Forskjell mellom versjoner av «Pascals talltrekant»
(34 mellomliggende revisjoner av samme bruker vises ikke) | |||
Linje 4: | Linje 4: | ||
[[File:Pascal_3.png]] | [[File:Pascal_3.png]] | ||
+ | |||
+ | Tallet en står øverst, i NULLTE rad. Under kommer to enere i første rad, 1,2,1 i andre rad, osv. Langs sidene er det enere. Et tall i trekanten er summen av de to tallene på raden over. Tallene 10 på rad fem er summen 4+6 på rad fire, rett over. | ||
==Mønster i trekanten== | ==Mønster i trekanten== | ||
Linje 10: | Linje 12: | ||
===Kvadrater=== | ===Kvadrater=== | ||
+ | [[File:pascalkvad.png]] $5^2 = 15+10 =25 \\ 8^2 = 28+36= 64$ | ||
===Mange enere=== | ===Mange enere=== | ||
Linje 17: | Linje 20: | ||
===Trekanttall=== | ===Trekanttall=== | ||
+ | |||
+ | [[File:Pascal_9.png]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Tallene i tredje diagonal er det vi kaller for trekanttallene. | ||
===Kvadrater=== | ===Kvadrater=== | ||
===Horisontale summer=== | ===Horisontale summer=== | ||
+ | |||
+ | Dersom man summerer de horisontale radene i trekanten får man: | ||
+ | |||
+ | $1 = 2^0 \\ 1+1 =2 = 2^1 \\1+2+1=4 =2^2\\ 1+3+3+1 = 8 =2^3 \\ 1+4+6+4+1 = 16 =2^4 \\1+5+10+10+5+1 =32 = 2^5$ | ||
+ | |||
+ | osv. | ||
+ | |||
+ | Man observerer at alle horisontale summer er potenser av to. | ||
+ | |||
===Potenser med grunntall 11=== | ===Potenser med grunntall 11=== | ||
===Fibonacci=== | ===Fibonacci=== | ||
+ | |||
+ | [[File:Pascal_6.png]] | ||
+ | |||
+ | Begynn på toppen. Gå en opp og en til høyre. Gå en ned langs venstre kant og gjør det samme. | ||
+ | |||
+ | 1 +1 + (1+1)+ (1+2) + (1+3+1) + (1+4+3) + (1+5+6+1) + (1+6+10+4) + ..... | ||
+ | = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8+ 13 + 21+ ...... | ||
+ | |||
+ | Fibonacci rekken starter med tallene 1 og 1 og det neste tallet er summen av de to foran. | ||
+ | |||
===Polynomer=== | ===Polynomer=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $ (x+1)^0 =$<span style="color:#FF0000"> 1</span> | ||
+ | |||
+ | $ (x+1)^1 =$<span style="color:#FF0000">1</span> x+<span style="color:#FF0000">1</span> | ||
+ | |||
+ | $(x+1)^2 =$ <span style="color:#FF0000">1</span>$x^2$+<span style="color:#FF0000">2</span>x+<span style="color:#FF0000">1</span> | ||
+ | |||
+ | $(x+1)^3$ = <span style="color:#FF0000">1</span>$x^3$+<span style="color:#FF0000">3</span>$x^2$+<span style="color:#FF0000">3</span>x+<span style="color:#FF0000">1 </span> | ||
+ | |||
+ | $(x+1)^4$ = <span style="color:#FF0000">1</span>$x^4$+<span style="color:#FF0000">4</span>$x^3$+<span style="color:#FF0000">6</span>$x^2$+<span style="color:#FF0000">4 </span>x +<span style="color:#FF0000">1 </span> | ||
+ | |||
===Partall og oddetall=== | ===Partall og oddetall=== | ||
− | ===Binominal | + | ===Binominal koeffisienter=== |
+ | |||
+ | Velg k elementer av n elementer. Hvor mange muligheter finnes? | ||
+ | $\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ | ||
+ | |||
+ | $\dbinom{0}{0} \\ \dbinom{1}{0} \dbinom{1}{1} \\ \dbinom{2}{0} \dbinom{2}{1} \dbinom{2}{2} \\ \dbinom{3}{0} \dbinom{3}{1} \dbinom{3}{2} \dbinom{3}{3} \\ \dbinom{4}{0} \dbinom{4}{1} \dbinom{4}{2} \dbinom{4}{3} \dbinom{4}{4} $ | ||
+ | |||
===Mersenne tall=== | ===Mersenne tall=== |
Nåværende revisjon fra 19. okt. 2017 kl. 05:22
Pascalls talltrekant viser mange interesante sammenhenger. Vi ser på noen av dem her.
Hvordan bygge opp trekanten?
Tallet en står øverst, i NULLTE rad. Under kommer to enere i første rad, 1,2,1 i andre rad, osv. Langs sidene er det enere. Et tall i trekanten er summen av de to tallene på raden over. Tallene 10 på rad fem er summen 4+6 på rad fire, rett over.
Mønster i trekanten
Symmetri
Kvadrater
$5^2 = 15+10 =25 \\ 8^2 = 28+36= 64$
Mange enere
Naturlige tall
Trekanttall
Tallene i tredje diagonal er det vi kaller for trekanttallene.
Kvadrater
Horisontale summer
Dersom man summerer de horisontale radene i trekanten får man:
$1 = 2^0 \\ 1+1 =2 = 2^1 \\1+2+1=4 =2^2\\ 1+3+3+1 = 8 =2^3 \\ 1+4+6+4+1 = 16 =2^4 \\1+5+10+10+5+1 =32 = 2^5$
osv.
Man observerer at alle horisontale summer er potenser av to.
Potenser med grunntall 11
Fibonacci
Begynn på toppen. Gå en opp og en til høyre. Gå en ned langs venstre kant og gjør det samme.
1 +1 + (1+1)+ (1+2) + (1+3+1) + (1+4+3) + (1+5+6+1) + (1+6+10+4) + ..... = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8+ 13 + 21+ ......
Fibonacci rekken starter med tallene 1 og 1 og det neste tallet er summen av de to foran.
Polynomer
$ (x+1)^0 =$ 1
$ (x+1)^1 =$1 x+1
$(x+1)^2 =$ 1$x^2$+2x+1
$(x+1)^3$ = 1$x^3$+3$x^2$+3x+1
$(x+1)^4$ = 1$x^4$+4$x^3$+6$x^2$+4 x +1
Partall og oddetall
Binominal koeffisienter
Velg k elementer av n elementer. Hvor mange muligheter finnes? $\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$\dbinom{0}{0} \\ \dbinom{1}{0} \dbinom{1}{1} \\ \dbinom{2}{0} \dbinom{2}{1} \dbinom{2}{2} \\ \dbinom{3}{0} \dbinom{3}{1} \dbinom{3}{2} \dbinom{3}{3} \\ \dbinom{4}{0} \dbinom{4}{1} \dbinom{4}{2} \dbinom{4}{3} \dbinom{4}{4} $