1T 2019 vår LØSNING

oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Løsningsforslag laget av Ole Henrik Morgenstierne

DEL EN

Oppgave 1

$\frac{4,5 \cdot 10^{12}}{900} = \frac{4,5}{9} \cdot \frac{10^{12}}{10^2} = 0,5 \cdot 10^{10} = 5,0 \cdot 10^9$

Oppgave 2

$-x^2-2x+3 > 0 $

Vi ser at uttrykket på venstre side er et andregradsuttrykk, der grafen vender sin hule side ned. Vi er altså interessert i området mellom to eventuelle nullpunkt. Vi faktoriser : $ -x^2-2x+3 =-(x-1)(x+3) $

Nullpuktene er x= -3 og x = 1, så løsningsmengden til ulikheten er området mellom:

$ x \in <-3,1>$

Oppgave 3

$\frac{x^2}{x^2-4} + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+2} \\ = \frac{x^2}{(x+2)(x-2)} + \frac {3 \color{red}{ (x+2)}}{( \color{red}{x+2})(x-2)} +\frac{1 \color{red}{(x-2)}}{(x+2) \color {red}{(x-2)}} \\ = \frac{x^2+3x+6+x-2}{(x+2)(x-2)} \\ = \frac{x^2+4x+4}{(x+2)(x-2)} \\= \frac{(x+2)(x+2)}{(x+2)(x-2)} \\ = \frac{x+2}{x-2}$

Oppgave 4

I denne type oppgave kan det lønne seg å prøve å faktorisere grunntallene for å minimalisere antallet grunntall. $16=2^4, 9=3^2$ osv.

$4^2 \cdot 2^{-3} \cdot 27^{\frac 13} \cdot 64 ^{- \frac 23} \\ = (2^2)^2 \cdot 2 ^{-3} \cdot (3^3)^{\frac 13} \cdot (2^6) ^{- \frac 23} \\ = 2^4 \cdot 2^{-3} \cdot 2 ^{-4} \cdot 3^1 \\ = 3 \cdot 2^{-3} \\ = \frac {3}{2^3} = \frac 38$

Oppgave 5

Dette er en likebeint trekant. Normalen fra vinkelen dannet av sidene som begge er 5 vil dele grunnlinja i to like store linjestykker som hver har lengde 3. Bruker Pytagoras og ser at høyden i trekanten er 4, ($5^2 - 3^2 = h^2$).

Definisjonen på tangens til en vinke er motstående katet dividert på hosliggende katet, altså:

$\tan v = \frac 43$

Oppgave 6

Det hjelper å huske at $lg 1 = 0$ og at $lg 10 = 1$

$lg 100 + lg 1 + lg \sqrt{10} + lg 0,001 \\ = lg 10^2 + 0 + lg 10^{\frac 12} + lg 10^{-3}\\ = 2 lg10 + \frac 12 lg10 - 3 lg10 \\ = 2+ \frac 12 -3 \\ = - \frac 12$

Oppgave 7

$lg(10^x \cdot 10^{2x})= 6 \\ lg (10^{(x+2x)} =6 \\ lg(10^{3x})= 6 \\ 3x \cdot lg 10 = 6 \\ 3x \cdot 1 = 6 \\ x=2$

Oppgave 8

a)

Desom vi anvender abc formelen på et fullstendig kvadrat blir uttrykket under rottegnet null:

$12^2 - 4 \cdot k \cdot 9 = 0$ fordi f(x) er et fullstendig kvadrat. Vi får da

$k = \frac{144}{36} = 4$

b)

Nullpunktet vil være på symmetrilinja:

$x= \frac{-b}{2a} = - \frac{12}{8} = - \frac 32$

Oppgave 9

a)

Hendelse M: I rute mandag - 80% Hendelse F: I rute fredag - 90%

Dersom begge henvendelsene skal inntreffe bruker vi multiplikasjonssetningen for å finne sannsynligheten:

P (M og F) = $P(M) \cdot P(F) = \frac{80}{100} \cdot \frac{90}{100} = \frac{7200}{10000}= \frac {72}{100} = 72$ %.

Det er 72% sannsynlig at toget er i rute begge dagene.

b)

Dersom toget skal være i rute kun en av dagene kan det skje på to måter:

1: Toget er i rute mandag, men ikke fredag

2: Toget er i rute fredag, men ikke mandag.

P( i rute kun EN dag) = $P(M)\cdot P( \bar{F}) + P(F) \cdot P(\bar{M})$

Streken over F og M betyr sannsynligheten for at det IKKE er i rute M (mandag) eller F (fredag).

Vi får: P( i rute kun EN dag) = $0,8 \cdot 0,1 + 0,9 \cdot 0,2 = 0,26$ som er 26%.

a)

b)

Fra figuren i a ser man at når det er $-40^{\circ}C$ er det også - 40 Fahrenheit. Begge gradestokkene vil da vise samme tallverdi.

c)

En rett linje er gitt som y= ax + b

I dette tilfelle er x = C og y = F, b = 32

Vi får da: F = aC + 32

For å finne stigningstallet, a, bruker vi de to siste punktene gitt i oppgaven ( 0, 32) og (10, 50). Man kan bruke hvile to punkter man vil men det lønner seg alltid å velge verdier som gir enklest mulig regning. Vi tar endring i y verdi delt på endring i x verdi:

$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{50 - 32}{10-0}= \frac{18}{10} = \frac 95$ som er stigningstallet. Sammenhengen blir da:

$F = \frac 95 C + 32$

d)

$ F(C) = \frac 95 C + 32 \\F(100) = \frac 95 \cdot 100 + 32 \\ F(100) = \frac{9 \cdot 100}{5} + 32 \\ F(100)= 9 \cdot 20 +32 = 212$

Altså er $100^{\circ} C = 212^{\circ}F$

a)

1) $\sqrt{48} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{16} \sqrt 3 = 4 \sqrt 3$

2) $\sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 5} = 5 \sqrt 3$

b)

Vi vet at definisjonen på cosinus i en rettvinklet trekant er hosliggende katet delt på hypotenus. Fra ungdomskolen vet vi at i en 30 - 60 - 90 trekant er det korteste katetet halvparten så lang som hypotenusen. Dersom vi lager en 30-60-90 trekant med hypotenusene lengde lik 1 får vi:

$cos 60 = \frac{\frac 12}{1} = \frac 12$

c)

Vi bruker Cosinussetningen for å finne BC:

$BC^2 = (\sqrt{75})^2 + (\sqrt{48})^2-2 \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{48} \cdot \cos 60 \\ BC^2 = 75 + 48 - 2 \cdot \frac 12 \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{48}$

Så benytter vi resultatene fra oppgave a:

$BC^2 = 123 - 5\sqrt3 \cdot 4 \sqrt 3 \\BC^2 = 123 - 60 \\BC^2 = 63 \\ BC = \sqrt {63} \\ BC = \sqrt{9\cdot 7} \\ BC = 3\sqrt 7$

Oppgave 12

Arealet er gitt: A = 12. Arealsetningen gir $A= \frac 12 \cdot a \cdot b \cdot \sin c \\ \sin c = \frac{2A}{a \cdot b} \\ \sin 120^{\circ} = \frac{2 \cdot 12}{2\sqrt3 \cdot 8} = \frac{24}{16 \sqrt3} \\120^{\circ} =\frac{24 \color{red}{\sqrt3}}{16 \sqrt3\color{red}{\sqrt3}} = \frac{24\sqrt{3}}{48} = \frac{\sqrt 3}{2}$

Oppgave 13

Vi deler figuren opp.

Vi har tre fjerdedeler av en sirkel med radius 3a

Vi har en linje med lengden 2a og en linje med lengden 3a. For å finne lengden av den tredje linjen, den som går på skrå i koordinatsystemet, bruker vi Pytagoras. Den endrer seg 3a i x retning og 4a i y retning:

$\sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} =\sqrt{25a^2} = 5a $

Omkretsen blir da: $O = \frac 34 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 3a + 2a + 3 a + 5a = \\ \frac{9 \pi}{2} a + 10a = \\ \frac 12 (9 \pi + 20)a$

Oppgave 14

Den deriverte av p i null lik null stemmer for A og D. Den deriverte av p i -1 skal vare negativ, stemmer bare for A. Derfor er A grafen til p.

Vi ser at graf E har en konstant stigning lik -2 (altså synker den med to for hver enhet av x) og er den eneste som passer til betingelsene til q. Altså viser E grafen til funksjonen q.

Når vi beveger oss fra -2 til 0 på x aksen har vi beveget oss to enheter. Dersom den gjennomsnittlige veksten skal bli 3 må endringen på y aksen være 6 ( $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac 62 = 3$ ). Den eneste grafen som passer til kravene er F. Altså viser F grafen til r.

Begge tangentene har stigningstall -8 når x=-2 og x=2. Det betyr at funksjonen avtar. Det passer kun med B. B er grafen til s.

Oppgave 1

a)

L er temperatur på Lindesnes

N er temperatur på Nordkapp

b)

Når klokken er 8 på morgen øker temperaturen på Lindesnes med 0,27 grader per time. På Nordkapp synker den med 0,18 grader.

Jeg la inn to tangenter for x=8. Stigningstalle til disse er grafenes momentane vekst.

c)

Temperaturforskjellen kl 12:00 var nesten 8 grader celsius.

d)

Laget en funksjon som viser temperaturforskjellen: L(x) - N(x). Den har toppunkt ca kl 20:00. Da er temperaturforskjellen ca 10,7 grader.

Oppgave 2

a)

Krysstabell:

	under tredve	over tredve	Sum
kildesorterer	$ 0,14 \cdot 250 = 35$	$ 0,44 \cdot 750 = 330$	365
kildesorterer ikke	$0,86 \cdot 250 = 215$	$0,56 \cdot 750 = 420$	635
Sum	250	750	1000

b

$ \frac{365}{1000} = 0,365 = 36,5$ %

c)

$ \frac {35}{365} =0,096 = 9,6$ %

Oppgave 3

a)

f(x) = ax + b

Siden vi beveger oss en møt høyre på x aksen vil lengden av linjestykket CD tilsvare stigningstallet til den rette linjen, altså a.

b)

Trekantene ABC og ADC har begge en vinkel på 90 grader. Begge har en felles vinkel i C, derfor er de formlike.

De samme argumentene gjelder for trekantene ABC og ABD, der vinkel B er felles.

Siden to trekanter er formlike med en tredje, må de to trekantene være formlike med hverandre.

c)

Linjen AD = 1 er felles i trekantene ABD og ADC. Vi setter opp forholder som gjelder siden de er formlike. og kaller BD for x:

$ \frac 1a = \frac x1 \\ x = \frac 1a$

d)

Siden $a$ og $ \frac 1a$ er absoluttverdiene til stigningstallene til to linjer som står 90 grader på hverandre vil det ene utrykke alltid ha motsatt fortegn av det andre ,$a \neq 0$, vil multiplikasjonen alltid bli minus en.

a)

A (-2,0) og B (0, 0) se linje 2.

C $ ( - \frac{2 \sqrt 6}{2}, \frac{32 \sqrt 6}{9} )$ se linje 4 og 5.

b)

Definerer punktene A, B og C, og finner lengde av grunnlinje og høyde.

c)

Vi observerer at grunnlinjen AB er den samme i begge trekantene. Forholdet mellom arealene blir da lik forholdet mellom høydene i trekantene, altså forholdene mellom y koordinatene til C og D.

Forholdet mellom arealene av ABD og ABC er tre halve ganger roten av tre.