1P 2013 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

Bruker overslagsregning.

$15 \cdot 2 kr + 2,5 \cdot 10 kr + 0,5 \cdot 90 kr + 0,2 \cdot 200 kr = 30 kr + 25 kr + 45 kr + 40 kr = 140 kr$

Husk: på oppgaver der det står at man skal gjøre overslag vil man ikke få full uttelling dersom man allikevel regner helt nøyaktig.

Oppgave 2

210kr er 70% av originalprisen.

Går veien om 1% : ${210kr \over 70} = 3 kr$

$3kr \cdot 100 = 300 kr$

Før prisen ble satt ned kostet varen 300 kr.

Alternativ utregning:

Vekstfaktor når noe er satt ned med 30% er $1-0,30 = 0,70$

${210 kr \over 0,70} = 300 kr$

Oppgave 3

I basisåret er indeksen 100.

Indeksen i dag er 110, det betyr at varen har økt i verdi med 10%

10% av 150kr er $150kr : 10 = 15kr$

Prisen på varen har dermed økt med 15kr. $150kr + 15kr = 165kr $

Alternativ løsning $pris_{2013} = \frac{pris_{basisår} \ indeks_{2013}}{100} = \frac{150 kr \cdot 110}{100} = 1,5 kr\cdot 110 = 165 kr$

Oppgave 4

a)

$\angle B = 180^o - \angle A - \angle C = 180^o -34,1^o - 101,5^o = 44,4^o$

$\angle E = 180^o - \angle D - \angle F = 180^o - 101,5^o - 44,4^o = 34,1^o$

Vi ser nå at alle vinklene i de to trekantantene er like store og har dermed vist at trekantene er formlike.

b)

Formlikhet gir:

$\frac{AC}{DE} = \frac{AB}{EF} \rightarrow AC = \frac{AB \cdot DE}{EF} = \frac{7,0 \cdot 7,0}{9,8} = 5,0$

$\frac{DF}{BC} = \frac{EF}{AB} \rightarrow DF = \frac{EF \cdot BC}{AB} = \frac{9,8 \cdot 4,0}{7,0} = 5,6$

Oppgave 5

a)

Ris: $\frac{10}{3} \cdot 1,5 dl = 5,0 dL$

Vann: $\frac{10}{3} \cdot 3,0 dl = 10,0 dL = 1,0 L$

Melk: $\frac{10}{3} \cdot 0,75 dl = 2,5 L$

b)

Du kan lage $\frac{3}{0,75 L} \cdot 5 L = 20$ porsjoner

Oppgave 6

a)

Halvsirkelens areal: $A_{hs} = \frac12 \cdot \pi r^2 = \frac12 \pi \cdot (1,0 m)^2 = \frac{\pi }{2} cm^2$

Trekantens areal: $A_{t} = \frac12 gh = \frac12 \cdot 3,0m \cdot 1,0m = \frac{3,0}{2} cm^2$

Siden $\frac{\pi}{2} > \frac{3,0}{2}$ kan vi si at halvsirkelen har størst areal.

b)

Halvsirkelens omkrets: $O_{hs} = \frac12 \cdot 2 \pi \cdot r + 2r = \pi \cdot r + 2r = (\pi +2) r \approx 5,14 m$

Må finne lengdene av sidene AC og BC i trekanten først. Fordi trekanten er like beint vil AC = BC, og pytagoras gir:

$AC = BC = \sqrt{h^2 + (\frac12 AB)^2} = \sqrt{(1,0m)^2 + (1,5 m)^2} = \sqrt{1,0 + 2,25} m = \sqrt{3,25}m$=

Trekantens omkrets: $O_t = AB + BC + AC = 3,0 m + \sqrt{3,25}m + \sqrt{3,25}m = (3 + 2 \sqrt{3,25}) m$

Tallet $2 \sqrt{3,25}$ er større enn $2,14$, og derfor kan vi slutte at omkretsen av trekanten er størst.

Oppgave 7

a)

Etter åtte dager: $60 L - 5,0 L \cdot 8 = 20 L$

Løser likningen:

60 - 5x = 0

x = 12

Tom tank etter: 12 dager

b)

$f(x) = 60 - 5x\,\,\, , \,\,\,x \in[0,12]$

c)

1) Bruker GeoGebra til å tegne grafen til f(x)

2) Tegner linja x = 8, og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og finner skjæringspunktet mellom grafen til f og linja x = 8. Dette gir svaret: Etter 8 dager innholder tanken 20 L

3) Bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" og finner skjæringspunket mellom x.aksen og grafen til f. Dette gir svaret: Tanken er tom etter 12 dager.

Oppgave 8

a)

Antall kuler: $5$

Antall røde kuler: $3$

Antall blå kuler: $5-3=2$

$P(\text{to røde kuler}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}= 0.3$

Sannsynligheten for å trekke to røde kuler er $0.3$

b)

$P(\text{trekker to røde kuler}) = 0.3$ (fra deloppgave a)

$P(\text{trekker to blå kuler}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}= 0.1$

$P(\text{trekker to kuler i samme farge}) = P(\text{trekker to røde kuler}) + P(\text{trekker to blå kuler}) = 0,3 + 0,1 = 0,4$

Sannsynligheten for at de to kulene han trekker har samme farge er $0,4 = 40\%$

Alternativ utregning

a)

$\frac{ {3 \choose 2} } { {5 \choose 2} } = \frac{3}{10}$

b)

$\frac{ {3 \choose 2} } { {5 \choose 2} } + \frac{ { 2\choose 2} } { {5 \choose 2} } = \frac{4}{10} = \frac {2} {5}$

Alternativ utregning

a)

$\frac {3} {5} \cdot \frac {2} {4} = \frac {3} {10}$

b)

$\frac {3} {5} \cdot \frac {2} {4} + \frac {2} {5} \cdot \frac {1} {4} = \frac {4} {10} = \frac {2} {5}$

Del 2

Oppgave 1

a)

Arbeid	Antall timer	Timelønn	Inntekt
Vanlig arbeidstid	$150$	$195kr $	$150 \cdot 195kr = 29250 kr$
Overtid med $50\%$ tillegg	$16$	$195kr \cdot 1,5 = 292,5kr$	$16 \cdot 292,5kr = 4680 kr$
Overtid med $100\%$ tillegg	$6$	$195kr \cdot 2 = 390kr$	$6 \cdot 390kr = 2340 kr$

Bruttolønna er $29250 + 4680 + 2340 = 36270kr$

b)

$36270kr \cdot 0,02 = 725,40 kr$

Ole betalte 725,40 kr til pensjonskassen.

c)

Grunnlag for skattetrekk er $\text{Bruttolønn} - \text{Pensjonstrekk} = 36270-725.40=35544.60 kr$

Finner $36\%$ av $35544.60 kr $. $0,36 \cdot 35544.60 =12796 kr $

$35544.60 - 12796 = 22748.54 kr$

Ole fikk 22748.54 kr utbetalt denne måneden.

d)

Antar at Ole må betale skatt på pengene han får utbetalt. Skatten er på $36\%$.

Timelønn med 50% tillegg: 292,5 kr (fra deloppgave a)

Utbetalt (lønn etter skatt): 5045 kr

Bruttolønn (lønn før skatt): ${5045 kr \over (1 - 0.36)} = 7882,81 kr$

${7882,81 kr \over 292,5 kr} = 26,94 \approx 27$

Ole jobbet 27 timer med prosjektet.

Alternativ utregning (der vi antar at Ole ikke betaler skatt av disse pengene)

${5045 kr \over 292,5 kr} = 17,24$

Ole jobbet 17 timer og ett kvarter (15 minutter) med prosjektet.

Oppgave 2

a)

$P(\text{taco til middag}) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0,6$

b)

$P(\text{taco til middag og marsipankake til dessert}) = P(\text{taco til middag}) \cdot P(\text{marsipankake til dessert}) = \frac{18}{30} \cdot \frac{24}{30} = \frac{12}{25} = 0,48$

c)

	Taco	Pizza	Totalt
Sjokoladekake	2	4	6
Marsipankake	16	8	24
Totalt	18	12	30

$P(\text{taco og marsipankake}) = \frac{16}{30} = \frac{8}{15} = 0.53$

Oppgave 3

a)

$2,00m \cdot 0,70m \cdot 1,00m = 1,4 m^3$

Fordi $1 m^3 = 1000L$ så inneholder beholderen $1400$ liter.

b)

Finner først hvor mye det har regnet:

Takets areal: $70 m^2$

Mengde nedbør: $12mm = 12 mm \cdot 0,001 \frac{m}{mm} = 0,012 m$

Mengde nedbør som falt på taket: $70 m^2 \cdot 0,012 m = 0,84 m^3$

Grunnflate i beholderen: $2.00m \cdot 0,70m = 1,4m^2$

${{0,84 m^3 }\over {1,4 m^2}} = 0,6 m$

Vannet står 0,6 meter høyt i beholderen.

c)

Hvor mye mer vann det er i tanken: $ (0,85m - 0,10m) \cdot 1,4 m^2 = 1,05 m^3$

Takets areal: $70 m^2$

${1,05 m^3 \over 70 m^2} = 0,015 m = 15mm$

Det har regnet 15mm mens familien var borte.

Oppgave 4

a)

Bruker programmet Graph for å tegne grafen.

Framgangsmåte: Funksjon => sett inn funksjon

b)

Framgangsmåte: Beregn => Beregn => Lås til ekstremalpunkt => klikk på grafen

Ser at grafen har et toppunkt i $t = 2.15$.

Hjortebestanden var størst i februar 1992. Da var bestanden på 867 dyr.

c) Framgangsmåte: Setter inn funksjonen f(t) = 850. Velger Beregn => Beregn => Lås til skjæringspunkt => klikker på grafen

Ser at vi har skjæringspunkt i $t=1,4$ og $t = 2,9$

Løsningen sier at hjortebestanden var på 850 dyr etter mai 1991 og november 1992.

d)

Leser ut av grafen at i $1994$ ($t =4$) er bestanden $788$ hjort. I $1998$ er bestanden $524$ hjort.

Antall år: $1998 - 1994 = 4 $

Endring i antall hjort: $524 - 788 = -264$

Endring per år: $\frac {-264}{4} = -66$

Bestanden av hjort minsker i gjennomsnitt med 66 dyr per år i perioden $1994$ til $1998$.

Oppgave 5

a)

Fordi alle terminbeløpene er like store, så er dette et annuitetslån.

b)

Legger sammen alle avdragene for å finne det totale lånebeløpet:

$6396 + 7010 + 7683 + 8420 +9229 + 10115 + 11086 + 12150 +13316 + 14595= 100000 kr$

Det totale lånebeløpet er 100000kr.

c)

Første termin (som er første år) betaler han renter på 100000 kr. Rentene er 9600kr.

${9600 \over 100000 } = 0,096 = 9,6 \%$

Renta er $9,6 \%$ per år.

Oppgave 6

a)

$V = \frac13 \pi r^2 h = \frac 13 \pi \cdot r^2 \cdot \frac 23 \cdot r= \frac13 \pi \cdot (1,35\,m)^2 \cdot 0,66 \cdot 1,35\,m \approx 1,72\,m^3$

b)

Løser likningen:

$ V = \frac13 \pi \cdot r^2 \cdot h \\ V= \frac 13 \pi \cdot \frac 94 h^2 \cdot h \\ h = \sqrt[3]{\frac{8,0\,m^3 \cdot 4}{3 \pi}} \\ \approx 1,5 m$

En kjegle med volum 8 kubikkmeter vil ha en høyde på ca 1,5 meter.