S1 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING

Oppgave 1

a)

$f(x)=3x^2-4x+2 \\ f ´(x)= 6x-4$

b)

$g(x)= 3x^3-3 \\ g ´(x)= 9x^2 \\ g ´(2) = 9 \cdot 4 = 36$

Oppgave 2

a)

$\frac{2^{-1}\cdot a \cdot b^{-1}}{4^{-1} \cdot a^{-2} \cdot b^2} = \frac{4 a^3}{2b^3} = 2 (\frac ab)^3$

b)

$lg(a^2b)+lg(ab^2)+lb(\frac{a}{b^3}) = 2lga+ lgb + lga + 2lgb + lga - 3lgb = 4lga$

c)

$ \frac{3a^2-75}{6a+30} = \frac{3(a+5)(a-5)}{6(a+5)}= \frac{a-5}{2}$

Oppgave 3

a)

$\frac{61^2-39^2}{51^2-49^2} = \\ \frac{(61+39)(61-39)}{(51+49)(51-49)} =\\ \frac{100 \cdot 22}{100 \cdot 2} =11 $

b)

$1997 \cdot 2003 - 1993 \cdot 2007 = \\ (2000 - 3)(2000 + 3) - ( 2000 - 7)( 2000+7) \\ 2000^2 -3^2 - 2000^2 + 7^2 \\ -9 + 49 = 40$

Oppgave 4

$f(x) = g(x) \\ x^2-x-2 = x+1 \\ x^2-2x-3 = 0 \\ x= \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \\ x=-1 \vee x= 3 \\ g(-1)=0 \wedge g(3)= 4 \\$

Skjæringspunktene mellom f og g er (-1, 0) og (3,4)

Oppgave 5

a)

$3x^2=18-3x \\ 3x^2+3x-18=0 \\ x^2 +x -6 =0 \\ x= \frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2} \\ x= \frac{-1 \pm 5}{2} \\ x= -3 \vee x=2$

b)

$3 \cdot 2^x =24 \\ 2^x= 8 \\ 2^x=2^3 \\ x=3$

c)

$3^8+3^8+3^8+3^8 +3^8+3^8+3^8+3^8+3^8 = 3^x\\ 9 \cdot 3^8= 3^x \\ 3^{10} = 3^x \\ 10 lg3 = x lg3 \\ x=10$

Oppgave 6

a)

$ y= a \cdot b^x \\ b^x= \frac ya \\x lgb = lg (\frac ya) \\ x = \frac{ lg(\frac ya) }{lgb} $

b

<math> \left[ \begin{align*}y=x^2-3x-2 \\ y+2 = 2x \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*}y=x^2-3x-2 \\ y = 2x -2 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*} 2x-2=x^2-3x-2 \\ x(x-5)=0 \end{align*}\right] </math>

$x =0 \vee x= 5$

$x=0 \wedge y=-2 \quad \vee \quad x=5 \wedge y=8$

Oppgave 7

a)

$f(x)= x^3-6x^2+9x \\ f'(x)= 3x^2-12x + 9$

b)

Oppgave 8

$f(x)= x^2+2x \quad D_f= \R \\ f ´(x) = 2x+2$

Vi skal bruke definisjonen på den deriverte til å vise dette:

$f´(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ =lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2 + 2(x+ \Delta x)-x^2-2x}{\Delta x}\\ =lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^2+ 2x \Delta x + ( \Delta x)^2+2x +2 \Delta x -x^2-2x}{\Delta x}\\ =lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \Delta x ( 2x+ \Delta x +2)}{\Delta x} \\= lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x+ \Delta x +2 \\ = 2x+2$

Oppgave 9

1) Galt, fordi x= -3 og x=-2 er en løsning av likningen.

2) Riktig, fordi dersom x=-2 så er likningen riktig.

3) Feil. Likningen har også løsning x = -3, følger også av 1).

Oppgave 10

TREKANTTALL

a)

n	$a_n$	$a_n$	$s_n$	$s_n$
1	1	$\binom{2}{2}$	1	$\binom{3}{3}$
2	3	$\binom{3}{2}$	4	$\binom{4}{3}$
3	6	$\binom{4}{2}$	10	$\binom{5}{3}$
4	10	$\binom{5}{2}$	20	$\binom{6}{3}$
5	15	$\binom{6}{2}$	35	$\binom{7}{3}$

b)

$a_n =\binom{n+1}{2} \\ S_n = \binom{n+2}{3}$

Oppgave 11

Antall gb lagringsplass til minnepinne type 1: a

Antall gb lagringsplass til minnepinne type 2: b

Løser likningsettet:

$a+3b=100$

$2a+4b=144$

$2(a+2b)=2\cdot72$

$(a+3b)-(a+2b)=100-72$

$b=28$

$a=100-3b=100-3\cdot28=100-84=16$

Minnepinne type 1 har en lagringsplass på 16 Gb.

Minnepinne type 2 har en lagringsplass på 28 Gb.

Oppgave 12

Oppgave 13

Oppgave 1

a)

Volumet av det rette prismet er 200. Man får da:

$abc= 200$

for å finne lengden av d må man først finne lenden av diagonalen i ab planet. Man bruker Pytagoras to ganger og får da

$a^2+b^2+c^2 = 141$

To og to sider har samme areal, summen av de tre forskjellige sidene blir halvparten av prismes overflate:

$ab+bc+ac=110$

b)

Man observere at a, b og c får alle kombinasjoner av lengdene 4, 5 og 10.

Oppgave 2

a)

b)

Se figuren i a.

c)

Overskuddet blir størst ved 313 brød. Det er da på 2268 kroner.

Oppgave 3

a)

Sannsynligheten er den samme i alle delforsøk.

To alternativer, rett eller ikke rett.

Delforsøkene er uavhengige av hverandre.

b)

Det er 17,7% sannsynlig at man får akkurat fem rette svar.

c)

Det er ca 37% sannsynlig at man får minst 5 rette svar.

Oppgave 4

a)

x er tonn grus, og y er tonn pukk.

Han kan maksimalt importere 900 tonn grus, derfor

$0 \leq x \leq 900$

Han kan maksimalt importere 1000 tonn pukk, derfor

$0 \leq x \leq 1000$

Han kan bare importere 1000 kubikkmeter totalt, derfor:

$\frac{x}{1,6} + \frac{y}{1,36} \leq 1000 \\ \frac {1,6 \cdot 1,36 \cdot x}{1,6} + \frac{1,6 \cdot 1,36 \cdot y }{1,36} \leq 1000 \cdot 1,6 \cdot 1,36 \\ 1,36x + 1,60y \leq 2176$

b)

$F(x,y)= 74x + 106y$

Utsalgsprisen for pukk er 106 kroner per tonn.

c)

For å få størst mulig inntekter bør han selge 423,5 tonn grus og 1000 tonn pukk. Inntekten blir da $F(423,5, 1000) = 74 \cdot 423,5 + 106 \cdot 1000 = 137 339$ kroner.

Oppgave 5

a)

Sidene i boksens grunnflate blir a-2x. Arealet av grunnflaten blir da $(a-2x)^2$ . Multipliserer vi arealet av grunnflaten med høyden av esken, som er x får vi:

$a>0 \wedge x< \frac a2$

$ V(x)= (a-2x)^2 \cdot x $

b)

$ V(x)= (a-2x)^2 \cdot x \\ V(x)= (a^2-4ax+4x^2) \cdot x \\ V(x)= 4x^3 - 4ax^2 +a^2x \\ V'(x) = 12x^2 - 8ax +a^2 $

$V'(x)=0 \\ 12x^2-8ax+a^2=0 \\ x= \frac{8a \pm \sqrt{64a^2-4 \cdot 12 \cdot a^2}}{24} \\ x= \frac{8a \pm \sqrt{16a^2}}{24} \\ x= \frac{8a \pm 4a}{24} \\ x= \frac a2 \vee x= \frac a6$

Størst volum får esken når x er en sjettedels a.

Oppgave 6

$f(x)= ax^3-bx-2 \\ f'(x)= 3ax^2-b \\ 0 = 12a -b \\ 2 = 3a-b $

De to siste linjene benytter informasjonen om den deriverte i x = 2 og x = 1.

$f'(2)= 0 \\ 0= 12a-b \\ f'(1)=2 \\ 2= 3a-b$

Løser likningsettet: $b=12a\\ 2= 3a - 12a \\ a= - \frac 29 \\ b= - \frac{24}{9} $

Funksjonen blir da:

$f(x)= -\frac 29 x^3 + \frac {24}{9}x-2$