Prosentregning: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
← Forrige endring
Ingen redigeringsforklaring
 
(103 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
Med prosent mener vi "del av hundre". Vi bruker tegnet %.  
Med prosent mener vi "del av hundre". Vi bruker tegnet %.  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
'''Eksempel 1:'''  
'''Eksempel 1:'''  


58% er det samme som <math> \frac{58}{100}  </math> eller 0,58.
58% er det samme som <math> \frac{58}{100}  </math> eller 0,58.
</blockquote>
</div>
 
 
Som vi ser er det en sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. Desimaltallet, i dette tilfellet 0,58, kalles ofte prosentfaktoren. Skal vi gå fra prosent til brøk tar vi prosenten og deler på 100. Utfører vi divisjonen finner vi prosentfaktoren.


Som man ser er det en sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. Desimaltallet, i dette tilfellet 0,58, kalles ofte prosentfaktoren. Skal man gå fra prosent til brøk tar vi prosenten og deler på 100. Utfører vi divisjonen finner vi prosentfaktoren.


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=934%2B935%2B936%2B937%2B938%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=934%2B935%2B936%2B937%2B938%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
Linje 12: Linje 16:
== Del av tallet ==
== Del av tallet ==
   
   
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=Y1rl5fiI4dE&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=4 Video eksempel]
</div>
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">


For å finne delen av tallet må man kjenne hele tallet, altså det man skal finne prosenten av, og prosenten:  
For å finne delen av tallet må vi kjenne hele tallet, altså det vi skal finne prosenten av, og prosenten:  






$$\text{Del av tallet} = \frac{\text {Heletallet} \cdot \text {Prosent}}{100} $$
$$\text{Del av tallet} = \frac{\text {Heletallet} \cdot \text {Prosent}}{100 } $$
</blockquote>
</div>
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel 2:'''
'''Eksempel 2:'''


Linje 28: Linje 39:




$$\text {Del av tallet}= \frac{3600kr \cdot 20}{100} = 720 kr$$
$$\text {Del av tallet}= \frac{3600kr \cdot 20 }{100 } = 720 kr$$


</blockquote>
</div>


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8AF%2B8B0%2B8B1%2B8B2%2B8B3%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8AF%2B8B0%2B8B1%2B8B2%2B8B3%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Prosenten ==
== Prosenten ==
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=KykO3NNLAMU&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=1 Video eksempel]
</div>
   
   
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
For å finne prosenten, må man kjenne hele tallet og delen av tallet:
 
For å finne prosenten, må vi kjenne hele tallet og delen av tallet:


$$Prosent= \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Hele tallet}} $$
$$Prosent= \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Hele tallet}} $$


</blockquote>
</div>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 3:'''
'''Eksempel 3:'''


Av en befolkning på 500.000 er det 6000 som lider av schizofreni. Hvor mange prosent lider av sykdommen?  
Av en befolkning på 500.000 er det 6000 som lider av schizofreni. Hvor mange prosent lider av sykdommen?  


$$\text {Prosent} = \frac {6000 \cdot 100}{500.000}= 1,2 \percent$$
$\text {Prosent} = \frac {6000 \cdot 100}{500.000}= 1,2$ %


</blockquote>
</div>




Linje 59: Linje 78:
== Hele tallet ==
== Hele tallet ==
   
   
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
For å finne prosenten, må man kjenne hele tallet og delen av tallet:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=pbVzJSd3Oig&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=3 Video eksempel]
</div>
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
For å finne Hele tallet, må vi kjenne prosenten og "delen av tallet":


$$ \text {Hele tallet} = \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Prosent}} $$
$$ \text {Hele tallet} = \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Prosent}} $$


</blockquote>
</div>
 


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">'''Eksempel 4:'''<br>
'''Eksempel 4:'''<br>
På en arbeidsplass var det 8 personer som var syke. Det var 20% av alle ansatte. Hvor mange ansatte var det på arbeidsplassen?
På en arbeidsplass var det 8 personer som var syke. Det var 20% av alle ansatte. Hvor mange ansatte var det på arbeidsplassen?




$$ \text {Hele tallet} = \frac{8 \cdot 100}{20}= 40 $$
$$ \text {Hele tallet} = \frac{8 \cdot 100 }{20 }= 40 $$


Altså var det 40 personer som var ansatt på dette stedet.
Altså var det 40 personer som var ansatt på dette stedet.
</blockquote>
</div>
 


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=939%2B93A%2B93B%2B93C%2B93D%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=939%2B93A%2B93B%2B93C%2B93D%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
Linje 80: Linje 108:
== Endringer i prosent ==
== Endringer i prosent ==
Det spørres ofte etter endringer i prosent. Husk på at endringen av verdi kan betraktes som del av tallet.  
Det spørres ofte etter endringer i prosent. Husk på at endringen av verdi kan betraktes som del av tallet.  
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">


'''Endring av verdi er det som er nå, minus det som var før.'''
'''Endring av verdi er det som er nå, minus det som var før.'''


'''Endring i prosent er verdiendring delt på den verdi som var før, multiplisert med 100.'''
'''Endring i prosent er verdiendring delt på den verdi som var før, multiplisert med 100.'''
</blockquote>
</div>
 


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 5:'''
'''Eksempel 5:'''


Linje 96: Linje 126:
Her er hele tallet 1.600.000 da dette var verdien på boligen før endringen. Vi får:
Her er hele tallet 1.600.000 da dette var verdien på boligen før endringen. Vi får:


$$\frac {300.000 \cdot 100}{1.600.000} =18,75\percent $$
$\frac {300.000 \cdot 100}{1.600.000} =18,75$ %
</blockquote>
</div>
 
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel 6:'''
'''Eksempel 6:'''


Linje 108: Linje 141:
80600 personer - 69000 personer = 11600 personer
80600 personer - 69000 personer = 11600 personer


$$\frac {11600 \cdot 100}{80600} =14,4 \percent $$
$\frac {11600 \cdot 100 }{80600} =14,4$ %
</blockquote>
</div>


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8B9%2B8BA%2B8BB%2B8BC%2B8BD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8B9%2B8BA%2B8BB%2B8BC%2B8BD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Banksparing ==
==Vekstfaktor==
Banken betaler deg penger for at den får lov til å disponere sparepengene dine. Det kalles renter. Hvor mange kroner du får i renter kommer an på prosenten, eller rentefoten og hvor mye du sparer.  
 
Når vi ønsker å finne den nye verdien etter en endring i prosent.
 
Dersom en størrelse endrer seg over tid med en fast prosent kan det være hensiktsmessig å regne med vekstfaktor.
 
 
'''Økning, vekst'''
 
Dersom en størrelse vokser med 18% per tidsenhet blir vekstfaktoren:
 
(100% + 18%) /100% = 118/100 = 1,18
 
eller
 
$(1+ \frac{18}{100})= 1+ 0,18 = 1,18$
 
Dersom en størrelse vokser, øker, er vekstfaktoren større enn 1.
 
'''Tidsenheter kan være sekunder, minutter, timer, døgn, uker, måneder, år osv.'''
 
Dersom vi snakker om renter på bankinnskudd er ofte tidsperioden år.
 
Dersom vi snakker om bakterievekst kan det være timer.
 
Dersom vi snakker om gjennomsnittstemperatur kan det være uker eller måneder. '''Les oppgaven nøye.'''
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
$( 1 + \frac{p}{100} ) $ der p er prosenten det øker med.  
 
</div>
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''EKSEMPEL 7'''
'''EKSEMPEL 7'''


Dersom banken tilbyr 4,2% renter p.a. (per år) og vi sparer 1000 kr. i et år. Hvor mye har man etter ett år?
Eva setter inn 15 000 kroner på en sparekonto med 4% renter per år. Hvor mye har hun på kontoen et år senere?
 
Vi finner først vekstfaktoren: $1+ \frac{4}{100} = 1,04$
 
Vi multipliserer det beløpet hun satte inn med vekstfaktoren, og får det beløpet hun har etter ett år:
 
$15000 kr \cdot 1,04 = 15600 kr$


$$ \frac {1000kr \cdot 4,2}{100} = 42kr. $$
Hun har altså økt formuen med 600 kroner på et år og har nå 15600 kroner i banken.


Etter å har spart i ett år har man 1000kr + 42kr = 1042kr i banken.
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
</div>
 
 
 
'''Reduksjon'''
 
Dersom noe '''reduseres''', '''minker''' eller '''avtar'''  ( alle tre ordene betyr det samme ) med en gitt prosent per tidsenhet er vekstfaktoren gitt ved:
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
$1- \frac {p}{100}$ , der p er prosenten størrelsen avtar med.
 
Vi observerer at ved reduksjon er pluss erstattet av minus.
 
Dersom en størrelse avtar er alltid vekstfaktoren mindre enn en.
 
</div>
 
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
'''EKSEMPEL 8'''
'''EKSEMPEL 8'''


Dersom banken tilbyr 4,2% renter p.a. (per år) og vi sparer 1000 kr. i åtte måneder. Hvor mye penger har man etter åtte måneder?<p></p>
En bil forventes å miste 17% av sin verdi per år de første åtte årene. Ny koster den 400 000 kr. Hva koster den om åtte år?
Det er tolv måneder i et år. Dersom man sparer i åtte måneder får man:


$$\frac {1000kr \cdot 4,2 \cdot 8}{100 \cdot 12}= 28 kr. $$
'''Løsning'''
 
Vekstfaktoren blir
$1 - \frac{17}{100} = 0,83$
 
$400000 \cdot 0,83^8 = 90091$
 
Etter åtte år er bilens verdi ca. 90 000 kroner.
 
</div>
 
 
 
'''Eksempler på prosentvis endring opp og ned, med tilhørende vekstfaktor '''
 
{| width="auto"
|Prosent - opp / ned
| Vekstfaktor
 
|-
| +12 %
|1,12
|-
| - 16 %
| 0,84
|-
| + 1,3 %
| 1,013
|-
| - 0,7 %
| 0,993
|-
| + 50 %
| 1,5
|-
| + 100 %
| 2
|-
| + 300 %
| 4
|}


==Prosentvis vekst over flere perioder==


Etter å har spart i ett år har man 1000kr + 28kr = 1028kr i banken.
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">


</blockquote>
Dersom en verdi  A vokser med en gitt prosent over flere tidsperioder kan det uttrykkes slik:


Dersom man skal regne på kortere innskudds / utlånsperioder må man vite at bankene regner alle måneder med 30 rentebærende dager. Et bankår har 360 dager.
Vekstfaktor = VF


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
$A \cdot (VF)^t $, der t er tidsperioder, for eksempel år.
'''EKSEMPEL 9'''


Dersom banken tilbyr 4,2% renter p.a. (per år) og vi sparer 1000 kr. Hva har man i banken etter 100 dager?
</div>


<math> \frac {1000kr \cdot 4,2 \cdot 100}{100 \cdot 360}</math>= 11,67 kr.


Etter å har spart i ett år har man 1000kr + 11,67kr = 1011,67kr i banken.
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 9'''


</blockquote>
Jon Erik setter inn 6000 kroner i banken i år 2000. Hvor mye har han på den kontoen i 2040, altså etter 40 år, når renten hele tiden er 2,5% per år?


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=93E%2B93F%2B940%2B941%2B942%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
Vekstfaktoren er 1,025. Vi får:


== Prosentvis og eksponentiell vekst (vekstfaktor) ==
$6000 \cdot 1,025^{40} = 16110,38$ kr.
Dersom endringen i prosent er den samme hvert år har man en eksponentiell endring og kan bruke følgende formel:


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
</div>
<math>K_n = K_0(1 + \frac{p}{100})^n</math>  


<math>n</math> er antall tidsperioder (år)<p></p>
===Fortid  -  bakover i tid===


<math> K_0</math> er det man har fra starten av (penger, radioaktive isotoper ol.)<p></p>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


<math>K_n</math> er det man har når det har gått n tidsperioder fra man startet<p></p>
'''Eksempel 10'''


<math>P</math> er den prosent noe vokser eller avtar med<p></p>
La oss tenke oss at vi er i 2040. Jon Erik satte inn ett beløp i banken for førti år siden, til en rente på 2,5% per år. Han har nå  16110,38 kroner  på konto, men har glemt hvor mye han satte inn for 40 år siden. Han ønsker å finne beløpet ved å regne tilbake i tid:


<math>(1+\frac{p}{100})</math> kalles for vekstfaktoren
La oss kalle beløpet han satte inn for x.
</blockquote>


Ett stykke lengre nede på siden er det vist hvordan man kommer fram til denne formelen, men først ser vi på et par eksempler som viser bruken av formelen.
Vi får


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=ABB%2BABC%2BABD%2BABE%2BABF%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
$x \cdot 1,025^{40} = 16110,38 $


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
$ x = \frac{16110,38}{1,025^{40}} = 6000$
'''Eksempel'''


La oss tenke oss at vi sparer kr. 1000,- og at rentefoten er 4,2%. Hvor mye har vi på konto etter 8 år? <p></p>
I dette eksempelet var det en størrelse som vokste, men metoden fungerer like godt på noe som minker, så lenge du har vekstfaktoren og hvor lang tid du skal bakover.
'''Løsning'''
</div>
 
==Sammenlikne størrelser==
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=5Ctt4SK1V9o&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=2 Video eksempel]
</div>
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
'''Eksempel 11'''


<math>K_n = K_0(1 + \frac{p}{100})^n = 1000(1 + \frac{4,2}{100})^8</math>


<math>K_n = 1000(1,042)^8 = 1389,77</math>
Vi har to tall, 75 og 100.


Tallet 1,042 kalles for vekstfaktoren.
'''Hvor mange prosent større er 100 enn 75?'''
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Her er det 75 som er referansen. Det ser man av  "..... enn 75?". Da blir prosenten forskjellen delt på 75, ganger hundre:
Når vekstfaktoren er større enn 1 har man en vekstsituasjon.


Dersom vekstfaktoren er mindre enn 1 har man en reduksjon.
$ \frac {100-75}{75} \cdot 100$ % $ = 33,3 $%
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
100 er altså 33,3% større enn 75.
'''EKSEMPEL '''


En bil koster 160.000 kr. Den taper seg i verdi med 20% per år. Hva er bilend verdi om fem år?


'''Løsning'''


<math>K_n = 160.000(1 - \frac{20}{100})^5 = 160.000 \cdot 0,8^5</math>
'''Hvor mange prosent mindre er 75 enn 100?'''


Legg merke til at når noe avtar skal det være minus i utrykket for vekstfaktoren:<math>(1-\frac{p}{100})</math>. Man får en vekstfaktor som er mindre enn en, 0,8. Etter 5 år er bilens verdi ca 52.000 kroner (52.429 kr, men så nøyaktig er man ikke på verdivurdering av biler.)
Nå er det 100 som er referansen, det forskjellen skal måles mot:
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
$\frac{100-75}{100} \cdot 100 $ % $= 25$ %
'''Eksempel'''


Hvordan kommer man fram til formelen for eksponentiell  vekst?
75 er 25% mindre enn 100.


<math>K_n = K_0(1 + \frac{p}{100})^n</math>
Det er ikke alltid like klart hva som er referansen, altså hva forskjellen skal sammenlignes med. Bruk litt tid på å lese og analysere oppgaveteksten.


La oss se på et eksempel: Man har 1000 kroner i banken i 4 år til en rente på 3%
</div>


Første året skjer dette:
==Når prosenten spretter opp og ned......==
<math> K_{1} = 1000kr(1 + \frac{3}{100}) = 1000kr \cdot 1,03 = 1030kr </math>


Neste år er det 1030 kroner det skal beregnes renter av, men fra linjen over ser man at 1030kr kan skrives som <math> 1000kr \cdot 1,03 </math>,Man får da:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=4KeLENJrxso&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=5 Video eksempel]
</div>


<math>K_{2} = 1030kr\cdot 1,03 = (1000kr \cdot 1,03) \cdot 1,03 = 1000 \cdot 1,03^2 =1060,90</math> <p></p>Grunnlaget det beregnes av det tredje året er 1060,90 som kan skrives:
<math>1000 \cdot 1,03^2</math>.Man får da:


<math>K_{3} = (1000 \cdot 1,03^2) \cdot 1,03 = 1000 \cdot 1,03^3</math>


Det fjerde året blir da
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
<math>K_{4} = 1000 \cdot 1,03^4 = 1125,51</math>
</blockquote>


'''Eksempel 12'''


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=943%2B944%2B945%2B946%2B947%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Promille ==
Verdien av en aksje kan sprette opp og ned flere ganger i løpet av en dag. Astrid følger aksjekursen til et selskap i fem dager, fra mandag til fredag.
Promille er del av tusen. Tegnet for promille er ‰. Regnereglene for promille er de samme som for prosent. Promille brukes i medisin og i andre sammenhenger der man arbeider med små deler av en større helhet.  
Mandag er aksjekursen 172 kroner. Tirsdag har kursen økt med 12%. Onsdag øker den ytterligere med 23%. Torsdag er en dårlig dag, kursen går ned 47%. Fredag stiger kursen med 6%.


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Hva var aksjens verdi onsdag?
'''Eksempel 1:'''


12‰ er det samme som <math> \frac{12}{1000}  </math> eller 0,012
Her er det gunstig å bruke vekstfaktorer: $172 \cdot 1,12 \cdot 1,23 = 236,95$ kroner
</blockquote>


Med promille tenker man kanskje på alkohol. Når man måler alkoholmengden i blodet oppgis del av alkohol i promille. 2‰ betyr at dersom man tar en blodprøve og deler den i 1000 deler vil mengde alkohol i prøven tilsvare to deler.
Hva var aksjens verdi torsdag?


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
$172 \cdot 1,12 \cdot 1,23 \cdot 0,53 = 125, 58 $ kroner 
Man regner mellom prosent og promille slik:


1% = 10‰
Hva var den totale endringen i prosent fra mandag til fredag?


'''for å gå fra prosent til promille multipliserer man med 10.'''
Aksjens verdi fredag:  $125,58 \cdot 1,06 =133,11$


1 ‰ = 0,1%
Differanse: 172 kr - 133,11 kr = 38,89 kr


'''for å gå fra promille til prosent dividerer man med 10.'''
Aksjens verdi har falt med 38,89 kroner. Nedgangen i prosent fra mandag til fredag blir da: $\frac{38,89}{172} \cdot 100$ % = 22, 6%
</blockquote>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=948%2B949%2B94A%2B94B%2B94C%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


</div>


  [[Category:Algebra]][Category: 1P]][[Category:2P]][[Category:1T]]  [[Category:Ped]]
  [[Category:Algebra]][[Category: 1P]][[Category:2P]][[Category:1T]]  [[Category:Ped]]  [[Category:Kvalitetssikkret]]

Siste sideversjon per 4. mar. 2023 kl. 05:26

Med prosent mener vi "del av hundre". Vi bruker tegnet %.

Eksempel 1:

58% er det samme som <math> \frac{58}{100} </math> eller 0,58.


Som vi ser er det en sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. Desimaltallet, i dette tilfellet 0,58, kalles ofte prosentfaktoren. Skal vi gå fra prosent til brøk tar vi prosenten og deler på 100. Utfører vi divisjonen finner vi prosentfaktoren.


Test deg selv

Del av tallet


For å finne delen av tallet må vi kjenne hele tallet, altså det vi skal finne prosenten av, og prosenten:


$$\text{Del av tallet} = \frac{\text {Heletallet} \cdot \text {Prosent}}{100 } $$


Eksempel 2:

En TV er på tilbud. Full pris er 3600 kr. Hva er avslaget i kroner når man får 20% avslag på full pris?


$$\text {Del av tallet}= \frac{3600kr \cdot 20 }{100 } = 720 kr$$

Test deg selv

Prosenten


For å finne prosenten, må vi kjenne hele tallet og delen av tallet:

$$Prosent= \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Hele tallet}} $$


Eksempel 3:

Av en befolkning på 500.000 er det 6000 som lider av schizofreni. Hvor mange prosent lider av sykdommen?

$\text {Prosent} = \frac {6000 \cdot 100}{500.000}= 1,2$ %



Test deg selv

Hele tallet


For å finne Hele tallet, må vi kjenne prosenten og "delen av tallet":

$$ \text {Hele tallet} = \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Prosent}} $$


Eksempel 4:
På en arbeidsplass var det 8 personer som var syke. Det var 20% av alle ansatte. Hvor mange ansatte var det på arbeidsplassen?


$$ \text {Hele tallet} = \frac{8 \cdot 100 }{20 }= 40 $$

Altså var det 40 personer som var ansatt på dette stedet.


Test deg selv

Endringer i prosent

Det spørres ofte etter endringer i prosent. Husk på at endringen av verdi kan betraktes som del av tallet.

Endring av verdi er det som er nå, minus det som var før.

Endring i prosent er verdiendring delt på den verdi som var før, multiplisert med 100.


Eksempel 5:

Prisen på en bolig steg fra kr. 1.600.000 til kr. 1.900.000 på et år. Hva var prisstigningen i prosent?

Endringen: 1.900.000kr. - 1.600.000 = 300.000 kr.

Her er hele tallet 1.600.000 da dette var verdien på boligen før endringen. Vi får:

$\frac {300.000 \cdot 100}{1.600.000} =18,75$ %


Eksempel 6:

Antall arbeidsledige går ned fra 80600 til 69000, fra en måned til den neste. Hvor stor var nedgangen i prosent?

Vi får:

80600 personer - 69000 personer = 11600 personer

$\frac {11600 \cdot 100 }{80600} =14,4$ %

Test deg selv

Vekstfaktor

Når vi ønsker å finne den nye verdien etter en endring i prosent.

Dersom en størrelse endrer seg over tid med en fast prosent kan det være hensiktsmessig å regne med vekstfaktor.


Økning, vekst

Dersom en størrelse vokser med 18% per tidsenhet blir vekstfaktoren:

(100% + 18%) /100% = 118/100 = 1,18

eller

$(1+ \frac{18}{100})= 1+ 0,18 = 1,18$

Dersom en størrelse vokser, øker, er vekstfaktoren større enn 1.

Tidsenheter kan være sekunder, minutter, timer, døgn, uker, måneder, år osv.

Dersom vi snakker om renter på bankinnskudd er ofte tidsperioden år.

Dersom vi snakker om bakterievekst kan det være timer.

Dersom vi snakker om gjennomsnittstemperatur kan det være uker eller måneder. Les oppgaven nøye.

$( 1 + \frac{p}{100} ) $ der p er prosenten det øker med.


EKSEMPEL 7

Eva setter inn 15 000 kroner på en sparekonto med 4% renter per år. Hvor mye har hun på kontoen et år senere?

Vi finner først vekstfaktoren: $1+ \frac{4}{100} = 1,04$

Vi multipliserer det beløpet hun satte inn med vekstfaktoren, og får det beløpet hun har etter ett år:

$15000 kr \cdot 1,04 = 15600 kr$

Hun har altså økt formuen med 600 kroner på et år og har nå 15600 kroner i banken.



Reduksjon

Dersom noe reduseres, minker eller avtar ( alle tre ordene betyr det samme ) med en gitt prosent per tidsenhet er vekstfaktoren gitt ved:

$1- \frac {p}{100}$ , der p er prosenten størrelsen avtar med.

Vi observerer at ved reduksjon er pluss erstattet av minus.

Dersom en størrelse avtar er alltid vekstfaktoren mindre enn en.


EKSEMPEL 8

En bil forventes å miste 17% av sin verdi per år de første åtte årene. Ny koster den 400 000 kr. Hva koster den om åtte år?

Løsning

Vekstfaktoren blir $1 - \frac{17}{100} = 0,83$

$400000 \cdot 0,83^8 = 90091$

Etter åtte år er bilens verdi ca. 90 000 kroner.


Eksempler på prosentvis endring opp og ned, med tilhørende vekstfaktor

Prosent - opp / ned Vekstfaktor
+12 % 1,12
- 16 % 0,84
+ 1,3 % 1,013
- 0,7 % 0,993
+ 50 % 1,5
+ 100 % 2
+ 300 % 4

Prosentvis vekst over flere perioder

Dersom en verdi A vokser med en gitt prosent over flere tidsperioder kan det uttrykkes slik:

Vekstfaktor = VF

$A \cdot (VF)^t $, der t er tidsperioder, for eksempel år.


Eksempel 9

Jon Erik setter inn 6000 kroner i banken i år 2000. Hvor mye har han på den kontoen i 2040, altså etter 40 år, når renten hele tiden er 2,5% per år?

Vekstfaktoren er 1,025. Vi får:

$6000 \cdot 1,025^{40} = 16110,38$ kr.

Fortid - bakover i tid

Eksempel 10

La oss tenke oss at vi er i 2040. Jon Erik satte inn ett beløp i banken for førti år siden, til en rente på 2,5% per år. Han har nå 16110,38 kroner på konto, men har glemt hvor mye han satte inn for 40 år siden. Han ønsker å finne beløpet ved å regne tilbake i tid:

La oss kalle beløpet han satte inn for x.

Vi får

$x \cdot 1,025^{40} = 16110,38 $

$ x = \frac{16110,38}{1,025^{40}} = 6000$

I dette eksempelet var det en størrelse som vokste, men metoden fungerer like godt på noe som minker, så lenge du har vekstfaktoren og hvor lang tid du skal bakover.

Sammenlikne størrelser


Eksempel 11


Vi har to tall, 75 og 100.

Hvor mange prosent større er 100 enn 75?

Her er det 75 som er referansen. Det ser man av "..... enn 75?". Da blir prosenten forskjellen delt på 75, ganger hundre:

$ \frac {100-75}{75} \cdot 100$ % $ = 33,3 $%

100 er altså 33,3% større enn 75.


Hvor mange prosent mindre er 75 enn 100?

Nå er det 100 som er referansen, det forskjellen skal måles mot:

$\frac{100-75}{100} \cdot 100 $ % $= 25$ %

75 er 25% mindre enn 100.

Det er ikke alltid like klart hva som er referansen, altså hva forskjellen skal sammenlignes med. Bruk litt tid på å lese og analysere oppgaveteksten.

Når prosenten spretter opp og ned......


Eksempel 12


Verdien av en aksje kan sprette opp og ned flere ganger i løpet av en dag. Astrid følger aksjekursen til et selskap i fem dager, fra mandag til fredag. Mandag er aksjekursen 172 kroner. Tirsdag har kursen økt med 12%. Onsdag øker den ytterligere med 23%. Torsdag er en dårlig dag, kursen går ned 47%. Fredag stiger kursen med 6%.

Hva var aksjens verdi onsdag?

Her er det gunstig å bruke vekstfaktorer: $172 \cdot 1,12 \cdot 1,23 = 236,95$ kroner

Hva var aksjens verdi torsdag?

$172 \cdot 1,12 \cdot 1,23 \cdot 0,53 = 125, 58 $ kroner

Hva var den totale endringen i prosent fra mandag til fredag?

Aksjens verdi fredag: $125,58 \cdot 1,06 =133,11$

Differanse: 172 kr - 133,11 kr = 38,89 kr

Aksjens verdi har falt med 38,89 kroner. Nedgangen i prosent fra mandag til fredag blir da: $\frac{38,89}{172} \cdot 100$ % = 22, 6%

Hentet fra «https://matematikk.net/w/index.php?title=Prosentregning&oldid=27853»