1T 2015 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(51 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 19: Linje 19:
[4x6y=264x2y=2]
[4x6y=264x2y=2]


Legger sammen likningnene og x forsvinner:
Legger sammen likningene og x forsvinner:


[8y=24]
[8y=24]


Det gir y = 3. Innsatt i en av likningnen gir det x = 2. Løsning er altså x=2y=3
Det gir y = 3. Innsatt i en av likningene gir det x = 2. Løsning er altså x=2y=3


===Oppgave 3===
===Oppgave 3===
Linje 87: Linje 87:
===b)===
===b)===


Koefisienten foran andregradsleddet er positiv, det betyr at grafen vender sin hule side opp, og har et minimumspunkt. Dette ligger på symmetrilinja som er x= 0,5.
Koeffisienten foran andregradsleddet er positiv, det betyr at grafen vender sin hule side opp, og har et minimumspunkt. Dette ligger på symmetrilinja som er x= 0,5.


f(0,5)=


Eller vi kan derivere og sette den deriverte lik null:
Eller vi kan derivere og sette den deriverte lik null:
Linje 97: Linje 96:
f(12)=142484=94
f(12)=142484=94


Dvs. bunnpunkt i (12,94)
Dvs. bunnpunkt i (12,94).


===c)===
===c)===


y=ax+ba=f´(2)=3y=f(2)=422=0y=ax+b0=32+bb=6y=3x6


===d)===
===d)===
Linje l:
y=ax+b7=33+bb=2y=3x2
Finner skjæring ved å sette uttrykkene lik hverandre:
x2x2=3x2x24x=0x(x4)=0x=0x=4
Finner y koordinatene:
f(0)=2f(4)=10
Skjæringspunktene er (0, -2) og (4, 10).


===e)===
===e)===
Linje 118: Linje 131:
Arealet av det store trapeset er 3k3h=9kh=9A
Arealet av det store trapeset er 3k3h=9kh=9A


===Oppgave 12===
==Oppgave 12==
 
===a)===
 
 
{| width="auto"
|
|Smittet
|Ikke smittet
|sum
|-
| Tester positivt
| 58
|10
| 68
|-
|Tester ikke positivt
|2
|290
|292
|-
|sum
|60
|300
|360
|}
 
===b)===
 
P( pos | smittet) = 5860=2930
 
===c)===
 
P( ikke smittet | pos test) = $\frac{10}{68} = \frac{5}{34}$


===Oppgave 13===
===Oppgave 13===
Linje 132: Linje 178:
SinB=h2035=h20h=12
SinB=h2035=h20h=12


Bruker pytagoras to ganger, for å finne grunnlinja AB:
Bruker Pytagoras to ganger, for å finne grunnlinja AB:
 
AB = AD + DB = 132122+202122=5+16=21
 


AB = AD + DB
Areal: $A= \frac{21 \cdot 12}{2} = 126$


==DEL TO==
==DEL TO==
Linje 152: Linje 201:


===Oppgave 2===
===Oppgave 2===
[[File:1t-h2015-22.png]]
De tre skraverte trekantene har samme areal (selv om det ikke ser slik ut :-))
Setter arealet av den likebeinte skraverte trekanten lik arealet til en av de andre skraverte:
x22=126(6x)x2+6x36=0x=6±36+1442x=6±1802x=6±3652x=3±33
Vi er bare interessert i den positive verdien, siden dette er lengden av et linjestykke:
x=353
Areal av hvit trekant blir:
A=62312(353)2=3632(45185+9)=36(81275)=27545


===Oppgave 3===
===Oppgave 3===
Linje 160: Linje 226:


===b)===
===b)===
[[File:1t-h2015-23b.png]]
Begge har stigningstall 2c-1, altså er de parallelle.


===Oppgave 4===
===Oppgave 4===
[[File:1T-h2015-4.png]]
[[File:1T-h2015-4.png]]
Lengde: 34
Bredde: 12


===Oppgave 5===
===Oppgave 5===
Linje 169: Linje 244:
===a)===
===a)===


Antall kjøretøy i telleperioden: 1350 + 120 + 100 = 1570.
Andel elbiler: 13501570=0,86
Ja, det gir grunnlag for overskriften, men journalisten hadde hatt belegg for å skrive 9 av 10, noe som ville vært en enda større sensasjon.


===b)===
===b)===
Binomisk fordeling:
Elbil eller ikke elbil
Kommer uavhengig av hverandre
p= 0,8599
[[File:1T-h2015-25b.png]]
Det er 5% sannsynlig at det er nøyaktig en elbil, av tre kjøretøy,  som passerer.


===c)===
===c)===
[[File:1T-h2015-25c.png]]
Det er ca 95% sannsynlig at to eller tre biler som passerer er elbiler.


===Oppgave 6===
===Oppgave 6===
Linje 178: Linje 274:
===a)===
===a)===


Bruker Cosinussetningen:
62=82+(AB)228ABCos(45)
[[File:1T-h2015-26a.png]]
Begge løsninger er mulige.


===b)===
===b)===


[[File:1T-h2015-26b.png]]
Skisse av trekanten(e) i oppgave a.
[[File:1T-h2015-26b2.png]]
Generell skisse som viser ingen løsning, en løsning, og to løsninger.


===c)===
===c)===




Vinkel A er 45 grader og AC = 8. Det betyr at største lengde BC kan ha er mindre enn 8, dersom to løsninger. En løsning har man dersom BC er større enn 8 og dersom BC har lengden som gjør at vinkel B er rettvinklet. Desom BC er kortere enn denne lengden har man ingen trekant, dvs. ingen løsning.
[[File:1T-h2015-26c.png]]
Den korteste lengden a kan ha er a=425,66. vi får da en rettvinklet trekant, altså bare en løsning. Trekanten er likebeint, dvs. at AB (x) er lik BC (a).
Man tar ikke kvadratroten av negative tall (ikke her i alle fall) så:
a232>0a2>32a>42
Det gir følgende:
Ingen løsning: a<42
En løsning:  a=42a>8
To løsninger: 42<a<8


===d)===
===d)===
Det stemmer.

Siste sideversjon per 18. jan. 2016 kl. 04:19


DEL EN

Oppgave 1

1,810120,0005=1,810125104=1,8510124=9,0108

Oppgave 2

[2x+3y=134x2y=2]

Ganger første likning med -2:

[4x6y=264x2y=2]

Legger sammen likningene og x forsvinner:

[8y=24]

Det gir y = 3. Innsatt i en av likningene gir det x = 2. Løsning er altså x=2y=3

Oppgave 3

2x2+6x<02x(x3)<0

Fortegnsskjema:

x∈<←,0><3,→>

Oppgave 4

(2)2+82+83128323=22+227323=22+242323=2

Oppgave 5

x2+bx+c=0 Løsninger x1=4x2=2

Setter inn for x:

164b+c=04+2b+c=0

Multipliserer den siste med -1 og legger dem sammen:

12- 6b = 0 gir b = 2. Ved innsetting finner man c = -8

x2+2x8=0

Oppgave 6

x+1x1x32x2+12=2x+2x+3+x12(x1)=2x+42(x1)=x+2x1

Oppgave 7

x24xy+4y23xy6y2=(x2y)23y(x2y)=x2y3y

Oppgave 8

24x2x2=322x2+4x=25x2+4x5=0x=4±16+202=x=5x=1

Oppgave 9

Katetene er like lange. Lengde x:

x2+x2=(2)22x2=2x=1

Arealet blir da halvparten av en ganger en. A = 0,5

Oppgave 10

a)

f(x)=x2x2

f(x)=0x2x2=0x=1±1+82x=1x=2

Nullpunkter er (-1,0) og (2, 0)

b)

Koeffisienten foran andregradsleddet er positiv, det betyr at grafen vender sin hule side opp, og har et minimumspunkt. Dette ligger på symmetrilinja som er x= 0,5.


Eller vi kan derivere og sette den deriverte lik null:

f(x):2x1f(x)=0x=12

f(12)=142484=94

Dvs. bunnpunkt i (12,94).

c)

y=ax+ba=f´(2)=3y=f(2)=422=0y=ax+b0=32+bb=6y=3x6

d)

Linje l: y=ax+b7=33+bb=2y=3x2

Finner skjæring ved å sette uttrykkene lik hverandre:

x2x2=3x2x24x=0x(x4)=0x=0x=4

Finner y koordinatene:

f(0)=2f(4)=10

Skjæringspunktene er (0, -2) og (4, 10).

e)

Oppgave 11

Formlikhet.

Dersom k er gjennomsnittet av lengdene til det parallelle sidene i det lille trapeset, er tilsvarende lengde i det store trapeset 3k.

Arealet av det lille trapeset er kh = A

Arealet av det store trapeset er 3k3h=9kh=9A

Oppgave 12

a)

Smittet Ikke smittet sum
Tester positivt 58 10 68
Tester ikke positivt 2 290 292
sum 60 300 360

b)

P( pos | smittet) = 5860=2930

c)

P( ikke smittet | pos test) = 1068=534

Oppgave 13

Finner først hypotenusen:

b=122+52=13cosC=513

Oppgave 14

Nedfeller normalen Fra C på AB. Det er høyden h i trekanten ABC. Kaller punktet normalen treffer AB på for D.

SinB=h2035=h20h=12

Bruker Pytagoras to ganger, for å finne grunnlinja AB:

AB = AD + DB = 132122+202122=5+16=21


Areal: A=21122=126

DEL TO

Oppgave 1

a)


I de første åtte årene beskrives salget godt av den lineære funksjonen y = 210x + 393

b)

Allerede i 2008 underestimerer modellen betydelig. Etter hvert blir det verre da utviklingen synes eksponentiell. Modellen i a passer ikke til å si noen om fremtidig utvikling.

Oppgave 2

De tre skraverte trekantene har samme areal (selv om det ikke ser slik ut :-))


Setter arealet av den likebeinte skraverte trekanten lik arealet til en av de andre skraverte:

x22=126(6x)x2+6x36=0x=6±36+1442x=6±1802x=6±3652x=3±33

Vi er bare interessert i den positive verdien, siden dette er lengden av et linjestykke:

x=353

Areal av hvit trekant blir:

A=62312(353)2=3632(45185+9)=36(81275)=27545

Oppgave 3

a)

b)


Begge har stigningstall 2c-1, altså er de parallelle.

Oppgave 4

Lengde: 34

Bredde: 12

Oppgave 5

a)

Antall kjøretøy i telleperioden: 1350 + 120 + 100 = 1570.

Andel elbiler: 13501570=0,86

Ja, det gir grunnlag for overskriften, men journalisten hadde hatt belegg for å skrive 9 av 10, noe som ville vært en enda større sensasjon.

b)

Binomisk fordeling:

Elbil eller ikke elbil

Kommer uavhengig av hverandre

p= 0,8599

Det er 5% sannsynlig at det er nøyaktig en elbil, av tre kjøretøy, som passerer.

c)

Det er ca 95% sannsynlig at to eller tre biler som passerer er elbiler.

Oppgave 6

a)

Bruker Cosinussetningen:

62=82+(AB)228ABCos(45)

Begge løsninger er mulige.

b)

Skisse av trekanten(e) i oppgave a.

Generell skisse som viser ingen løsning, en løsning, og to løsninger.

c)

Vinkel A er 45 grader og AC = 8. Det betyr at største lengde BC kan ha er mindre enn 8, dersom to løsninger. En løsning har man dersom BC er større enn 8 og dersom BC har lengden som gjør at vinkel B er rettvinklet. Desom BC er kortere enn denne lengden har man ingen trekant, dvs. ingen løsning.

Den korteste lengden a kan ha er a=425,66. vi får da en rettvinklet trekant, altså bare en løsning. Trekanten er likebeint, dvs. at AB (x) er lik BC (a).

Man tar ikke kvadratroten av negative tall (ikke her i alle fall) så:

a232>0a2>32a>42

Det gir følgende:

Ingen løsning: a<42

En løsning: a=42a>8

To løsninger: 42<a<8

d)

Det stemmer.