1T 2017 vår LØSNING

Denne oppgaven som PDF

diskusjon av denne oppgaven

Løsning laget av mattepratbruker Lektor Nilsen

Løsning bidratt av Lektor Ørjan Augedal, Fana privat gymnas

Løsning laget av mattepratbruker rekel

Løsning laget av mattepratbruker mattemarkus

Oppgave 1

$\frac{0,72 \cdot 10^8}{60 \cdot 10^{-8}} = \frac{72 \cdot 10^6}{6 \cdot 10^{-7}} = 12 \cdot 10^{6+7} = 1,2 \cdot 10^{14}$

Oppgave 2

$4^0 + 2^{-3} \cdot (2^3)^2 = 1+ 2^3 = 9$

Oppgave 3

$\sqrt{20} + \sqrt 5 - \frac{\sqrt{160}}{\sqrt 2}= 2 \sqrt 5 +\sqrt 5 - \frac{\sqrt4 \cdot \sqrt4 \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt 5}{\sqrt 2} \\ 2 \sqrt 5 + \sqrt5 - 4 \sqrt 5 = - \sqrt 5$

Oppgave 4

<math> \left[ \begin{align*}x^2+y^2= 4 \\ x+2 = y \end{align*}\right] </math>

Setter inn uttrykket for y i første ligning:

$x^2 + (x+2)^2 = 4 \\ x^2 + x^2 +4x +4 = 4 \\2x(x+2)=0 \\ x= 0 \vee x=-2$

Setter inn for x i en av ligningene og får følgende to løsningssett: (0, 2) eller (-2, 0)

Oppgave 5

$lg(x^2 + \frac 34) = 0 \\ 10^{lg(x^2 + \frac 34)} 10^0 \\ x^2 + \frac 34 =1 \\ x = \pm \frac 12$

Oppgave 6

$ \frac{1}{x} + \frac {x-5}{x-1}- \frac{2x-6}{x^2-x} = \\ \frac {}{}\frac{x-1}{x(x-1)} + \frac {x(x+5)}{x(x-1)} - \frac{2x-6}{x(x-1)} = \\ \frac {x-1+x(x-5) -2x +6}{x(x-1} = \\ \frac{x^2-6x+5}{x(x-1)}= \\ \frac {(x-1)(x-5)}{x(x-1)} = \\ \frac{x-5}{x} $

a)

	Papir	ikke papir	Total
Nett	32	48	80
Ikke nett	18	2	20
Total	50	50	100

b)

Både nett og papir:

P ( nett $\cap$ papir) = 32% (leser direkte fra tabell).

c)

Sannsynlighet for ikke papir, gitt nett:

P( ikke papir | nett) = $\frac{P( nett \quad \cap \quad ikke papir)}{P( nett)} = \frac{48}{80} = 0,6$

Oppgave 8

Den lengste siden i en rettvinklet trekant er hypotenusen. Kaller den for x:

$ x^2 = (x-2)^2+ 20^2 \\ x^2 = x^2-4x+4 + 400\\ 4x= 404 \\ x = 101$

Den lengste siden er 101.

Oppgave 9

a)

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet:

$f(-2)= -8+12+4-3 = 5 \\ f(0)= -3 \\ \frac{f(0) - f(-2)}{2} = \frac{-3-5}{2} = -4$

b)

Momentan vekstfart for f når x = 2.

$f´(x)= 3x^2+ 6x-2 \\ f´(-2) = 12-12--2 = -2$

Oppgave 10

a)

$f(x)>0 \Rightarrow x \in <4, \rightarrow>$

b)

$f´(x) >0 \Rightarrow x \in < \leftarrow,1> \cup <3, \rightarrow>$

Oppgave 11

a)

Nullpunkter:

$ f(x)=0 \\ x^2-4x+3=0 \\ x= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3}}{2} \\ x = 1 \vee x= 3$

Nullpunkter (1,0) og (3,0).

b)

c)

V finner den x verdi som gir f´(x) = 2. $f´(x) =2 \\ 2x-4 =2 \\ x=3$

Vi vet at f(3) = 0

Likningen for tangenten blir da: $y = ax + b \\ 0 = 2 \cdot 3 + b \\ b = -6$

y= 2x - 6 er likningen for tangenten med stigningstall 2.

d)

Se tangent i c. Likningen blir y = -2x + 2, fordi grafen skjærer y aksen i 2 og avtar med 2 for hver enhet mot høyre.

e)

Det er oppgitt at tangenten går gjennom (2, -2). Pga symmetri må den også gå gjennom (1,0).

Den deriverte blir da -2 : y = -2x + b som innsatt for (1, 0) gir b = 2, altså er ligningen for tangenten riktig.

Oppgave 12

a)

Sin (vinkel) = motstående katet delt på hypotenus: $Sin (30^{ \circ}) = \frac 12$

Cos (vinkel) = hosliggende katet delt på hypotenus: $Cos (30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2^2-1^2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad$ (her brukte vi pytagoras for å finne hosliggende katet)

Tan (vinkel) = Sin (vinkel) delt på Cos (vinkel): $ Tan (30^{\circ}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt 3}{3}$

b)

Bruker arealformenlen:

$A = \frac12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin(30) = 2$

Arealet av trekanten er 2.

c)

Bruker cosinussetningen:

$(BC)^2 =4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\sqrt3}{2} = 20 - 8 \sqrt3 = 4(5 - 2\sqrt3) \\ BC = \sqrt{4(5 - 2\sqrt3)} = 2 \sqrt{5-2\sqrt3}$

Oppgave1

a)

b)

Fyllingsgraden er under 60% fra uke 4 til 27, altså ca 23 uker. Da er fyllingsgraden over resten av tiden, ca. 29 uker.

c)

Fra Figuren ser man at fyllingsgraden var lavest i uke 14, ca. 35,3%.

d)

Fra Grafen i a ser man at stigningstallet er 2,48. Det betyr at magasinet økte 2,48 prosentpoen i uke 22.

Ved regning:

$f'(x)= -0,0141x^2+0,80x-8,3 \\ f'(22)= 2,48 \\ f(22) = 46,95$

Likningenblir da:

$y = ax + b \\ 46,95 = 2,48 \cdot22 +b \\ b = -7,6 \\ dvs. \\ y = 2,48x - 7,6$

Oppgave 2

Barn koster x, voksen koster (x + 40):

$2(x + 40 )+ 3x = 520 \\ 5x = 440 \\ x = 88$

Det koster 88 kroner for barn og 128 kroner for voksne.

Oppgave 3

a)

Med geogebra får man f(x) = - 0,94x +30. Siden det er en modell kan man si ca. -x +30, dvs. at andelen dagsrøykere synker med ca. ett prosentpoeng i året.

b)

Ut på høsten i 2026 vil bedriften være nede i 5% i følge modellen ( som trolig ikke har et så stort gyldighetsområde).

Oppgave 4

a)

Lager et valgtre:

P(lekk)= $ \frac{80+25}{300} = 0,35$

Det er 35% sannsynlig at den er lekk ( ikke tett).

b)

Gitt lekk (ikke tett):

P ( lettmelk) $\frac{80}{80+25} = 0,7619$ som er ca 76,2%

Oppgave 5

Vi bruker cosinussettningen.

$s = \frac 83$ (utelukker de to andre.)

Oppgave 6

• Fra linje tre ser man at (a, f(a)) er ett nullpunkt.

• Fra linje seks ser man at f'(x) = 0 gi x = a som en løsning, derfor er P også et stasjonært punkt.

• Vi ser at den deriverte vender sin hule side opp, og har to nullpunkter. Da må den skifte fortegn fra negativ til positiv i P, som da altså er et minimumspunkt.

a lik 2,3

Slik går det når a vokser,,,

Oppgave 7

a)

Pytagoras:

$(R+r)^2 = R^2 + (2R-r)^2 \\ R^2+ 2Rr + r^2 = R^2 + 4R^2 - 4Rr +r^2 \\ 6Rr = 4R^2 \\ r = \frac 23R$

b)

Arealet av det grå (blå) feltet er arealet av kvartsirkelen minus arealene av de to halvsirklene.

$A = \frac{\pi(2R)^2}{4} - \frac{\pi R^2}{2} -\frac{\pi( \frac{2R}{3})^2}{2} \\ A = \pi R^2- \frac{9 \pi R^2}{18} - \frac{4 \pi R^2}{18} \\ A = \frac{5 \pi R^2}{18}$