R1 2019 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner
m de resterende sidene trenger ikke være parallelle, så det blir et trapes |
|||
(68 mellomliggende versjoner av 4 brukere er ikke vist) | |||
Linje 8: | Linje 8: | ||
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2706 Løsningsforslag fra Svein Arneson] | [https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2706 Løsningsforslag fra Svein Arneson] | ||
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHXFLfGePzut_A4UVp8gpe3o Løsning del 1 som video av Lektor Håkon Raustøl] | |||
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLplkS_rtcCHUVr6YMBuzX14CfQvFlf8DM Løsning del 2 som video av Lektor Håkon Raustøl] | |||
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3359 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas] | |||
==DEL EN== | ==DEL EN== | ||
Linje 14: | Linje 20: | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
$$ f(x)=x^4-2x+ln(x) \ f'(x)= 4x^3-2+ \frac 1x$$ | |||
===b)=== | ===b)=== | ||
Linje 50: | Linje 56: | ||
===c)=== | ===c)=== | ||
=== | |||
Fra b har vi at: | |||
Tegner fortegnsskjema: | |||
[[File: R1_H19_del1_3c.png]] | |||
==Oppgave 4== | |||
===a)=== | |||
===b)=== | |||
To vektorer som er normale på hverandre har skalarprodukt lik null. Disse står ikke 90 grader på hverandre. | |||
===c)=== | |||
Bruker skalarprodukt igjen: | |||
===d)=== | |||
Et trapes er en firkant der to sider er parallelle. Det kan her skje på to måter: | |||
eller | |||
Vi sjekker begge mulighetene. | |||
$\vec{AB} \parallel\vec{CD} \ \vec{AB} = k \vec{CD} \ [4,-2] = k [t-4, 1] \ 4 = kt-4k \wedge -2 = k \ t =2$ | |||
t = 2 gir ett trapes. | |||
$\vec{BC} \parallel\vec{DA} \ \vec{BC} = k \vec{DA} \ [2, 3] = k [-2-t,-2] \ 2=-2k-kt \wedge 3=-2k \ k = - \frac 32 \wedge 2 =3 + \frac 32 t \ t= - \frac 23$ | |||
$t = - \frac 23$ gir også et trapes. | |||
==Oppgave 5== | ==Oppgave 5== | ||
Linje 90: | Linje 149: | ||
Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet: | Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet: | ||
$F'(x) = \ ( \pi - x \sqrt{4-x^2})' = \ -(1 \cdot \sqrt{4-x^2} + x \cdot (-2x) \frac 12 (4-x^2)^{- \frac 12}) = \ -( \sqrt{4-x^2} | $F'(x) = \ ( \pi - x \sqrt{4-x^2})' = \ -(1 \cdot \sqrt{4-x^2} + x \cdot (-2x) \frac 12 (4-x^2)^{- \frac 12}) = \ -( \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} ) = \ - ( \frac{(\sqrt{4-x^2})(\sqrt{4-x^2})}{(\sqrt{4-x^2})} -\frac{x^2}{ \sqrt{4-x^2}} ) = \ - \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \ \frac{2(x-\sqrt{2}(x+\sqrt{2})}{\sqrt{4-x^2}}$ | ||
Av uttrykket ser vi at $x= \sqrt 2$ gir den deriverte lik null. Dette stemmer også med hva vi vet om største areal av en rektangulær firkant med gitt omkrets, den hvite firkanten vil være et kvadrat. | |||
===Oppgave 7=== | ===Oppgave 7=== | ||
Linje 132: | Linje 193: | ||
==Oppgave 1== | ==Oppgave 1== | ||
===a)=== | |||
I denne type oppgave kan det være lurt å tegne et valgte, for å ha klarhet i situasjonen. | |||
[[File:R1-h19-2-1a.png]] | |||
Sansynlighet spam: | |||
Sans. ikke spam : | |||
Ord fra liste: L | |||
eller 68,6% | |||
===b)=== | |||
Tenker gunstige delt på mulige. Ender da opp med Bayes setning. | |||
eller 99,1% | |||
===c)=== | |||
V skal finne sannsynlighet for søppelpost, når den ikke inneholder ord fra listen: | |||
eller ca. 38,2% | |||
==Oppgave 2== | ==Oppgave 2== | ||
Linje 138: | Linje 232: | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
Dersom andregradsfunksjonen har to nullpunkt vil den også skifte fortegn slik at f har et bunnpunkt og et toppunkt. For at dette skal være tilfelle må | |||
===b)=== | ===b)=== | ||
f har toppunkt i (2, f(2)): | |||
Finner så f(2), når k = 8 : | |||
Toppunkt (2, 14) | |||
Bunnpunkt: | |||
Finner den andre x verdien som gir f'(x) = 0, når k = 8. | |||
Bruker ABC formelen og får x = 2 eller | |||
Bunnpunkt | |||
===c)=== | ===c)=== | ||
Setter den dobbelderiverte lik null, for å finne x-koordinaten til vendepunktet. | |||
Setter | |||
Vendepunkt | |||
Da kjenner vi vendepunktet. Vi setter inn x koordinaten i uttrykket til den DERIVERTE, og setter det lik 2: | |||
==Oppgave 3== | ==Oppgave 3== | ||
Linje 149: | Linje 284: | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
Ballene er i luften i henholdsvis | Ballene er i luften i henholdsvis 6,4 og 5,7 sekunder. | ||
[[File:R1-h19-2- | [[File:R1-h19-2-3a2.png]] | ||
===b)=== | ===b)=== | ||
Linje 158: | Linje 293: | ||
===c)=== | ===c)=== | ||
[[File:R1-h19-2-3c.png]] | |||
Banefarten er henholdsvis 33,6 og 34,7 m/s idet ballene forlater taket. | |||
===d)=== | ===d)=== | ||
[[File:R1-h19-2-3d.png]] | |||
Ballene har skaffe fartsrettnmng etter 3,87 sekunder. Da er forholdet mellom x og y komponentene til begge vektorene den samme. Vinkelen mellom vektor og x-aksen er ca. - 30 grader. | |||
==Oppgave 4== | ==Oppgave 4== |
Siste sideversjon per 8. nov. 2021 kl. 19:25
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Løsningsforslag del 2 fra Kristian Saug
Løsningsforslag (pdf) fra joes
Løsningsforslag fra Svein Arneson
Løsning del 1 som video av Lektor Håkon Raustøl
Løsning del 2 som video av Lektor Håkon Raustøl
Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas
DEL EN
Oppgave 1
a)
b)
c)
Oppgave 2
Oppgave 3
a)
Dersom P(x) skal deles på (x-2) og gå opp. må P(x) = 0, dvs. P(2) = 0
b)
Bruker så ABC formel på svaret og får:
Faktorisert form:
c)
Fra b har vi at:
Tegner fortegnsskjema:
Oppgave 4
a)
b)
To vektorer som er normale på hverandre har skalarprodukt lik null. Disse står ikke 90 grader på hverandre.
c)
Bruker skalarprodukt igjen:
d)
Et trapes er en firkant der to sider er parallelle. Det kan her skje på to måter:
eller
Vi sjekker begge mulighetene.
t = 2 gir ett trapes.
Oppgave 5
a)
Det er mulig å sette sammen 350 komiteer.
b)
P(Anne og Jens)
Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen er
c)
P(Anne eller Jens) = P(Anne men ikke jens) + P(Jens men ikke Anne)
Sannsynligheten for at én av dem blir med i komiteen er
Oppgave 6
a)
Diagonal i rektangelet er alltid 2. Arealet er alltid
Areal av skravert område blir da
b)
Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet:
Av uttrykket ser vi at
Oppgave 7
a)
CB er like lang som EB fordi begge linjestykker tangerer samme sirkelsektor ( i C og E).
b)
Begge trekantene har en felles vinkel i A. Begge trekanten har en vinkel på 90 grader (i C og E). Trekantene er derfor formlike.
Bruker formlikhet:
c)
Trekanten ABC har areal:
Fra figuren ser vi at trekantene CDB og ADB utgjør trekanten ABC
Areal CDB:
Areal: ADB:
Kombinerer:
d)
DEL TO
Oppgave 1
a)
I denne type oppgave kan det være lurt å tegne et valgte, for å ha klarhet i situasjonen.
Sansynlighet spam:
Sans. ikke spam :
Ord fra liste: L
eller 68,6%
b)
Tenker gunstige delt på mulige. Ender da opp med Bayes setning.
eller 99,1%
c)
V skal finne sannsynlighet for søppelpost, når den ikke inneholder ord fra listen:
eller ca. 38,2%
Oppgave 2
a)
Dersom andregradsfunksjonen har to nullpunkt vil den også skifte fortegn slik at f har et bunnpunkt og et toppunkt. For at dette skal være tilfelle må
b)
f har toppunkt i (2, f(2)):
Finner så f(2), når k = 8 :
Toppunkt (2, 14)
Bunnpunkt:
Finner den andre x verdien som gir f'(x) = 0, når k = 8.
Bruker ABC formelen og får x = 2 eller
Bunnpunkt
c)
Setter den dobbelderiverte lik null, for å finne x-koordinaten til vendepunktet.
Setter
Vendepunkt
Da kjenner vi vendepunktet. Vi setter inn x koordinaten i uttrykket til den DERIVERTE, og setter det lik 2:
Oppgave 3
a)
Ballene er i luften i henholdsvis 6,4 og 5,7 sekunder.
b)
c)
Banefarten er henholdsvis 33,6 og 34,7 m/s idet ballene forlater taket.
d)
Ballene har skaffe fartsrettnmng etter 3,87 sekunder. Da er forholdet mellom x og y komponentene til begge vektorene den samme. Vinkelen mellom vektor og x-aksen er ca. - 30 grader.
Oppgave 4
a)
Skriver inn funksjonen f, og punktene P og Q. Bruker linjefunksjonen og får et uttrykk for linjen gjennom P og Q. Setter denne linjen lik f og får x koordinatene til R og Q
b)
Her viser vi at stigningstallene til tangentene multiplisert blir -1- Da står linjene normalt på hverandre. Du kan også bruke skalarprodukt.