d)

Bruker Geogebra. Funksjonen T(t)=p(t)f(t) uttrykker prisen for energiforbruket måned for måned i 2019.

Bestemmer 012T(t)dt for å finne totalprisen for 2019.

Den årlige energikostnaden til boligen er 13941,5 kr ifølge modellen.

Oppgave 2

a)

Differensiallikningen M=kM beskriver situasjonen, fordi vekstfarten, M', er proporsjonal med massen, M.

k er proporsjonalitetskonstanten, og denne må være mindre enn null, fordi massen til det radioaktive stoffet avtar. Vekstfarten, M', er altså negativ, og da må vi også ha k<0 i differensiallikningen.

b)

Bruker CAS i Geogebra 6.0.

Løser differensiallikningen i linje 1, setter inn (6,97) i linje 2 for å finne k.

M(t)=100e0,0051t

c)

Bruker Microsoft Mathematics til å løse likningen M(t)=2, da CAS i Geogebra ikke ser ut til å fungere.

Det vil ta ca. 771 timer før massen til det radioaktive stoffet er 2 mg.

d)

Bruker Microsoft Mathematics. Deriverer M(t) i første linje, og løser M(t)=0,2 i andre linje.

Det tar ca. 183,5 timer før stoffet ikke lenger blir vurdert som helsefarlig.

Oppgave 3

a)

Summen av diameterne de n innerste rundene kan uttrykkes ved den aritmetiske rekken:

Sn=5+5,03+5,06+...+(5+(n1)0,03)=5+an2n

Diameteren i runde nr. 50:

a50=5+490,03=6,47 cm.

Summen av diameterne de 50 innerste rundene:

S50=5+a50250=5+6,47250=286,75 cm.

Summen av omkretsene (lengden på papiret) de 50 innerste rundene:

π5+π5,03+...+πa50=πS50=π286,75=900,85 cm 9 m.

Det vil være omtrent 9 meter papir igjen på tørkerullen når det er 50 runder igjen før den er tom.

b)

Finner "rundenummer" når diameteren er 20,00 cm (bruker Microsoft Mathematics). 20,00 cm er ytre diameter av tørkerullen, så indre diameter denne runden vil være 200,03.

Summen av omkretsene (lengden på papiret) de 500 innerste rundene:

πS500=π5+(200,03)2500=π6242,5=19611 cm 196,1 m.

Det er omtrent 196,1 meter papir på tørkerullen når diameteren D er 20,00 cm.

c)

Finner "rundenummer" når det er 500 meter papir (altså 50000 cm) igjen på tørkerullen (bruker Microsoft Mathematics):

Snπ=50000a1+an2nπ=50000

Vi har rundenummer 877.

Indre diameter til runde nr. 877: d=5+(8771)0,03=31,28 cm.

Ytre diameter til tørkerullen: D=31,28+0,03=31,31 cm.

Diameteren er omtrent 31,3 cm når det er 500 meter igjen på tørkerullen.

Oppgave 4

Vi har punktet A(-1,-1,2), B(3,4,-1), C(5,3,1) og D(5,6,4). Planet α går gjennom A, B og C. Linjen går gjennom A og D.

Bruker CAS i Geogebra 6.0.

Linje 5: finner likning for planet α. Linje 6: finner parameterfremstilling for linjen . Linje 7: definerer sentrum S, som ligger et sted på linjen . Linje 8: Finner ut for hvilke verdier av t avstanden mellom planet α og sentrum S, er 8. Linje 9 og 10: finner de mulige koordinatene til S.

De mulige koordinatene til S er (13,15,2) og (11,13,6).