1P 2017 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Løsning av denne oppgaven som pdf innsendt av Lektor Nilsen

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Diskusjon av denne oppgaven på diskusjon.no

Har du laget en alternativ løsning til oppgaven? Send inn til cosinus@matematikk.net så legger vi den ut her.

DEL EN

a)

Opp 10%: $640 \cdot 1,1 =704$ kroner

b)

Opp 15%: $640 \cdot 1,15 = 736$ kroner.

Oppgave 2

Kaller avstanden fra Gravånn til Solsletta for GS, der GS = 1000 m. På samme måte har vi MS = 800 m, og GM = x

Da får vi fra Pytagoras:

${GS}^2 = {MS}^2 + x^2$

$x^2 = {GS}^2 – {MS}^2$

$x = \sqrt{{GS}^2 – {MS}^2} = \sqrt{1000^2 – 800^2} = \sqrt{1000000 – 640000} = \sqrt{360000} = 600 m$

Så veien om Multemyr er altså 1,4 km lang, fordi $800 m + 600 m = 1400 m$.

Derfor er veien $400 m$ lenger enn direkteruten.

Oppgave 3

Fra 40% til 42% er opp 2 prosentpoeng. Økningen i prosent er $\frac{2}{40} $ eller $\frac{1}{20}$ som multiplisert med 100% gir en økning på 5%.

Oppgave 4

I et basisår er indeksen 100. 6% mere enn 100 er 106.

a)

$\frac{10}{7} = \frac{50}{x} \\ 10x = 350 \\ x = 35$

Hun trenger 35 liter vann.

b)

10 deler mel og 7 deler vann er 17 deler. Dersom en blanding er 3,4 liter, som er 34 desiliter, utgjør en del 2 desiliter. Det gir 2 liter mel og 1,4 liter vann.

Oppgave 6

Siden arealet av en sirkel er $A = \pi r^2 = 9 \pi $, må radius i sirkelen være 3 og avstanden mellom de to paralelle linjene lik seks. Dette utgjør høyden i parallellogrammet og i trekanten.

Areal paralellogram: $A = g \cdot h = 8 \cdot 6 = 48$

Areal trekant: $ A = \frac {g \cdot h}{2} = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$

a)

Antall personer	2	4	8
Utgifter per person	3100	2200	1750

b)

$U(x)= 1300 + \frac{3600}{x}$

1300 er mat og transport. Hytteleien er 3600 og den blir billigerere jo flere som er med.

c)

$U(x)= 1600 \\ 1300 + \frac{3600}{x} = 1600\\ 1300x + 3600 = 1600x \\ 300x= 3600 \\ x = 12$

Det må være 12 personer med for at prisen per person skal bli 1600 kroner per person.

d)

Nei, dette er ikke omvendt proporsjonale størrelser fordi utgiften halveres IKKE når antallet dobbles. Årsaken til det er leddet som dekker mat og transport. Det er det samme uavhengig av antall deltakere.

a)

Sannsynlighet for biologi:

Det er like mange elever i A og B klassen. Alle elever i A har biologi. Halvparten i B har biologi:

$\frac 12 + \frac 14 = \frac 34$ Det er altså 75% av elevene som har biologi, sannsynligheten for biologi er derfor 75%

(en mere matematisk tillnærming finner du i PDFen på toppen av siden)

b)

Tre fjerdedeler er det totale antall som har biologi. To av disse tre delene kommer fra A. Sannsynligheten for at en elev som kommer fra A blir da:

$\frac 23$ som er ca, 67%

a)

Det betyr at de har investert 450 kroner i nødvendig utstyr og at de må selge 30 vaffelplater for å gå i null.

b)

Pris per vaffel:

$\frac {450}{30} = 15$

De vil ta kr. 15 per vaffelplate.

c)

$O(x) = 15x - 450 \\ O(120)= 15 \cdot 120 - 450 = 1350$

Overskuddet blir på kr. 1350 dersom alle vafflene selges.

DEL TO

a)

b)

1 000 000 : 1000 = 4000

Vi ser fra figuren at etter drøye 10 år passerte antall artikkler 4 milioner, dvs. i januar 2012.

Oppgave 2

4,8 mil = 48 km = 48 000 m = 4 800 000 cm

Målestokk: $\frac{1}{x} = \frac{2,4}{4800000} \\ 2,4x = 4800000 \\ x = 2000000$

Målestokken er 1: 2 000 000.

Oppgave 3

Forholdet mellom overflaten av sylinder og kule er:

$\frac{ O_s}{ O_k} = \\ \frac{2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot h}{4 \pi r^2} = \\ h=r \\ \frac{2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot r}{4 \pi r^2} = \\ \frac{4 \pi r^2}{4 \pi r^2} =1 $

Forholdet mellom overflatene er en, det betyr at de har like stor overflate.

a)

$\frac{100}{139,8} = \frac{x}{100} \\ x = \frac{10000}{139,8} \\x= 71,53$

Det stemmer at med 2015 som basisår er indeksen for 1998 lik 71,5.

b)

100 forholder seg til 144,8 som 71,5 forholder seg til x, der x er KPI i 2016:

$\frac{100}{71,5} = \frac{144,8}{x} \\ 100x = 71,5 \cdot 144,8 \\ x= 103,5$

Kan også finnes ved prosentregning: $71,7 \cdot 1,448 = 103,5$

Indeksen er altså 103,5 i 2016.

Oppgave 5

Nominell lønn i 2010:

$\frac{x}{92,1} = \frac{540000}{97,9} \\ x= 508008,17$

Altså ca. 508 000 kroner.

Oppgave 6

$x \cdot 0,7 \cdot 0,7 \cdot 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 2646 \\ x = \frac{2646}{0,7^2 \cdot 1,2^3} \\ x= 3125$

Varen kostet 3125 kroner før prisendringene.

a)

Farge har ingenting å bety. Det er 12 kuler, 5 er ødelagt.

Sannsynlighet for 2 kuler som ikke er ødelagt:

$ P ( ikke_ødelagt)= \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac {7}{22}$

b)

Minst en ødelagt er alle utfall bortsett fra de utfall som gir to som virker, altså $1- \frac{7}{22} = \frac{15}{22}$

a)

Deler volumet opp i tre deler:

$V = 12 \cdot 6 \cdot 36 + 6\cdot 6 \cdot 36 + \frac 14 \pi \cdot 6^2 = 2592 + 1296 + 1017,9= 4905,9 cm^3 \approx 4,9$ liter.

b)

Overflate.

Endestykker: $O = \frac 12 \pi 6^2 + 2 \cdot 12 \cdot 6 + 6 \cdot 6 \cdot 2 = 272, 55$

Sideflater: $ O = 2 \cdot 12 \cdot 36 + 2 \cdot 6 \cdot 36 + \frac 14 \cdot 2 \pi \cdot 6 \cdot 36 = \\ 864 + 432 + 339,3 = \\ 1635,3$

Alle tall i cm.

Legger man sammen sideflater og endeflater får man 1907,9$cm^2$ eller ca 19,1 kvadratdesimeter.

a)

Pers nettolønn ved alternativ 1: Han trekkes 50% av 5000 kroner og nettolønna blir da 57 500 kroner.

Alternativ 2: Han trekkes 10% av hele beløpet, altså av 60 000 kroner. Det er 6000 kroner. Da får han en nettolønn på 54 000 kroner.

b)

c)

Likt skattetrekk på begge alternativer. Må da ha en lønn på x kroner:

$(x- 55000) \cdot 0,5 = 0,1 \cdot x \\ 0,5x - 0,1x = 27500 \\ x = \frac{27500}{0,4} \\ x = 68750$

Han må tjene 68 750 kroner for å få likt skattetrekk ved begge alternativer.

a)

ABC og ADC er formlike fordi begge trekantene har en felles vinkel, og en vinkel er 90 grader i begge trekantene. Da er den tredje vinkelen også lik. ABC og ABD er formlike av samme grunn. Da må ADC og ABD også være formlike.

b)

Stigningstallet til f(x) er 2. Siden AD = 1 må da CD = 2:

$ \frac{CD}{AD} = \frac {AD}{BD} \\ \frac{2}{1} = \frac{1}{BD} \\ BD = \frac 12 $

c)

g (0) = 3,5, dvs. b = 3,5

I oppgave b fant vi at stigningstallet er - 0,5.

g(x) = -0,5x + 3,5