Forskjell mellom versjoner av «Integrasjon ved delbrøkoppspalting»
Linje 21: | Linje 21: | ||
<math>-1 = -4B</math><p></p> | <math>-1 = -4B</math><p></p> | ||
<math>B= \frac14</math><p></p> | <math>B= \frac14</math><p></p> | ||
+ | |||
Velger så x slik at parentesen foran B blir null, x = 2:<p></p> | Velger så x slik at parentesen foran B blir null, x = 2:<p></p> | ||
<math>7 = 4A</math><p></p> | <math>7 = 4A</math><p></p> | ||
+ | |||
<math>A = \frac74</math><p></p> | <math>A = \frac74</math><p></p> | ||
Integralet blir da:<p></p> | Integralet blir da:<p></p> | ||
+ | |||
<math> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac | <math> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac | ||
{1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </math> | {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </math> | ||
Linje 33: | Linje 36: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
+ | |||
<math> \int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx = \int (\frac{A}{(x-x_1)}+ \frac | <math> \int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx = \int (\frac{A}{(x-x_1)}+ \frac | ||
{B}{(x-x_2)})dx | {B}{(x-x_2)})dx | ||
</math><p></p> | </math><p></p> | ||
+ | |||
Man finner A og B slik at<p></p> | Man finner A og B slik at<p></p> | ||
<math> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </math> <p></p> | <math> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </math> <p></p> | ||
+ | |||
Det lønner seg å velge x slik at parentesene blir lik null (en om gangen).<p></p> | Det lønner seg å velge x slik at parentesene blir lik null (en om gangen).<p></p> | ||
Det kan være lurt å huske at:<p></p> | Det kan være lurt å huske at:<p></p> | ||
+ | |||
<math> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </math><p></p> og <p></p><math> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </math><p></p> | <math> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </math><p></p> og <p></p><math> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </math><p></p> | ||
</blockquote> | </blockquote> |
Nåværende revisjon fra 28. aug. 2016 kl. 17:24
Dersom man har en brøkfunksjon med en nevner som har høyere grad enn en og kan faktoriseres kan delbrøkoppspalting være en metode som fører til et resultat. Man ønsker å skrive en brøk med høyere grad enn en i nevner som summen av brøker med førstegradsuttrykk i nevneren. Teknikken illustreres best med et eksempel.
Eksempel 1:
<math> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{A}{(x-2)}+ \frac {B}{(x+2)})dx</math>
Man må så bestemme A og B. Det gjøres ved å løse likningen:2x+3 = (x + 2)A + (x - 2)B
Velger x slik at parentesen foran A blir null og får x=-2 som gir:
<math>-1 = -4B</math>
<math>B= \frac14</math>
Velger så x slik at parentesen foran B blir null, x = 2:
<math>7 = 4A</math>
<math>A = \frac74</math>
Integralet blir da:
<math> \int \frac{2x+3}{x^2-4}dx = \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+2)}dx =\int (\frac{7}{4(x-2)}+ \frac {1}{4(x+2)})dx = \frac 74 ln|x-2| + \frac14 ln|x+2| + C </math>
Generelt kan man si at:
<math> \int \frac{ax+b}{(x-x_1)(x-x_2)}dx = \int (\frac{A}{(x-x_1)}+ \frac {B}{(x-x_2)})dx
</math>
Man finner A og B slik at
<math> ax + b= (x-x_2)A + (x-x_2)B </math>
Det lønner seg å velge x slik at parentesene blir lik null (en om gangen).
Det kan være lurt å huske at:
<math> \int \frac{1}{x+a}dx = ln|x+a| +C </math>
og
<math> \int \frac{1}{a-x}dx = -ln|a-x| +C </math>
Eksempel 2:
<math> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{(x-2)(x-3)A}{x}+ \frac {x(x-3)B}{x-2}+ \frac {x(x-2)C}{x-3} dx
</math>
Man må nå finne ut hva A, B og C er. Det gjør man på følgende måte
<math>6x^2-17x+6 = (x-2)(x-3)A +x(x-3)B + x(x-2)C </math>
Setter først x = 0
6 = 6 A dvs. A = 1
Setter så x = 2 og får:
-4 = -2B dvs. B = 2
Setter så x = 3 og finner at C = 3. Da får man:
<math> \int \frac{6x^2-17x+6}{x^3-5x^2+6x}dx = \int \frac{6x^2-17x+6}{x(x-2)(x-3)}dx =\int (\frac{1}{x}+ \frac {2}{x-2}+ \frac {3}{x-3} dx = ln|x| + 2ln|x-2| +3ln|x-3| + C
</math>
Dersom man får et intgral der teller er større enn nevner kan man prøve polynomdivisjon før integrasjon.
Polynomdivisjon før integrasjon
Dersom en polynomdivisjon ikke går opp får man en rest i form av en brøkfunksjon som er enklere enn den man startet med. Hvilke metode man bruker for å integrere denne resten er ofte delbrøkoppspalting eller variabelskifte.
Eksempel 3:
<math> \int \frac{x^3+2x^2+x+1}{x^2 +x +2}dx </math>
man utfører divisjonen og får
<math> \int \frac{x^3+2x^2+x+1}{x^2 +x +2}dx = \int (x + 1 - \frac{2x+1}{x^2+x+2})dx</math>
Man observere at brøken har den deriverte av nevner, i teller. Da bruker man substitusjon (variabelskifte) og får
<math> \frac12x^2 + x - ln(x^2+x+2) +C</math>
Eksempel 4:
<math> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt </math>
Utfører polynomdivisjonen og får
<math> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt = \int (2t + 1 - \frac{2}{(t+1)(t-1)})dt</math>
2= (t - 1)A + (t + 1)B
Velger t = 1 som gir B = 1
Velger så t = -1 og får A = - 1, som gir:
<math> \int \frac{2t^3+t^2-2t-3}{t^2 -1}dt = \int (2t + 1 - \frac{2}{(t+1)(t-1)})dt = \int (2t + 1 - ( \frac{-1}{t+1} + \frac {1}{t-1}) )dt \\ = \int (2t + 1 +\frac{1}{t+1} - \frac {1}{t-1} )dt = t^2 + t +ln|t+1| - ln|t-1| + C </math>