Aritmetriske rekker: Forskjell mellom sideversjoner
Ingen redigeringsforklaring |
|||
| (19 mellomliggende versjoner av 4 brukere er ikke vist) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
== Aritmetisk progresjon == | == Aritmetisk progresjon == | ||
En aritmetisk følge er en tallfølge, | En aritmetisk følge er en tallfølge, $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ ($\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</math>. | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel''' | |||
:Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</math>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</math>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</math>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</math>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</math>, så <math>a_3=2+5=7</math> osv. | |||
</blockquote> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=9F6%2B9F7%2B9F8%2B9F9%2B9FA%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Aritmetisk rekke (sum) == | == Aritmetisk rekke (sum) == | ||
En aritmetisk rekke er summen av leddene i en aritmetisk progresjon | En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</math> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> med et endelig antall ledd <math>N</math>. Den <math>n</math>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</math> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</math>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</math> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</math> ledd: | ||
<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</math> | |||
Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</math> og den konstante differansen <math>d</math>. | |||
Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</math>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</math>. | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | ||
| Linje 11: | Linje 26: | ||
'''Eksempel''' | '''Eksempel''' | ||
:La oss se på den endelige følgen < | :La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math> Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = 55</math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=984%2B985%2B986%2B987%2B988%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
---- | |||
[[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]] | |||
[[Kategori:Algebra]] | |||
[[Kategori:R2]] | |||
[[Kategori:S2]] | |||
[[Kategori:Ped]] | |||
Siste sideversjon per 5. jul. 2020 kl. 10:00
Aritmetisk progresjon
En aritmetisk følge er en tallfølge, $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ ($\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; <math>a_{i+1}-a_i=d</math>.
Eksempel
- Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at <math>a_{i+1}-a_i=2</math>. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. <math>a_1=3</math>. Følgen <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> er nå entydig bestemt siden formlene over gir at <math>a_2-a_1=a_2-3=2</math>. Dette gir at <math>a_2=2+3=5</math>. Videre er <math>a_3-a_2=a_3-5=2</math>, så <math>a_3=2+5=7</math> osv.
Aritmetisk rekke (sum)
En aritmetisk rekke er summen av leddene <math>a_i</math> i en aritmetisk progresjon <math>\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math> med et endelig antall ledd <math>N</math>. Den <math>n</math>-te partialsummen(delsummen) er summen av de <math>n\leq N</math> første leddene i rekken og kan defineres ved at <math>S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i</math>. Siden <math>a_{i+1}=d+a_i</math> for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av <math>n</math> ledd:
<math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=na_1+\sum_{i=1}^n (i-1)d=na_1+d\sum_{i=0}^{n-1} i=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d</math>
Merk at formelen kun avhenger av startverdien <math>a_1</math> og den konstante differansen <math>d</math>.
Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved <math>S_n=\sum_{i=1}^na_i=\frac{a_1+a_n}{2}n</math>. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på <math>\frac{a_1+a_n}{2}</math>, blir summen <math>\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n</math>.
Eksempel
- La oss se på den endelige følgen <math>(a_i=i)_{i\in [1,10]}=\{1,2,\ldots ,10\}</math> Da blir summen <math>S=\sum_{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10 = 55</math>