Prosentregning: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(251 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
Med prosent mener vi "del av hundre". Vi bruker tegnet %.
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 1:'''
58% er det samme som <math> \frac{58}{100}  </math> eller 0,58.
</div>
Som vi ser er det en sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. Desimaltallet, i dette tilfellet 0,58, kalles ofte prosentfaktoren. Skal vi gå fra prosent til brøk tar vi prosenten og deler på 100. Utfører vi divisjonen finner vi prosentfaktoren.
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=934%2B935%2B936%2B937%2B938%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Innledning ==
== Del av tallet ==
   
   
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=Y1rl5fiI4dE&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=4 Video eksempel]
</div>


Med prosent mener vi "del av hundre". Vi bruker tegnet %.
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
For å finne delen av tallet må vi kjenne hele tallet, altså det vi skal finne prosenten av, og prosenten:
'''Eksempel 1:''' <br>
58% er det samme som <tex> \frac{58}{100} eller 0,58.</tex>man bruker tegnet % som betyr del av hundre.


</blockquote>




Som man ser er det en sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. Desimaltallet, i dette tilfellet 0,58, kalles ofte prosentfaktoren. Skal man gå fra prosent til brøk tar vi prosenten og deler på 100. Utfører vi divisjonen finner vi prosentfaktoren:
$$\text{Del av tallet} = \frac{\text {Heletallet} \cdot \text {Prosent}}{100 } $$
</div>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<tex> \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}</tex>
</blockquote>


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


'''Eksempel 2:'''


Vi har følgende ligning som kan gi svar det meste av det som kan spørres om angående prosent:
En TV er tilbud. Full pris er 3600 kr. Hva er avslaget i kroner når man får 20% avslag på full pris?
<tex>DelAvTallet= \frac{Heletallet \cdot x}{100} </tex>
x er prosenten
"HeleTallet" er det vi skal finne prosenten av.  
"DelAvTallet" er det vi får når vi har tatt prosenten (x%) av "HeleTallet"
4.2


== Del av tallet ==


For å finne delen av tallet må man kjenne hele tallet, altså det man skal finne prosenten av, og prosenten:


Eksempel 3:
$$\text {Del av tallet}= \frac{3600kr \cdot 20 }{100 } = 720 kr$$
En TV er på tilbud. Full pris er 3600 kr. Hva koster den når man får 20% rabatt?


</div>


Vi bruker ligning (1) her også, men legg merke til at det spørres etter differansen mellom fullpris og 20%. Derfor tar vi hele summen før avslag og trekker fra de tjue prosentene som utgjør avslaget.  
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8AF%2B8B0%2B8B1%2B8B2%2B8B3%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


4.3
== Prosenten ==
== Prosenten ==
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=KykO3NNLAMU&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=1 Video eksempel]
</div>
   
   
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
For å finne prosenten, må vi kjenne hele tallet og delen av tallet:


Dersom vi skal finne prosenten bruker vi fortsatt ligning (1), men vi omformer den slik at vi får:  
$$Prosent= \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Hele tallet}} $$
 
</div>
 
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 3:'''


(2) Prosenten:
Eksempel 4:
Av en befolkning på 500.000 er det 6000 som lider av schizofreni. Hvor mange prosent lider av sykdommen?  
Av en befolkning på 500.000 er det 6000 som lider av schizofreni. Hvor mange prosent lider av sykdommen?  
Vi bruker (2) og får:


$\text {Prosent} = \frac {6000 \cdot 100}{500.000}= 1,2$ %


</div>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8B4%2B8B5%2B8B6%2B8B7%2B8B8%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


4.4
== Hele tallet ==
== Hele tallet ==
   
   


Hele tallet kan man finne når prosenten og delen av tallet er kjent. Vi bruker:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=pbVzJSd3Oig&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=3 Video eksempel]
</div>


(3)
Eksempel 5:
På en arbeidsplass var det 8 personer som var syke. Det var 20% av alle ansatte. Hvor mange ansatte var det på arbeidsplassen?
Vi bruker (3) og får


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
For å finne Hele tallet, må vi kjenne prosenten og "delen av tallet":


$$ \text {Hele tallet} = \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Prosent}} $$
</div>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 4:'''<br>
På en arbeidsplass var det 8 personer som var syke. Det var 20% av alle ansatte. Hvor mange ansatte var det på arbeidsplassen?
$$ \text {Hele tallet} = \frac{8 \cdot 100 }{20 }= 40 $$


Altså var det 40 personer som var ansatt på dette stedet.
Altså var det 40 personer som var ansatt på dette stedet.
</div>


== Endringer ==


Det spørres ofte etter endringer. Husk på at endringen kan betraktes som del av tallet.  
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=939%2B93A%2B93B%2B93C%2B93D%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
 
== Endringer i prosent ==
Det spørres ofte etter endringer i prosent. Husk på at endringen av verdi kan betraktes som del av tallet.  
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
'''Endring av verdi er det som er nå, minus det som var før.'''
 
'''Endring i prosent er verdiendring delt på den verdi som var før, multiplisert med 100.'''
</div>
 


Hele tallet blir da tallet før endringen.
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 5:'''


Eksempel 6:
Prisen på en bolig steg fra kr. 1.600.000 til kr. 1.900.000 på et år. Hva var prisstigningen i prosent?  
Prisen på en bolig steg fra kr. 1.600.000 til kr. 1.900.000 på et år. Hva var prisstigningen i prosent?  
Endringen: 1.900.000kr. - 1.600.000 = 300.000 kr.


Her er hele tallet 1.600.000 da dette var verdien på boligen før endringen. Vi bruker (2) og får:
'''Endringen:''' 1.900.000kr. - 1.600.000 = 300.000 kr.
 
Her er hele tallet 1.600.000 da dette var verdien på boligen før endringen. Vi får:
 
$\frac {300.000 \cdot 100}{1.600.000} =18,75$ %
</div>
 
 


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


'''Eksempel 6:'''


Eksempel 7:
Antall arbeidsledige går ned fra 80600 til 69000, fra en måned til den neste. Hvor stor var nedgangen i prosent?  
Antall arbeidsledige går ned fra 80600 til 69000, fra en måned til den neste. Hvor stor var nedgangen i prosent?  
Vi får:
Vi får:


80600 personer - 69000 personer = 11600 personer
80600 personer - 69000 personer = 11600 personer


Innsatt i (2) får vi:
$\frac {11600 \cdot 100 }{80600} =14,4$ %
</div>
 
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8B9%2B8BA%2B8BB%2B8BC%2B8BD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


==Vekstfaktor==


Når vi ønsker å finne den nye verdien etter en endring i prosent.


Dersom en størrelse endrer seg over tid med en fast prosent kan det være hensiktsmessig å regne med vekstfaktor.


== Banksparing ==


Banken betaler deg penger for at den får lov til å disponere sparepengene dine. Det kalles renter. Hvor mange kroner du får i renter kommer an prosenten, eller rentefoten og hvor mye du sparer. Dersom banken tilbyr 4,2% renter p.a. (per år) og vi sparer 1000 kr. i et år, bruker vi formel (1).  
'''Økning, vekst'''
 
Dersom en størrelse vokser med 18% per tidsenhet blir vekstfaktoren:
 
(100% + 18%) /100% = 118/100 = 1,18
 
eller
 
$(1+ \frac{18}{100})= 1+ 0,18 = 1,18$
 
Dersom en størrelse vokser, øker, er vekstfaktoren større enn 1.
 
'''Tidsenheter kan være sekunder, minutter, timer, døgn, uker, måneder, år osv.'''
 
Dersom vi snakker om renter på bankinnskudd er ofte tidsperioden år.
 
Dersom vi snakker om bakterievekst kan det være timer.
 
Dersom vi snakker om gjennomsnittstemperatur kan det være uker eller måneder. '''Les oppgaven nøye.'''
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
$( 1 + \frac{p}{100} ) $ der p er prosenten det øker med.  
 
</div>
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
'''EKSEMPEL 7'''
 
Eva setter inn 15 000 kroner på en sparekonto med 4% renter per år. Hvor mye har hun kontoen et år senere?
 
Vi finner først vekstfaktoren: $1+ \frac{4}{100} = 1,04$
 
Vi multipliserer det beløpet hun satte inn med vekstfaktoren, og får det beløpet hun har etter ett år:
 
$15000 kr \cdot 1,04 = 15600 kr$
 
Hun har altså økt formuen med 600 kroner på et år og har nå 15600 kroner i banken.
 
 
</div>
 
 
 
'''Reduksjon'''
 
Dersom noe '''reduseres''', '''minker''' eller '''avtar'''  ( alle tre ordene betyr det samme ) med en gitt prosent per tidsenhet er vekstfaktoren gitt ved:
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
$1- \frac {p}{100}$ , der p er prosenten størrelsen avtar med.
 
Vi observerer at ved reduksjon er pluss erstattet av minus.
 
Dersom en størrelse avtar er alltid vekstfaktoren mindre enn en.
 
</div>
 
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
 
'''EKSEMPEL 8'''
 
En bil forventes å miste 17% av sin verdi per år de første åtte årene. Ny koster den 400 000 kr. Hva koster den om åtte år?
 
'''Løsning'''
 
Vekstfaktoren blir
$1 - \frac{17}{100} = 0,83$
 
$400000 \cdot 0,83^8 = 90091$
 
Etter åtte år er bilens verdi ca. 90 000 kroner.
 
</div>
 
 
 
'''Eksempler på prosentvis endring opp og ned, med tilhørende vekstfaktor '''
 
{| width="auto"
|Prosent - opp / ned
| Vekstfaktor
 
|-
| +12 %
|1,12
|-
| - 16 %
| 0,84
|-
| + 1,3 %
| 1,013
|-
| - 0,7 %
| 0,993
|-
| + 50 %
| 1,5
|-
| + 100 %
| 2
|-
| + 300 %
| 4
|}
 
==Prosentvis vekst over flere perioder==
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
 
Dersom en verdi  A vokser med en gitt prosent over flere tidsperioder kan det uttrykkes slik:
 
Vekstfaktor = VF
 
$A \cdot (VF)^t $, der t er tidsperioder, for eksempel år.
 
</div>
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 9'''
 
Jon Erik setter inn 6000 kroner i banken i år 2000. Hvor mye har han på den kontoen i 2040, altså etter 40 år, når renten hele tiden er 2,5% per år?
 
Vekstfaktoren er 1,025. Vi får:
 
$6000 \cdot 1,025^{40} = 16110,38$ kr.


Eksempel 8:
</div>


===Fortid  -  bakover i tid===


Det er tolv måneder i et år. Dersom du sparer i åtte måneder, med betingelsene fra forrige eksempel får vi:  
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


Eksempel 9:
'''Eksempel 10'''


La oss tenke oss at vi er i 2040. Jon Erik satte inn ett beløp i banken for førti år siden, til en rente på 2,5% per år. Han har nå  16110,38 kroner  på konto, men har glemt hvor mye han satte inn for 40 år siden. Han ønsker å finne beløpet ved å regne tilbake i tid:


Dersom man skal regne på kortere innskudds / utlånsperioder må man vite at bankene regner alle måneder med 30 rentebærende dager. Et bankår har 360 dager.  
La oss kalle beløpet han satte inn for x.


Dersom du sparer 1000 kr i 300 dager med 4,2% rente får vi:
Vi får


Eksempel 10:
$x \cdot 1,025^{40} = 16110,38 $


$ x = \frac{16110,38}{1,025^{40}} = 6000$


I dette eksempelet var det en størrelse som vokste, men metoden fungerer like godt på noe som minker, så lenge du har vekstfaktoren og hvor lang tid du skal bakover.
</div>


== Prosentvis & eksponentiell vekst (vekstfaktor) ==
==Sammenlikne størrelser==


La oss tenke oss at vi sparer kr. 1000,- og at rentefoten er 4,2%. Hvor mye har vi på konto etter 8 år? Vi må da ta hensyn til rentene vi tjener det første året. Det beløpet blir lagt til de 1000 kronene og er en del av grunnlaget for rentene det andre året. Slik fortsetter det hvert år. La oss bruke formel (1) og se:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=5Ctt4SK1V9o&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=2 Video eksempel]
</div>




<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


År 1: Det første året tjente vi kr 42 i renter. Dette legges til det beløpet vi startet med, slik at ved inngangen til det andre året er sparebeløpet vårt kr 1042.
'''Eksempel 11'''


År 2:


Vi har to tall, 75 og 100.


'''Hvor mange prosent større er 100 enn 75?'''


Her er det 75 som er referansen. Det ser man av  "..... enn 75?". Da blir prosenten forskjellen delt på 75, ganger hundre:


Ved starten av det tredje året vil sparebeløpet vårt være 1042 kr + 43,76 kr = 1085,76 kr. Slik kan vi fortsette til vi har resultatet for det 8. året. Når vi regner renter av rente kaller vi det for rentersrente.
$ \frac {100-75}{75} \cdot 100$ % $ = 33,3 $%


Vi skal nå finne en enklere måte å beregne rentersrente på. La oss kalle de 1000 kronene vi begynner med for K0. La oss kalle sparebeløpet ved første årsskifte for K1. La oss kalle rentefoten for p. Vi har da følgende situasjon:
100 er altså 33,3% større enn 75.






K2 er pengene vi har i banken etter to år. Fra slutten av første til slutten av andre året vokser pengene med en faktor 1,042. Slik fortsetter det. Etter tredje året har vi K3:
'''Hvor mange prosent mindre er 75 enn 100?'''


Nå er det 100 som er referansen, det forskjellen skal måles mot:


$\frac{100-75}{100} \cdot 100 $ % $= 25$ %


Dette leder oss til følgende formel:
75 er 25% mindre enn 100.


Det er ikke alltid like klart hva som er referansen, altså hva forskjellen skal sammenlignes med. Bruk litt tid på å lese og analysere oppgaveteksten.
Dette er formelen for prosentvis vekst, også kalt eksponentiell vekst. K0 er det vi har til å begynne med Kn er det vi har etter n år, n er antall år og p er prosenten det vokser med.  


Anvender vi denne formelen på problemet vårt finner vi at beløpet vårt etter åtte år er:
</div>


==Når prosenten spretter opp og ned......==


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=4KeLENJrxso&list=PL4JJuXPd_YGrzo8S7Fe9VoSw0v26vtwol&index=5 Video eksempel]
</div>


Eksempel 11:
En bil til kr. 250.000 taper seg med 20% hvert år. Hva er bilens verdi etter 6 år? Hvor mange prosent er verditapet?
Svar:


Prosentfaktoren blir 1-0,2 = 0,8. Når prosentfaktoren er mindre enn 1 har man en størrelse som minker med tiden. Er prosentfaktoren større enn 1 har man vekst.


Vi får: 250.000kr ∙ 0,86 = 65.536kr
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


Vi opphøyer prosentfaktoren i 6 fordi antall år er 6. Vi ser at verditapet er betydelig dersom det er riktig at det årlige tapet er 20%.
'''Eksempel 12'''


Verditapet er: (tap:nypris)∙100 = (184.464kr/250.000)∙ 100 = 74%


Verdien av en aksje kan sprette opp og ned flere ganger i løpet av en dag. Astrid følger aksjekursen til et selskap i fem dager, fra mandag til fredag.
Mandag er aksjekursen 172 kroner. Tirsdag har kursen økt med 12%. Onsdag øker den ytterligere med 23%. Torsdag er en dårlig dag, kursen går ned 47%. Fredag stiger kursen med 6%.


Man kunne kanskje være fristet til å si at verditapet er 20% ∙ 6år = 120% - slik er det ikke.
Hva var aksjens verdi onsdag?


Husk på at verditapet regnes av grunnlaget som er nypris (250.000kr), mens det årlige tapet regnes fra et grunnlag som blir mindre og mindre år for år. Derfor er kronetapet størst i begynnelsen og blir mindre etter hvert som tiden går.
Her er det gunstig å bruke vekstfaktorer: $172 \cdot 1,12 \cdot 1,23 = 236,95$ kroner


Hva var aksjens verdi torsdag?


== Promille ==
$172 \cdot 1,12 \cdot 1,23 \cdot 0,53 = 125, 58 $ kroner 


Promille er del av tusen. Tegnet for promille er ‰. Regnereglene for promille er de samme som for prosent. Promille brukes i medisin og i andre sammenhenger der man arbeider med små deler av en større helhet.
Hva var den totale endringen i prosent fra mandag til fredag?


Med promille tenker man kanskje på alkohol. Når man måler alkoholmengden i blodet oppgies del av alkohol i promille. 2‰ betyr at dersom man tar en blodprøve og deler den i 1000 deler vil mengde alkohol i prøven tilsvare to deler.
Aksjens verdi fredag:  $125,58 \cdot 1,06 =133,11$


Man regner mellom prosent og promille slik:  
Differanse: 172 kr - 133,11 kr = 38,89 kr


1% = 10‰
Aksjens verdi har falt med 38,89 kroner. Nedgangen i prosent fra mandag til fredag blir da: $\frac{38,89}{172} \cdot 100$ % = 22, 6%


for å gå fra prosent til promille multipliserer man med 10.
</div>
1 ‰ = 0,1%


for å gå fra promille til prosent dividerer man med 10.
[[Category:Algebra]][[Category: 1P]][[Category:2P]][[Category:1T]]  [[Category:Ped]]  [[Category:Kvalitetssikkret]]

Siste sideversjon per 4. mar. 2023 kl. 05:26

Med prosent mener vi "del av hundre". Vi bruker tegnet %.

Eksempel 1:

58% er det samme som <math> \frac{58}{100} </math> eller 0,58.


Som vi ser er det en sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. Desimaltallet, i dette tilfellet 0,58, kalles ofte prosentfaktoren. Skal vi gå fra prosent til brøk tar vi prosenten og deler på 100. Utfører vi divisjonen finner vi prosentfaktoren.


Test deg selv

Del av tallet


For å finne delen av tallet må vi kjenne hele tallet, altså det vi skal finne prosenten av, og prosenten:


$$\text{Del av tallet} = \frac{\text {Heletallet} \cdot \text {Prosent}}{100 } $$


Eksempel 2:

En TV er på tilbud. Full pris er 3600 kr. Hva er avslaget i kroner når man får 20% avslag på full pris?


$$\text {Del av tallet}= \frac{3600kr \cdot 20 }{100 } = 720 kr$$

Test deg selv

Prosenten


For å finne prosenten, må vi kjenne hele tallet og delen av tallet:

$$Prosent= \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Hele tallet}} $$


Eksempel 3:

Av en befolkning på 500.000 er det 6000 som lider av schizofreni. Hvor mange prosent lider av sykdommen?

$\text {Prosent} = \frac {6000 \cdot 100}{500.000}= 1,2$ %



Test deg selv

Hele tallet


For å finne Hele tallet, må vi kjenne prosenten og "delen av tallet":

$$ \text {Hele tallet} = \frac{\text {Del av tallet} \cdot 100}{\text {Prosent}} $$


Eksempel 4:
På en arbeidsplass var det 8 personer som var syke. Det var 20% av alle ansatte. Hvor mange ansatte var det på arbeidsplassen?


$$ \text {Hele tallet} = \frac{8 \cdot 100 }{20 }= 40 $$

Altså var det 40 personer som var ansatt på dette stedet.


Test deg selv

Endringer i prosent

Det spørres ofte etter endringer i prosent. Husk på at endringen av verdi kan betraktes som del av tallet.

Endring av verdi er det som er nå, minus det som var før.

Endring i prosent er verdiendring delt på den verdi som var før, multiplisert med 100.


Eksempel 5:

Prisen på en bolig steg fra kr. 1.600.000 til kr. 1.900.000 på et år. Hva var prisstigningen i prosent?

Endringen: 1.900.000kr. - 1.600.000 = 300.000 kr.

Her er hele tallet 1.600.000 da dette var verdien på boligen før endringen. Vi får:

$\frac {300.000 \cdot 100}{1.600.000} =18,75$ %


Eksempel 6:

Antall arbeidsledige går ned fra 80600 til 69000, fra en måned til den neste. Hvor stor var nedgangen i prosent?

Vi får:

80600 personer - 69000 personer = 11600 personer

$\frac {11600 \cdot 100 }{80600} =14,4$ %

Test deg selv

Vekstfaktor

Når vi ønsker å finne den nye verdien etter en endring i prosent.

Dersom en størrelse endrer seg over tid med en fast prosent kan det være hensiktsmessig å regne med vekstfaktor.


Økning, vekst

Dersom en størrelse vokser med 18% per tidsenhet blir vekstfaktoren:

(100% + 18%) /100% = 118/100 = 1,18

eller

$(1+ \frac{18}{100})= 1+ 0,18 = 1,18$

Dersom en størrelse vokser, øker, er vekstfaktoren større enn 1.

Tidsenheter kan være sekunder, minutter, timer, døgn, uker, måneder, år osv.

Dersom vi snakker om renter på bankinnskudd er ofte tidsperioden år.

Dersom vi snakker om bakterievekst kan det være timer.

Dersom vi snakker om gjennomsnittstemperatur kan det være uker eller måneder. Les oppgaven nøye.

$( 1 + \frac{p}{100} ) $ der p er prosenten det øker med.


EKSEMPEL 7

Eva setter inn 15 000 kroner på en sparekonto med 4% renter per år. Hvor mye har hun på kontoen et år senere?

Vi finner først vekstfaktoren: $1+ \frac{4}{100} = 1,04$

Vi multipliserer det beløpet hun satte inn med vekstfaktoren, og får det beløpet hun har etter ett år:

$15000 kr \cdot 1,04 = 15600 kr$

Hun har altså økt formuen med 600 kroner på et år og har nå 15600 kroner i banken.



Reduksjon

Dersom noe reduseres, minker eller avtar ( alle tre ordene betyr det samme ) med en gitt prosent per tidsenhet er vekstfaktoren gitt ved:

$1- \frac {p}{100}$ , der p er prosenten størrelsen avtar med.

Vi observerer at ved reduksjon er pluss erstattet av minus.

Dersom en størrelse avtar er alltid vekstfaktoren mindre enn en.


EKSEMPEL 8

En bil forventes å miste 17% av sin verdi per år de første åtte årene. Ny koster den 400 000 kr. Hva koster den om åtte år?

Løsning

Vekstfaktoren blir $1 - \frac{17}{100} = 0,83$

$400000 \cdot 0,83^8 = 90091$

Etter åtte år er bilens verdi ca. 90 000 kroner.


Eksempler på prosentvis endring opp og ned, med tilhørende vekstfaktor

Prosent - opp / ned Vekstfaktor
+12 % 1,12
- 16 % 0,84
+ 1,3 % 1,013
- 0,7 % 0,993
+ 50 % 1,5
+ 100 % 2
+ 300 % 4

Prosentvis vekst over flere perioder

Dersom en verdi A vokser med en gitt prosent over flere tidsperioder kan det uttrykkes slik:

Vekstfaktor = VF

$A \cdot (VF)^t $, der t er tidsperioder, for eksempel år.


Eksempel 9

Jon Erik setter inn 6000 kroner i banken i år 2000. Hvor mye har han på den kontoen i 2040, altså etter 40 år, når renten hele tiden er 2,5% per år?

Vekstfaktoren er 1,025. Vi får:

$6000 \cdot 1,025^{40} = 16110,38$ kr.

Fortid - bakover i tid

Eksempel 10

La oss tenke oss at vi er i 2040. Jon Erik satte inn ett beløp i banken for førti år siden, til en rente på 2,5% per år. Han har nå 16110,38 kroner på konto, men har glemt hvor mye han satte inn for 40 år siden. Han ønsker å finne beløpet ved å regne tilbake i tid:

La oss kalle beløpet han satte inn for x.

Vi får

$x \cdot 1,025^{40} = 16110,38 $

$ x = \frac{16110,38}{1,025^{40}} = 6000$

I dette eksempelet var det en størrelse som vokste, men metoden fungerer like godt på noe som minker, så lenge du har vekstfaktoren og hvor lang tid du skal bakover.

Sammenlikne størrelser


Eksempel 11


Vi har to tall, 75 og 100.

Hvor mange prosent større er 100 enn 75?

Her er det 75 som er referansen. Det ser man av "..... enn 75?". Da blir prosenten forskjellen delt på 75, ganger hundre:

$ \frac {100-75}{75} \cdot 100$ % $ = 33,3 $%

100 er altså 33,3% større enn 75.


Hvor mange prosent mindre er 75 enn 100?

Nå er det 100 som er referansen, det forskjellen skal måles mot:

$\frac{100-75}{100} \cdot 100 $ % $= 25$ %

75 er 25% mindre enn 100.

Det er ikke alltid like klart hva som er referansen, altså hva forskjellen skal sammenlignes med. Bruk litt tid på å lese og analysere oppgaveteksten.

Når prosenten spretter opp og ned......


Eksempel 12


Verdien av en aksje kan sprette opp og ned flere ganger i løpet av en dag. Astrid følger aksjekursen til et selskap i fem dager, fra mandag til fredag. Mandag er aksjekursen 172 kroner. Tirsdag har kursen økt med 12%. Onsdag øker den ytterligere med 23%. Torsdag er en dårlig dag, kursen går ned 47%. Fredag stiger kursen med 6%.

Hva var aksjens verdi onsdag?

Her er det gunstig å bruke vekstfaktorer: $172 \cdot 1,12 \cdot 1,23 = 236,95$ kroner

Hva var aksjens verdi torsdag?

$172 \cdot 1,12 \cdot 1,23 \cdot 0,53 = 125, 58 $ kroner

Hva var den totale endringen i prosent fra mandag til fredag?

Aksjens verdi fredag: $125,58 \cdot 1,06 =133,11$

Differanse: 172 kr - 133,11 kr = 38,89 kr

Aksjens verdi har falt med 38,89 kroner. Nedgangen i prosent fra mandag til fredag blir da: $\frac{38,89}{172} \cdot 100$ % = 22, 6%