Geometriske rekker

Geometrisk progresjon

En geometrisk progresjon <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=k</math>.

Slike tallfølger kan skrives på formen <math>a_n=a_1k^{n-1}</math>

Test deg selv

Geometrisk rekke

En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.

For geometriske rekker <math>a_n=a_1k^{n-1}</math> er <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}</math>

Bevis for summeformel

Betrakt tallet <math>(k-1)(1+k+k^2+k^3+ \ldots +k^n)</math>. Ganger vi ut parentesene, får vi <math>(k+k^2+k^3+ \ldots + k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math>. Men dersom

<math>(k-1)(1+k+k^2+ \ldots + k^n) = k^{n+1}-1</math>

kan vi dele med faktoren <math>(k-1)</math> på begge sider og få

<math>\sum_{i=0}^{n}k^i = 1+k+k^2+ \ldots + k^n = \frac{k^{n+1}-1}{k-1} </math>

Multipliserer vi så med <math>a_1</math> på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.

Uendelige geometriske rekker

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.

I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}$

---

Tilbake til R2 Hovedside