R1 2019 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Jtn (diskusjon | bidrag)
m de resterende sidene trenger ikke være parallelle, så det blir et trapes
 
(68 mellomliggende versjoner av 4 brukere er ikke vist)
Linje 8: Linje 8:


[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2706 Løsningsforslag fra Svein Arneson]
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2706 Løsningsforslag fra Svein Arneson]
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHXFLfGePzut_A4UVp8gpe3o Løsning del 1 som video av Lektor Håkon Raustøl]
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHUVr6YMBuzX14CfQvFlf8DM Løsning del 2 som video av Lektor Håkon Raustøl]
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3359 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]


==DEL EN==
==DEL EN==
Linje 14: Linje 20:


===a)===
===a)===
f(x)=x42x+ln(x)f(x)=4x32+1x
$$ f(x)=x^4-2x+ln(x) \ f'(x)= 4x^3-2+ \frac 1x$$


===b)===
===b)===
Linje 50: Linje 56:
===c)===
===c)===


===Oppgave 4===
 
Fra b har vi at:
 
(x2)(x+3)(x+5)0
 
Tegner fortegnsskjema:
 
[[File: R1_H19_del1_3c.png]]
 
 
x∈<←,5][3,2]
 
==Oppgave 4==
 
 
===a)===
 
 
AB=[(2(2),11]=[4,2]BC=[(42,2(1)]=[2,3]
 
===b)===
 
ABBC=[4,2][2,3]=42+(2)3=86=20
 
To vektorer som er normale på hverandre har skalarprodukt lik null. Disse står ikke 90 grader på hverandre.
 
===c)===
 
AD=[t+2,2]
 
Bruker skalarprodukt igjen:
 
ABAD=0[4,2][t+2,2]=04t+84=0t=1
 
===d)===
 
Et trapes er en firkant der to sider er parallelle. Det kan her skje på to måter:
 
ABCD
 
eller
 
BCDA
 
Vi sjekker begge mulighetene.
 
$\vec{AB} \parallel\vec{CD} \ \vec{AB} = k \vec{CD} \ [4,-2] = k [t-4, 1] \ 4 = kt-4k \wedge -2 = k \ t =2$
 
t = 2 gir ett trapes.
 
$\vec{BC} \parallel\vec{DA} \ \vec{BC} = k \vec{DA} \ [2, 3] = k [-2-t,-2] \ 2=-2k-kt \wedge 3=-2k \ k = - \frac 32 \wedge 2 =3 + \frac 32 t \ t= - \frac 23$
 
 
$t = - \frac 23$ gir også et trapes.


==Oppgave 5==
==Oppgave 5==
Linje 90: Linje 149:
Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet:
Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet:


$F'(x) = \ ( \pi - x \sqrt{4-x^2})' = \ -(1 \cdot \sqrt{4-x^2} + x \cdot (-2x) \frac 12 (4-x^2)^{- \frac 12}) = \ -( \sqrt{4-x^2} + \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} ) = \ - ( \frac{(\sqrt{4-x^2})(\sqrt{4-x^2})}{(\sqrt{4-x^2})} +\frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} )$
$F'(x) = \ ( \pi - x \sqrt{4-x^2})' = \ -(1 \cdot \sqrt{4-x^2} + x \cdot (-2x) \frac 12 (4-x^2)^{- \frac 12}) = \ -( \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} ) = \ - ( \frac{(\sqrt{4-x^2})(\sqrt{4-x^2})}{(\sqrt{4-x^2})} -\frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} ) = \ - \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}} =  \ \frac{2(x-\sqrt{2}(x+\sqrt{2})}{\sqrt{4-x^2}}$
 
Av uttrykket ser vi at $x= \sqrt 2$ gir den deriverte lik null. Dette stemmer også med hva vi vet om største areal av en rektangulær firkant med gitt omkrets, den hvite firkanten vil være et kvadrat.


===Oppgave 7===
===Oppgave 7===
Linje 132: Linje 193:


==Oppgave 1==
==Oppgave 1==
===a)===
I denne type oppgave kan det være lurt å tegne et valgte, for å ha klarhet i situasjonen.
[[File:R1-h19-2-1a.png]]
Sansynlighet spam: P(S)
Sans. ikke spam : P(S)
Ord fra liste: L
P(L)=P(S)P(L|S)+P(S)P(L|S)0,80,85+0,20,03=0,686
eller 68,6%
===b)===
Tenker gunstige delt på mulige. Ender da opp med Bayes setning.
P(S|L)=P(S)P(L|S)P(L)=0,680,686=0,991
eller 99,1%
===c)===
V skal finne sannsynlighet for søppelpost, når den ikke inneholder ord fra listen:
P(S|L)=gunstigemulige=P(S)P(L|S)1P(L)=0,80,1510,6860,382
eller ca. 38,2%


==Oppgave 2==
==Oppgave 2==
Linje 138: Linje 232:
===a)===
===a)===


f(x)=x3+x2+kx+2f(x)=3x2+2x+k
Dersom andregradsfunksjonen har to nullpunkt vil den også skifte fortegn slik at f har et bunnpunkt og et toppunkt. For at dette skal være tilfelle må b24ac være positivt:
44(3)k>04+12k>0k>13


===b)===
===b)===


f har toppunkt i (2, f(2)):
f(2)=0322+22+k=012+4+k=0k=8
Finner så f(2), når k = 8 :
f(2)=33+22+82+2=8+4+16+2=14
Toppunkt (2, 14)
Bunnpunkt:
Finner den andre x verdien som gir f'(x) = 0, når k = 8.
Bruker ABC formelen og får x = 2 eller x=43. 2 er x verdien til toppunktet, og 43 er x verdien til bunnpunktet. Vi finner y koordinaten til punktet ved å finne f(43) som gir 12227
Bunnpunkt (43,12227)


===c)===
===c)===
f(x)=6x+2
Setter den dobbelderiverte lik null, for å finne x-koordinaten til vendepunktet.
6x+2=0x=13
Setter x=13 inn i f(x):
f(13)=(13)3+132+13x+2=127+19+13k+2=5627+13k
Vendepunkt (13,5627+13k)
Da kjenner vi vendepunktet. Vi setter inn x koordinaten i uttrykket til den DERIVERTE, og setter det lik 2:
3(13)2+213+k=2k=53


==Oppgave 3==
==Oppgave 3==
Linje 149: Linje 284:
===a)===
===a)===


Ballene er i luften i henholdsvis 5,8 og 5 sekunder.
Ballene er i luften i henholdsvis 6,4 og 5,7 sekunder.


[[File:R1-h19-2-3a.png]]
[[File:R1-h19-2-3a2.png]]


===b)===
===b)===
Linje 158: Linje 293:
===c)===
===c)===


[[File:R1-h19-2-3c.png]]
Banefarten er henholdsvis 33,6 og 34,7 m/s idet ballene forlater taket.


===d)===
===d)===
[[File:R1-h19-2-3d.png]]
Ballene har skaffe fartsrettnmng etter 3,87 sekunder. Da er forholdet mellom x og y komponentene til begge vektorene den samme. Vinkelen mellom vektor og x-aksen er ca. - 30 grader.


==Oppgave 4==
==Oppgave 4==

Siste sideversjon per 8. nov. 2021 kl. 19:25

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag del 2 fra Kristian Saug

Løsningsforslag (pdf) fra joes

Løsningsforslag fra Svein Arneson

Løsning del 1 som video av Lektor Håkon Raustøl

Løsning del 2 som video av Lektor Håkon Raustøl

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL EN

Oppgave 1

a)

f(x)=x42x+ln(x)f(x)=4x32+1x

b)

g(x)=x7exg(x)=7x6ex+x7ex=exx6(7+x)

c)

h(x)=ln(2x)x2h(x)=12x2x22xln(2x)x4h(x)=12ln(2x)x3

Oppgave 2

4(ln(ab3))3(ln(ab2))ln(ab)4ln(a)+12ln(b)3ln(a)6ln(b)ln(a)+ln(b)=7ln(b)

Oppgave 3

a)

Dersom P(x) skal deles på (x-2) og gå opp. må P(x) = 0, dvs. P(2) = 0

P(2)=023+622+k230=08+24+2k30=0k=1

b)

Bruker så ABC formel på svaret og får:

x2+8x+15=0x=8±6441152x=8±22x=5x=3


Faktorisert form: x3+6x2x30=(x2)(x+3)(x+5)

c)

Fra b har vi at:

(x2)(x+3)(x+5)0

Tegner fortegnsskjema:


x∈<←,5][3,2]

Oppgave 4

a)

AB=[(2(2),11]=[4,2]BC=[(42,2(1)]=[2,3]

b)

ABBC=[4,2][2,3]=42+(2)3=86=20

To vektorer som er normale på hverandre har skalarprodukt lik null. Disse står ikke 90 grader på hverandre.

c)

AD=[t+2,2]

Bruker skalarprodukt igjen:

ABAD=0[4,2][t+2,2]=04t+84=0t=1

d)

Et trapes er en firkant der to sider er parallelle. Det kan her skje på to måter:

ABCD

eller

BCDA

Vi sjekker begge mulighetene.

ABCDAB=kCD[4,2]=k[t4,1]4=kt4k2=kt=2

t = 2 gir ett trapes.

BCDABC=kDA[2,3]=k[2t,2]2=2kkt3=2kk=322=3+32tt=23


t=23 gir også et trapes.

Oppgave 5

a)

(73)(52)=7653215421=3510=350

Det er mulig å sette sammen 350 komiteer.

b)

P(Anne og Jens)=3725=635

Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen er 635

c)

P(Anne eller Jens) = P(Anne men ikke jens) + P(Jens men ikke Anne)

=3735+4725=935+835=1735

Sannsynligheten for at én av dem blir med i komiteen er 1735

Oppgave 6

a)

Diagonal i rektangelet er alltid 2. Arealet er alltid A=x4x2. Brukte pytagoras for å finne lengden av OC.

Areal av skravert område blir da

Askravert=14π22x4x2=πx4x2

b)

Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet:

F(x)=(πx4x2)=(14x2+x(2x)12(4x2)12)=(4x2x24x2)=((4x2)(4x2)(4x2)x24x2)=42x24x2=2(x2(x+2)4x2

Av uttrykket ser vi at x=2 gir den deriverte lik null. Dette stemmer også med hva vi vet om største areal av en rektangulær firkant med gitt omkrets, den hvite firkanten vil være et kvadrat.

Oppgave 7

a)

CB er like lang som EB fordi begge linjestykker tangerer samme sirkelsektor ( i C og E).

b)

Begge trekantene har en felles vinkel i A. Begge trekanten har en vinkel på 90 grader (i C og E). Trekantene er derfor formlike.

Bruker formlikhet:

car=bcr=a(ca)b

c)

Trekanten ABC har areal: A=ab2

Fra figuren ser vi at trekantene CDB og ADB utgjør trekanten ABC


Areal CDB: ra2

Areal: ADB: cr2


Kombinerer:

ra2+cr2=ab2ra+rc=abr(a+c)=ab

d)

ab=(a+c)rab=(a+c)a(c+a)bab2=(a2+ac)(ca)ab2=a2ca3+ac2a2cab2=a3+ac2a2+b2=c2


DEL TO

Oppgave 1

a)

I denne type oppgave kan det være lurt å tegne et valgte, for å ha klarhet i situasjonen.

Sansynlighet spam: P(S)

Sans. ikke spam : P(S)

Ord fra liste: L

P(L)=P(S)P(L|S)+P(S)P(L|S)0,80,85+0,20,03=0,686

eller 68,6%

b)

Tenker gunstige delt på mulige. Ender da opp med Bayes setning.

P(S|L)=P(S)P(L|S)P(L)=0,680,686=0,991

eller 99,1%

c)

V skal finne sannsynlighet for søppelpost, når den ikke inneholder ord fra listen:

P(S|L)=gunstigemulige=P(S)P(L|S)1P(L)=0,80,1510,6860,382

eller ca. 38,2%

Oppgave 2

a)

f(x)=x3+x2+kx+2f(x)=3x2+2x+k

Dersom andregradsfunksjonen har to nullpunkt vil den også skifte fortegn slik at f har et bunnpunkt og et toppunkt. For at dette skal være tilfelle må b24ac være positivt:

44(3)k>04+12k>0k>13

b)

f har toppunkt i (2, f(2)):

f(2)=0322+22+k=012+4+k=0k=8


Finner så f(2), når k = 8 :

f(2)=33+22+82+2=8+4+16+2=14

Toppunkt (2, 14)

Bunnpunkt:

Finner den andre x verdien som gir f'(x) = 0, når k = 8.

Bruker ABC formelen og får x = 2 eller x=43. 2 er x verdien til toppunktet, og 43 er x verdien til bunnpunktet. Vi finner y koordinaten til punktet ved å finne f(43) som gir 12227

Bunnpunkt (43,12227)

c)

f(x)=6x+2

Setter den dobbelderiverte lik null, for å finne x-koordinaten til vendepunktet.

6x+2=0x=13


Setter x=13 inn i f(x):

f(13)=(13)3+132+13x+2=127+19+13k+2=5627+13k


Vendepunkt (13,5627+13k)

Da kjenner vi vendepunktet. Vi setter inn x koordinaten i uttrykket til den DERIVERTE, og setter det lik 2:

3(13)2+213+k=2k=53

Oppgave 3

a)

Ballene er i luften i henholdsvis 6,4 og 5,7 sekunder.

b)

c)


Banefarten er henholdsvis 33,6 og 34,7 m/s idet ballene forlater taket.

d)

Ballene har skaffe fartsrettnmng etter 3,87 sekunder. Da er forholdet mellom x og y komponentene til begge vektorene den samme. Vinkelen mellom vektor og x-aksen er ca. - 30 grader.

Oppgave 4

a)


Skriver inn funksjonen f, og punktene P og Q. Bruker linjefunksjonen og får et uttrykk for linjen gjennom P og Q. Setter denne linjen lik f og får x koordinatene til R og Q

b)

Her viser vi at stigningstallene til tangentene multiplisert blir -1- Da står linjene normalt på hverandre. Du kan også bruke skalarprodukt.