Forskjell mellom versjoner av «Vektorer i rommet»
(14 mellomliggende revisjoner av 6 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
− | En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet < | + | En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <math>\mathbb{R^3}</math>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <math>\vec{r}=(x,y,z)</math>, <math>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</math> eller <math>\vec{r}=[x,y,z]</math>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <math>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</math> der <math>\vec{e_i}</math> er enhetsvektor langs aksen <math>i\in [x,y,z]</math>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen. |
+ | |||
Linje 9: | Linje 10: | ||
− | Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom < | + | Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom <math>\vec{v}=(x,y,z)</math> er lengden definert som |
− | :< | + | :<math>|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> |
== Vektorsum == | == Vektorsum == | ||
Linje 19: | Linje 20: | ||
− | :< | + | :<math>\vec{v}+\vec{v^\prime}=(x,y,z)+(x^\prime,y^\prime,z^\prime)=(x+x^\prime,y+y^\prime,z+z^\prime)</math> |
== Multiplikasjon med skalar == | == Multiplikasjon med skalar == | ||
Linje 26: | Linje 27: | ||
− | :< | + | :<math>k(x,y,z)=(kx,ky,kz)</math> der <math>k</math> er en skalar. |
Linje 32: | Linje 33: | ||
− | :< | + | :<math>|k\vec{v}|=|(kx,ky,kz)|=\sqrt{(kx)^2+(ky)^2+(kz)^2}=\sqrt{k^2(x^2+y^2+z^2)}=|k|\sqrt{x^2+y^2+z^2}=|k||\vec{v}|</math> |
Linje 39: | Linje 40: | ||
== Skalarprodukt == | == Skalarprodukt == | ||
− | La < | + | La <math>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</math> og <math>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</math>. Da er skalarproduktet definert som |
− | : < | + | : <math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2</math> |
Linje 48: | Linje 49: | ||
− | : < | + | : <math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cdot \cos(\theta)</math> der <math>\theta</math> er vinkelen mellom vektorene. |
+ | |||
+ | Merk at definisjonen medfører at skalarproduktet er kommutativt, dvs. at <math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=\vec{v_2}\cdot \vec{v_1}</math> | ||
Linje 55: | Linje 58: | ||
− | : < | + | : <math>\vec{v}\cdot \vec{v}=x^2+y^2+z^2=|\vec{v}|^2</math>. |
+ | |||
+ | |||
+ | Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er <math>\theta=0</math>, og da er <math>\cos(\theta)=\cos(0)=1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == Normalisering == | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Vi normaliserer en vektor ved å dele den med lengden av seg selv. Lar vi f.eks. <math>\vec{v}=(x,y,z)</math> og deler med lengden får vi | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Vi ser da at <math>|\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}|=1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == Enhetsvektorer == | ||
+ | |||
+ | |||
+ | En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. overflaten av ei kule med radius=1 og sentrum i origo). | ||
+ | |||
+ | == Dekomposisjon av romlige vektorer == | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Vi kan finne komponenten av en vektor i en gitt retning ved å ta skalarproduktet av vektoren og enhetsvektoren langs den ønskelige retningen. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == Trekantulikheten == | ||
+ | |||
+ | Trekantulikheten sier at for vektorer <math>\vec{u}</math> og <math>\vec{v}</math> gjelder alltid | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>|\vec{u}+\vec{v}|\leq |\vec{u}|+\vec{v}|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Denne er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer. | ||
+ | == Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)== | ||
− | + | I en mer generell kontekst er de euklidske vektorene et spesialtilfelle av et vektorrom over en kropp (en kropp er f.eks. <math>\mathbb{R}</math> eller <math>\mathbb{C}</math>). Et vektorrom <math>\mathcal{V}</math> over <math>\mathcal{F}</math> er en mengde av elementer (vektorer) som tilfredsstiller et sett aksiomer. For alle <math>r,s \in \mathcal{F}</math> og alle <math>u</math>, <math>v</math> og <math>w</math> i <math>\mathcal{V}</math> gjelder: | |
+ | 1. Det fins en additiv identitet, <math>0</math>: <math>u+0=u</math> | ||
− | = | + | 2. Det fins en multiplikativ identitet, <math>1</math>: <math>1u=u</math> |
− | + | 3. Vektorrommet er lukket under skalarmultiplikasjon, i.e. <math>ru</math> er med i <math>\mathcal{V}</math> og <math>r(su)=(rs)u</math>. | |
+ | 4. Vektorrommet er lukket under addisjon, i.e. <math>u+v</math> er med i <math>\mathcal{V}</math> | ||
− | + | 5. Vektorrommet assosiativt, i.e. <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math> | |
− | + | 6. Vektorrommet er distributivt, i.e. <math>r(u+v)=ru+rv</math> | |
− | + | 7. <math>(r+s)u=ru+su</math> | |
− | + | 8. Vektorrommet er kommutativt, i.e. <math>u+v=v+u</math> | |
− | + | 9. For alle <math>u</math> fins en <math>w</math> slik at <math>u+w=0</math> | |
− | |||
− | + | ---- | |
+ | [[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]] | ||
− | |||
− | + | [[Kategori:Algebra]] | |
+ | [[Kategori:R2]] | ||
+ | [[Kategori:Ped]] |
Nåværende revisjon fra 22. apr. 2019 kl. 10:06
En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <math>\mathbb{R^3}</math>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <math>\vec{r}=(x,y,z)</math>, <math>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</math> eller <math>\vec{r}=[x,y,z]</math>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <math>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</math> der <math>\vec{e_i}</math> er enhetsvektor langs aksen <math>i\in [x,y,z]</math>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen.
En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av lengde, sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:
Lengden av en vektor i rommet
Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom <math>\vec{v}=(x,y,z)</math> er lengden definert som
- <math>|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>
Vektorsum
Addisjon av vektorer foregår på samme måte som i planet, dvs. komponentvis. Vi har at
- <math>\vec{v}+\vec{v^\prime}=(x,y,z)+(x^\prime,y^\prime,z^\prime)=(x+x^\prime,y+y^\prime,z+z^\prime)</math>
Multiplikasjon med skalar
Vi kan multiplisere en vektor med en skalar på samme måte som i planet:
- <math>k(x,y,z)=(kx,ky,kz)</math> der <math>k</math> er en skalar.
Da ser vi at
- <math>|k\vec{v}|=|(kx,ky,kz)|=\sqrt{(kx)^2+(ky)^2+(kz)^2}=\sqrt{k^2(x^2+y^2+z^2)}=|k|\sqrt{x^2+y^2+z^2}=|k||\vec{v}|</math>
Denne formelen kan anvendes for å forenkle utregninger gjennom å faktorisere ut felles faktorer i vektoren vi skal finne lengden av.
Skalarprodukt
La <math>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</math> og <math>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</math>. Da er skalarproduktet definert som
- <math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2</math>
Dette er ekvivalent med
- <math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cdot \cos(\theta)</math> der <math>\theta</math> er vinkelen mellom vektorene.
Merk at definisjonen medfører at skalarproduktet er kommutativt, dvs. at <math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=\vec{v_2}\cdot \vec{v_1}</math>
En viktig observasjon er at dersom vi tar skalarproduktet med vektoren selv, får vi
- <math>\vec{v}\cdot \vec{v}=x^2+y^2+z^2=|\vec{v}|^2</math>.
Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er <math>\theta=0</math>, og da er <math>\cos(\theta)=\cos(0)=1</math>.
Normalisering
Vi normaliserer en vektor ved å dele den med lengden av seg selv. Lar vi f.eks. <math>\vec{v}=(x,y,z)</math> og deler med lengden får vi
- <math>\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)</math>.
Vi ser da at <math>|\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}|=1</math>.
Enhetsvektorer
En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. overflaten av ei kule med radius=1 og sentrum i origo).
Dekomposisjon av romlige vektorer
Vi kan finne komponenten av en vektor i en gitt retning ved å ta skalarproduktet av vektoren og enhetsvektoren langs den ønskelige retningen.
Trekantulikheten
Trekantulikheten sier at for vektorer <math>\vec{u}</math> og <math>\vec{v}</math> gjelder alltid
- <math>|\vec{u}+\vec{v}|\leq |\vec{u}|+\vec{v}|</math>
Denne er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.
Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)
I en mer generell kontekst er de euklidske vektorene et spesialtilfelle av et vektorrom over en kropp (en kropp er f.eks. <math>\mathbb{R}</math> eller <math>\mathbb{C}</math>). Et vektorrom <math>\mathcal{V}</math> over <math>\mathcal{F}</math> er en mengde av elementer (vektorer) som tilfredsstiller et sett aksiomer. For alle <math>r,s \in \mathcal{F}</math> og alle <math>u</math>, <math>v</math> og <math>w</math> i <math>\mathcal{V}</math> gjelder:
1. Det fins en additiv identitet, <math>0</math>: <math>u+0=u</math>
2. Det fins en multiplikativ identitet, <math>1</math>: <math>1u=u</math>
3. Vektorrommet er lukket under skalarmultiplikasjon, i.e. <math>ru</math> er med i <math>\mathcal{V}</math> og <math>r(su)=(rs)u</math>.
4. Vektorrommet er lukket under addisjon, i.e. <math>u+v</math> er med i <math>\mathcal{V}</math>
5. Vektorrommet assosiativt, i.e. <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>
6. Vektorrommet er distributivt, i.e. <math>r(u+v)=ru+rv</math>
7. <math>(r+s)u=ru+su</math>
8. Vektorrommet er kommutativt, i.e. <math>u+v=v+u</math>
9. For alle <math>u</math> fins en <math>w</math> slik at <math>u+w=0</math>