R1 2012 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
m Teksterstatting – «/ressurser/eksamen/» til «/res/eksamen/»
 
(16 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?p=159139#p159139 Diskusjon av denne oppgaven]
{{EksLenker|1= 
*[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?p=159139#p159139 Diskusjon av denne oppgaven]
*[http://ndla.no/nb/node/129997?fag=57933 Alternativt løsningsforslag fra NDLA]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2012H_Vurderingsskjema_REA3022Matematikk_R_H012.pdf Vurderingsskjema]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/R1/sensur/2012H_Sensorveiledning_REA3022Matematikk_R_H012.pdf Sensorveiledning]
}}
 
= Del 1 =
= Del 1 =


Linje 29: Linje 35:
Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av x. Da benytter vi produktregelen. For å derivere e3x bruker vi også kjerneregelen. Vi får
Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av x. Da benytter vi produktregelen. For å derivere e3x bruker vi også kjerneregelen. Vi får


$h^\prime(x) = (x^3)^\prime \cdot e^{2x} + x^3 \cdot (e^{2x})^\prime = 3x^2 e^{2x} + x^3 \cdot 2e^{2x} = x^2e^{2x}(3x+2).$
$h^\prime(x) = (x^3)^\prime \cdot e^{2x} + x^3 \cdot (e^{2x})^\prime = 3x^2 e^{2x} + x^3 \cdot 2e^{2x} = x^2e^{2x}(3+2x).$


== Oppgave 2 ==
== Oppgave 2 ==
Linje 133: Linje 139:
Korteste vei fra A til BC er til et punkt D på BC som er slik at AD er normalt på BC.
Korteste vei fra A til BC er til et punkt D på BC som er slik at AD er normalt på BC.


$ \vec{AD} = \vec{AB} + k \vec{BC} \ \vec{AD} = [4,3] +k[-7,1] \ \vec{AD}=[-7k+4,k+3] \ \vec{AD} \perp \vec{BC} \ [-7k+4,k+3] \cdot [-7,3] =0 \ 49k -28 +k +3=0 \ 50k =25 \ k= \frac 12 \ \vec{AD} = [-7 \cdot \frac 12 + 4, \frac 12+3] = [\frac 12, \frac{7}{2}] \ | \vec{AD} | = \sqrt{\frac 14 + \frac{49}{4}} = \frac{\sqrt{5+}}{2} = \frac{5 \sqrt 2}{2}$
$ \vec{AD} = \vec{AB} + k \vec{BC} \ \vec{AD} = [4,3] +k[-7,1] \ \vec{AD}=[-7k+4,k+3] \ \vec{AD} \perp \vec{BC} \ [-7k+4,k+3] \cdot [-7,1] =0 \ 49k -28 +k +3=0 \ 50k =25 \ k= \frac 12 \ \vec{AD} = [-7 \cdot \frac 12 + 4, \frac 12+3] = [\frac 12, \frac{7}{2}] \ | \vec{AD} | = \sqrt{\frac 14 + \frac{49}{4}} = \frac{\sqrt{50}}{2} = \frac{5 \sqrt 2}{2}$


Avstanden  fra A til BC er fem halve kvadratroten av to.
Avstanden  fra A til BC er fem halve kvadratroten av to.
Linje 275: Linje 281:
==Oppgave 5 ==
==Oppgave 5 ==
===a)===
===a)===
x22x+y2+4y4=0(x22x+1)+(y2+4y+4))=1+8(x1)2+((y+2)2=9
Radius i sirkelen er 3. Sentrum er (1, -2).
===b)===
===b)===
x2+2tx+y24y+9=0(x2+2tx+t2)+(y24y+4)=t25(x+t)2+(y2)2=t25
Dersom sirkelpereferien har kun ett punkt felles med x - aksen betyr det at den tangerer, altså at y kooedinaten er lik radiusen.
4=t25t29=0t=3t=3
For at sirkelen skal tangere xáksen må t være lik -3 eller 3.


==Oppgave 6 ==
==Oppgave 6 ==
===a)===
===a)===
Her må du vite hva en pereferivinkel og en sentralvinkel er. v er 90 grader. Da er BAC 45 grader. ACD er 60 grader, ADC er 90, da må CAD være 30. BAD blir da 45 + 30 grader, altså 75 grader.
===b)===
===b)===
α=180BAPPBA=1807590=15β=180QADQDA=1807590=15


===c)===
===c)===
De to trekantene har en felles vinkel i A. Videre thar de to trekantene begge en pereferivinkel som spenner over diameteren, i B og D. Vinkelsummen er konstant lik 180 grader . α og β vil derfor være like for alle verdier av u og v.

Siste sideversjon per 19. okt. 2014 kl. 17:07


Del 1

Oppgave 1

a)

f(x)=(2x1)2=4x24x+1

Da er

f(x)=8x4

Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med 2x1 som kjerne. Vi får da

f(x)=2(2x1)(2x1)=2(2x1)2=8x4.

b)

g(x)=x22x

Vi bruker kjerneregelen med x22x som kjerne. Da har vi

g(x)=12x22x(x22x)=12x22x(2x2)=x1x22x

c)

Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av x. Da benytter vi produktregelen. For å derivere e3x bruker vi også kjerneregelen. Vi får

h(x)=(x3)e2x+x3(e2x)=3x2e2x+x32e2x=x2e2x(3+2x).

Oppgave 2

a)

En polynomdivisjon p(x):(xa) går opp kun dersom p(a)=0. Her får vi da at f(3) må være 0. Det gir oss ligningen

f(3)=0  33332+k3+3=0  3k+3=0  k=1.

b)

Svaret på polynomdivisjon = x21

Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)

Oppgave 3

a)

Vendepunkt har vi der den dobbeltderiverte er 0 og skifter fortegn. Vi har her

f(x)=x33x2x+3

f(x)=3x26x1

f(x)=6x6=6(x1)

Den dobbeltderiverte er null for x = 1. Vendepunkt: (1, f(1)) = (1, 0)

b)

Likning for vendetangent: f ' (1) = - 4

y = ax + b

Har punktet (1, 0) og setter inn:

0=41+bb=4

Dvs: y = -4x + 4

Oppgave 4

a)

x = 1 er en løsning av likningen. Elven mister en løsning ved ikke å sjekke faktoren (x-1) lik null.

b)

For å finne skjæringspunktet må man sette f(x)=g(x)

(x1)(x3)=x1

x24x+3=x1 => x25x+4=0, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.

Nullpunktene er; x=4 og x=1

For å finne skjæringspunktene setter man f(4) og g(1). Da finner man en y-verdi. f(4)=(41)(43) f(4)=3, noe som betyr at y=3

g(1)=11=0, noe som betyr at y=0.

Skjæringspunktene ligger i punktene (4,3) og (1,0)

Oppgave 5

a)

AB=vAD=uAC=u+vBD=uvACBD=(u+v)(uv)u2v2=0

Siden skalarproduktet mellom vektorene er null, står de vinkelrett på hverandre.

b)

AABCD=AABC+AACD12ACFB+12ACDF12AC(FB+DF)12ACBD

Oppgave 6

a)

34x+7=3434x=2734x=33lg34x=lg334x=3x=34

b)

lg(x)+lg(x1)=lg2x>1lg(x2x)=lg2x2x=2x2x2=0x=1±1+82x=1x=2

Oppgave 7

a)

Vinkel er 90 grader kun når skalarproduktet mellom vinkelbeina er null, bare da.

Dvs: ABAC=0

AB=[73,30]=[4,3]AC=[03,t0]=[3,t]ABAC=04(3)+3t=0t=4BAC=90nårt=4

b)

Avstanden fra punktet A (3,0) til vektoren BC = [-7,1] :

Korteste vei fra A til BC er til et punkt D på BC som er slik at AD er normalt på BC.

AD=AB+kBCAD=[4,3]+k[7,1]AD=[7k+4,k+3]ADBC[7k+4,k+3][7,1]=049k28+k+3=050k=25k=12AD=[712+4,12+3]=[12,72]|AD|=14+494=502=522

Avstanden fra A til BC er fem halve kvadratroten av to.

DEL 2

Oppgave 1

a)

AC=[4,4]|AC|=42+42=32AB=[6,0]|AB|=6ABAC=04+64=24

Skalarprodukt:

ABAC=|AB||AC|CABCAB=vecABAC|AB||AC|=24632=12=22CAB=45

b)

Dersom firkanten er et parallellogram er BC vektor lik AD vektor.

BC=[2,4]AD=[t,4][t,4]=[2,4]

Innspeksjon viser oss at t = -2 gjør firkanten ABCD til et parallellogram.

c)

ACBDACBD=0BD=[t6,4]ACBD=0[4,4][t6,4]=04t24+16=0t=2

Når t = 2 står AC vinkelrett på BD.

Oppgave 2

a)

Gutter Jenter Totalt
Buss 71 94 165
Ikke Buss 111 74 185
Total 182 168 350

Sannsynlighet for jente og buss:

P(JB)=94350=0,27

b)

Sannsynlighet for buss:

P(B)=165350=0,47

Sannsynlighet for buss når man vet at eleven er jente:

P(B|J)=94168=0,56

P(B)P(B|J) derfor er hendelsene B og J avhengige.

c)

P(J|B)=94165=0,57

Her kunne man også brukt Bayes' formel, men siden alle tall er oppstilt i krysstabellen er regning ikke nødvendig.

Oppgave 3

a)

r(t)=[14t23t,t+4t5],t∈<0,20]

b)

Skjæring med y- akse inntreffer når x(t) = 0.

14t23t=0t212t=0t(t12)=0t=0t=12

t = 0 er en ugyldig verdi og vi har bare ett skjæringspunkt:

(0,y(12))=(0,12+4125)=(0,223)


Skjæring med x- aksen inntreffer når y(t) = 0:

t+4t5=0t25t+4=0x=5±(5)2162t=1t=4

c)

Banefarten etter t sekunder er gitt ved:

|v(t)|=|r(t)|=|[12t3,14t2]||v(5)|=|[1253,1452]|=(12)2+(2125)2=0,978


Etter 5 sekunder er banefarten 0,978

Oppgave 4

a)

Trekantene er formlike. Vinkel C er felles i begge trekantene. DE er parallell med AB, derfor er vinkel CDE lik vinkel CAB og vinkel CED lik vinkel CBA.


8h8=x68h=8x6h=843x

b)

Areal av trekanten DEF:

T(x)=Gh2=x(843x)2=4x23x2

c)

T´(x)=443xT´(x)=0x=3

T har sin største verdi når x = 3. Vi ser at dette er et toppunkt siden faktoren i andregradsleddet er negativ.

T(3)=432332=126=6

Det største arealet er 6.

Alle fire trekantene er likebeinte og har en side med lengde 3 og høyde 4. Derfor er trekantene kongruente.

Oppgave 5

a)

x22x+y2+4y4=0(x22x+1)+(y2+4y+4))=1+8(x1)2+((y+2)2=9

Radius i sirkelen er 3. Sentrum er (1, -2).

b)

x2+2tx+y24y+9=0(x2+2tx+t2)+(y24y+4)=t25(x+t)2+(y2)2=t25

Dersom sirkelpereferien har kun ett punkt felles med x - aksen betyr det at den tangerer, altså at y kooedinaten er lik radiusen.

4=t25t29=0t=3t=3

For at sirkelen skal tangere xáksen må t være lik -3 eller 3.

Oppgave 6

a)

Her må du vite hva en pereferivinkel og en sentralvinkel er. v er 90 grader. Da er BAC 45 grader. ACD er 60 grader, ADC er 90, da må CAD være 30. BAD blir da 45 + 30 grader, altså 75 grader.

b)

α=180BAPPBA=1807590=15β=180QADQDA=1807590=15

c)

De to trekantene har en felles vinkel i A. Videre thar de to trekantene begge en pereferivinkel som spenner over diameteren, i B og D. Vinkelsummen er konstant lik 180 grader . α og β vil derfor være like for alle verdier av u og v.