1T 2013 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
m Teksterstatting – «/ressurser/eksamen/» til «/res/eksamen/»
 
(32 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/1T/1T_V13.pdf Oppgaven som pdf]
{{EksLenker|1= 
 
*[http://matematikk.net/res/eksamen/1T/1T_V13.pdf Oppgaven som pdf]
[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=35167 Diskusjon av denne oppgaven]
*[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=35167 Diskusjon av denne oppgaven]
 
*[http://ndla.no/nb/node/128065?fag=54  Lenke til alternativ løsning fra NDLA]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/1T/sensur/2013V_Vurderingsskjema_MAT1013_Matematikk_1T_V13.pdf Vurderingsskjema]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/1T/sensur/2013V_Sensorveiledning_MAT1013_Matematikk_1T_V13.pdf Sensorveiledning]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/1T/sensur/2013V_Forhåndsensurrapport_MAT1013Matematikk1T.pdf Forhåndsensurrapport]
}}
=Del I=
=Del I=


Linje 81: Linje 85:




$ (1/2)^0 = 1 \  \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^2}=3  \  \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} > 2 \sqrt{4} = 4
$ (1/2)^0 = 1 \  \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3}=3  \  \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{5} > 2 \sqrt{4} = 4
\ 1/9 - 3^{-2} = 0 \ 0 \leq \sin 50^\circ \leq 1 \  \lg 150 = lg(100 \cdot 1,5) \lg 100 + \lg 1,5 = 2 + \log 1,5 $.
\ 1/9 - 3^{-2} = 0 \ 0 \leq \sin 50^\circ \leq 1 \  \lg 150 = lg(100 \cdot 1,5) \lg 100 + \lg 1,5 = 2 + \log 1,5 $.


Linje 131: Linje 135:
$
$


Nullpunktene er dermed x=5 eller $x=5$. Alternativt fungerer og andregradsformelen, med marginalt mer regning.
Nullpunktene er dermed x=5 eller $x=1$. Alternativt kan man bruke andregradsformelen.




b) Her har vi at
b)  


$f(x) = -(x^2 - 4x + 16) + 9 = 9 - (x+2)^2 $
$f'(x) = -2x-4 \ f'(x) =0 \ x=-2 \ f(-2) = 9  $


Slik at $f(x)ermaksimalnårx=-2$, altså vi fullfører kvadratet og legger merke til at $- (x+2)^2\leq 0forallex$,
Punktet (-2,9) er et toppunkt på grafen fordi andregradsleddet har en negativ koeffisient, dvs. grafen vender sin hule side ned.
og den minste verdien denne delen kan ha er 0 som skjer når x=2.
Alternativt fungerer derivasjon og så fortegnslinje eller drøfting av den dobbelderiverte. (sidenf(1)<0såerf(1)toppunkt)


c) IKKE GJORT
c)  
 
[[File:7c-1T-2013.png]]




d)
d)


En tangentlinje er på formen $y = a(x - x_0) + b$, hvor vi har at
En linje er på formen $y = Ax+b$, hvor vi har at
a=f(1)=2(1)4=2 og $x_0 = -1$, så tangentlinjen blir
a=f(1)=2(1)4=2  
 
$f(-1) = 8$  Tangeringspunktet er (-1,8)


$
$
y = -2(x + 1) + 8 = -2x +6
y = -2x+b \ 8= -2 \cdot -1 +b \  b=6
$
$


som ønsket.
Hvilket gir likningen y=2x+6
 
[[File:7d-1T-2013.png]]


==Oppgave 8==
==Oppgave 8==


a) Fra pytagoras har vi at siden AOC er rett så er
a) Fra pytagoras har vi at siden trekanten  AOC er rett så er


$
$
Linje 204: Linje 212:


som ønsket.
som ønsket.


=Del II=
=Del II=
Linje 211: Linje 218:
==Oppgave 1==
==Oppgave 1==


Her har vi følgelig en 306090 trekant. Da hypotenusen
Her har vi en 306090 trekant. Da er hypotenusen
dobbelt så lang som den korteste kateten. Dette kan vi skrive som
dobbelt så lang som den korteste kateten. Dette kan vi skrive som


$ \displaystyle
$ \displaystyle
4^2 + x^2 = (2x)^2 \Rightarrow x
4^2 + x^2 = (2x)^2 \\
= 4 \sqrt{3} \: .
16 + x^2 = 4x^2 \
16 = 3x^2 \
x^2 = \frac{16}{3} \
x= \frac{4}{\sqrt 3}
$
$


Slik at den korteste kateten er $4/\sqrt{3} \approx 2.3094oghypotenusener8/\sqrt{3} \approx 4.6188$
Slik at den korteste kateten er $\frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31oghypotenusener\frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62$


==Oppgave 2==


==Oppgave 2==


a)


a) Her vil eksempelvis sinus-setningen være nyttig.
Her vil sinus-setningen være nyttig.
Den sier at om ABC er en trekant ΔABC, med interne vinkler A,B,C
Den sier at om ABC er en trekant ΔABC, med interne vinkler A,B,C
og sider a,b,c så er
og sider a,b,c så er
Linje 240: Linje 251:
\frac{ BD }{ \sin 60^\circ } & = \frac{ 5 }{ \sin 38.2^\circ } \
\frac{ BD }{ \sin 60^\circ } & = \frac{ 5 }{ \sin 38.2^\circ } \
BD & = \frac{ 5 }{ 2 } \sqrt{3} \cdot \sin 38.2^\circ \
BD & = \frac{ 5 }{ 2 } \sqrt{3} \cdot \sin 38.2^\circ \
BD & \approx 7.0022
BD & \approx 7.0
\end{align*}
\end{align*}
$
$


b) Her kan vi eksempelvis bruke at arealet
b)
 
Her kan vi eksempelvis bruke at arealet
av en trekant er gitt som A=absin(A)/2.
av en trekant er gitt som A=absin(A)/2.


Linje 291: Linje 304:


Så arealet av figuren er omtrentlig 29.
Så arealet av figuren er omtrentlig 29.


==Oppgave 3==
==Oppgave 3==
Linje 307: Linje 319:
$ \displaystyle
$ \displaystyle
\begin{align*}
\begin{align*}
P(FB) & = \frac{ \text{ ønskelige } }{ \text{ mulige } } \
P(FB) & = \frac{ \text{ gunstige } }{ \text{ mulige } }  
& = \frac{ 380 }{ 4000 + 6000 } \
& = \frac{ 380 }{ 4000 + 6000 }  
& = \frac{ 19 }{ 500 } \
& = \frac{ 19 }{ 500 }  
& \approx 3.8 \: \percent
& \approx 3.8 \: \percent
\end{align*}
\end{align*}
Linje 316: Linje 328:
Altså er sannsynligheten for at en tilfeldig person er fargeblind er 3.8\percent.
Altså er sannsynligheten for at en tilfeldig person er fargeblind er 3.8\percent.


b) Antall kvinner som er fargeblinde er
b)  
 
Antall kvinner som er fargeblinde er


$ \displaystyle
$ \displaystyle
Linje 331: Linje 345:
\end{align*}
\end{align*}
$
$


==Oppgave 4==
==Oppgave 4==
Linje 354: Linje 367:
b)  
b)  


Her blir det bare å legge sammen alle sannsynlighetene mellom 30 og 50, geogebra eller en kraftig kalkulator klarer dette fint.
Her legger man sammen alle sannsynlighetene mellom 30 og 50, geogebra eller en kraftig kalkulator klarer dette fint.


$
$
Linje 362: Linje 375:
Altså var sannsynligheten for at mellom 30 og 50 flyttet ut ca 72.3 prosent.
Altså var sannsynligheten for at mellom 30 og 50 flyttet ut ca 72.3 prosent.


Eventuelt går det og ann å tilnærme via normalfordelingen med N(33.333,4.7140), og få et godt overslag.
Uansett viktig å legge merke til at mellom 30 og 50, betyr fra og med 31 til og med 49, og ikke fra 30 til 50.


[[File:4b-1T-2013.png]]


==Oppgave 5==
==Oppgave 5==
Linje 397: Linje 409:
==Oppgave 6==
==Oppgave 6==


a) [[File: 6a-1T-2013.png]]
a)  
 
[[File: 6a-1T-2013.png]]
 
b)


b) Regner ut først ut første og andrederiverte


h(t)=3.25t350t2+170t+700, derivasjon gir
h(t)=3.25t350t2+170t+700, derivasjon gir
Linje 405: Linje 420:
h(t)=9.75t2100t+170
h(t)=9.75t2100t+170


$ h''(t) = 19.5 t - 100 $
Setter den deriverte lik null og finner at hjortebestanden var størst etter 2,14 år, altså tidlig på vinteren i 1992. Er det særlig realistisk at en slik bestand har en topp på vinteren??
 
Via andregradsformel, eller datamaskin så er h(t)=0 når


$ \displaystyle
Avlest grafen kan man si at det var ca. 870 dyr i området. Siden dette er en modell er den uansett ikke helt nøyaktig.
t = \frac{1}{39} \left( 200 \pm 2 \sqrt{3370} \right)\:,
$
 
som gir
 
$
t_2 \approx 8.1052ogt_1 \approx 2.1412\:.
$


Fra den dobbelderiverte ser en raskt at h(t2)>0 og h(t1)<0
slik at t1 er et toppunkt. Tilslutt så er


$
h( t_1) = \frac{ 2172100 + 13480 \sqrt{3370} }{ 3463 } \approx 866.68\:,
$


som selvsagt rundes opp til 867 hjort. Altså var det maksimalt 867 hjort i området.
c)


[[File:6c-1T-2013.png]]


c) Tegner figur. IKKE GJORT. Og ser fra figuren at
Ser fra figuren at


h(t)>850 når 1.4224<t<2.94526
h(t)>850 når 1.4224<t<2.94526
Linje 442: Linje 443:
$
$


Det dette forteller oss er at i 199(4) var hjortebestanden synkende.
Det dette forteller oss er at i begynnelsen av 1994 var vekstraten negativ, bestanden lå an til å minke med 74 dyr per år.


==Oppgave 7==
==Oppgave 7==
Linje 450: Linje 451:


$
$
r = \sqrt{a^2 + b^2}
r = \sqrt{5^2 + 2,5^2} \approx 5,6
= \sqrt{5^2 + (2\cdot 5)^2}
= 5 \sqrt{ 1 + 2^2 }
= 5 \sqrt{5} \approx 11.180
$
$


b) her er r=10 og sidelengden i trekanten vil være 2x/2x=x. Den ene sidelengden kan da skrives som
b)  
 
$
b = \sqrt{r^2 - x^2}
= \sqrt{100 - x^2} \:.
$


Nå kan arealet av kvadratet skrives som
Diagonalen i rektangelet er 20, og langsiden 2x. Kortsiden blir da


$A(x) = (b + b) \cdot (x + x)
$\sqrt{20^2 - 4x^2}$
= 4x \cdot \sqrt{ 100 - x^2 } $


som ønsket.
Arealet finner man ved å multiplisere langside med kortside:


c) La $B(x) = A(x)^2$, da er
$A(x)=2x \cdot  \sqrt{400 - 4x^2} = 2x \cdot  2 \sqrt{100 -x^2}  = 4x \sqrt{100-x^2}$
 
$
B'(x) = \left( 16 x^2 (100 - x^2) \right)'
= 3200 x - 64 x^3
= 64x (x^2 - 50)
$


Slik at $A'(x)=0nårx=0ellerx^2 = 50.FørstnevntegirA(0)=0$
c)  
som er et minimum mens


$
Vi tegner grafen til A(x) i Geogebra og bruker ekstremalpunktsfunksjonen. Vi ser at funksjonen har et maksimum for x = 7,07. Da er arealet 200.
B(x^2=50) = 16 (50) \cdot 50
= 4 \cdot 10^4
$


og følgelig er
[[File:7c-1T-v-2013.png]]


$A_{\text{max}} = \sqrt{ B(x^2=50) }= 2 \cdot 10^2 = 200$.
Lengden av rektangelet med størst areal er $2 \cdot x = 2 \cdot 7,07 = 14,1 $


er et maksimum. Altså for $x = 2 \sqrt{5}$ siden x må være positiv.
Vi vet fra b) at bredden er $ \sqrt{20^2 - 4 \cdot 7,07^2} = 14,1$


Ettersom bredde og lengde er lik har vi et kvadrat.


==Oppgave 8==
==Oppgave 8==


Litt kjapp regning gir oss at


$ \displaystyle
$ \displaystyle
\frac{c}{d} - \frac{c+7d}{d+7d} = \frac{7}{8} \left( \frac{c}{d} - 1\right)
\frac{c}{d} - \frac{c+7d}{d+7d} = \ \frac{c}{d} - \frac{c+7d}{8d} =\ \frac{8c}{8d} - \frac{c+7d}{8d} =\ \frac{7c-7d}{8d} = \ \frac 78 \left( \frac cd - 1 \right)
$
$


Om dette skal være lik 8, så kan vi løse likningen med tanle på c/d slik at en får c/d=(7+82)/7=71/7, som en kan teste stemmer ved innsetning.
Dette skal være lik åtte.
Altså du kan sjekke om


$ \displaystyle
 
\frac{71}{7} - \frac{71 + 7\cdot 7}{7 + 7\cdot 7} = 8
$  
\frac 78 \left( \frac cd - 1 \right)  = 8 \\ \frac cd - 1 = \frac {64}{7} \ \frac cd =  \frac {64}{7} + 1 \ \frac cd = \frac {71}{7}
$
$

Siste sideversjon per 19. okt. 2014 kl. 17:06


Del I

Oppgave 1

7500000.005=7.51050.5102=15105(2)=1.5108

Oppgave 2

(1)2x+3y=7(2)5x2y=8

Dersom vi ser på 2(1)+3(2) ser vi at vi får likningen

(4x+6y)+(15x6y)=14+2419x=19+19x=2

Alternativt kan innsetningsmetoden brukes, men da må en hanskes med brøker. Uansett setter vi inn x verdien eksempelvis i (1) finner vi at

3y=72x=3, så y=1 og x=2.

Oppgave 3

x216x28x+16=(x4)(x+4)(x4)2=x+4x4 .

Oppgave 4

Likningen for en rett linje er y=ax+b, her er stigningstallet gitt som

a=3006=12

slik at vi kan skrive

y=12x+b

for å bestemme b bruker vi punktet (0,3)

y=12x+b3=120+bb=3y=12x+3

Dette kunne vi sett direkte fra figuren siden linjen skjærer y-aksen i 3, dvs. b = 3.

y=12x+3.

Oppgave 5

Skriver om alle uttrykkene


(1/2)0=1273=333=320=45=5>24=41/932=00sin501lg150=lg(1001,5)lg100+lg1,5=2+log1,5.

Herfra så får vi i stigende rekkefølge

1932<sin50<(1/2)0<lg(150)<271/3<20.

Oppgave 6

Enten er begge kulene blå, eller så er begge kulene røde, summen er hva vi er ute etter.

(1)=P(blåblå)=2514=110

og

(2)=P(rødrød)=3524=310

Summen er da

P(22)=410=2540\percent.


Oppgave 7

a) Legg merke til at

f(x)=x24x+5=(x2x+5x5)=[x(x1)+5(x1)]=(x+5)(1x)

Nullpunktene er dermed x=5 eller x=1. Alternativt kan man bruke andregradsformelen.


b)

f(x)=2x4f(x)=0x=2f(2)=9

Punktet (-2,9) er et toppunkt på grafen fordi andregradsleddet har en negativ koeffisient, dvs. grafen vender sin hule side ned.

c)


d)

En linje er på formen y=Ax+b, hvor vi har at a=f(1)=2(1)4=2

f(1)=8 Tangeringspunktet er (-1,8)

y=2x+b8=21+bb=6

Hvilket gir likningen y=2x+6

Oppgave 8

a) Fra pytagoras har vi at siden trekanten AOC er rett så er

AC2=AO2+OC2=r2+r2=2r2

Siden lengden er positiv må AC=2r, som ønsket.

b)

Arealet av AOC er gitt som

A1=12rr=12r2.

Arealet av sirkelbuen med grunnlinje AB er gitt som

AS=πr2/2.

Arealet av halvsirkelen med grunnlinje AC er gitt som

AC=π(AC/2)2/2=πr2/4=AS/2

Området mellom det blå, og trekanten er gitt som

AM=AS/2A1

Slik at for å finne arealet av det blå, kan vi regne ut arealet av halvsirkelen, og trekke fra det skaverte området. Da fås

AB=ACAM=AS/2(AS/2A1)=A1

som ønsket.

Del II

Oppgave 1

Her har vi en 306090 trekant. Da er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. Dette kan vi skrive som

42+x2=(2x)216+x2=4x216=3x2x2=163x=43

Slik at den korteste kateten er 432.31 og hypotenusen er 834.62

Oppgave 2

a)

Her vil sinus-setningen være nyttig. Den sier at om ABC er en trekant ΔABC, med interne vinkler A,B,C og sider a,b,c så er

asinA=bsinB=csinC

bruker vi dette så har vi dette at

BDsin60=5sin38.2BD=523sin38.2BD7.0

b)

Her kan vi eksempelvis bruke at arealet

av en trekant er gitt som A=absin(A)/2.

Dersom vi ser først på trekant ABD først, har en at

ABD1257sin(1806038.2)17.32

For å finne arealet av den siste trekanten, kan eksempelvis herons formel benyttes. Her har en at S(4+6+7)/2=17/2 hvor S er halvparten av omkretsen til trekant BCD. Da er arealet

BCD=S(Sa)(Sb)(Sc)=172(1724)(1726)(1727)=3425511.977

Eller så kan vi bruke cosinussetningen til å først finne vinkel C.

C=arccos(a2+b2c22ab)arccos(42+6272246)=arccos(116)86.420

Også bruke sinussetningen slik at arealet kan skrives som

BCD1246sin(86.420)11.97

samme som før.

Slik at det totalet arealet kan skrives som

ABCD=ΔABD+ΔBCD29.297

Så arealet av figuren er omtrentlig 29.

Oppgave 3

a)

Antall fargeblinde kan skrives som

81004000+11006000=380

Slik at sannsynligheten for at en person er fargeblind (FB) er gitt som

P(FB)= gunstige  mulige =3804000+6000=195003.8\percent

Altså er sannsynligheten for at en tilfeldig person er fargeblind er 3.8\percent.

b)

Antall kvinner som er fargeblinde er

11006000=60,

slik at sannsynligheten for at en kvinne er fargeblind er gitt som

P(FBKvinne)=60380=31915.789\percent

Oppgave 4

a) Her bruker vi binomisk fordeling og får da

Definerer først sannsynligheten for at X=k, ønsker å flytte fra byen som

P(X=k)=(100k)(13)k(23)100k

Slik at sannsynligheten for at nøyaktig 30 ønsker å flytte fra byen er gitt som

P(X=30)0.067284=6.7284\percent

Slik at sannsynligheten for at nøyaktig 30 personer, ønsker å flytte fra byen er ca 6.7 prosent.


b)

Her legger man sammen alle sannsynlighetene mellom 30 og 50, geogebra eller en kraftig kalkulator klarer dette fint.

P(31<X<49)=k=3050P(k)0.72303

Altså var sannsynligheten for at mellom 30 og 50 flyttet ut ca 72.3 prosent.


Oppgave 5

a) La M st for menn og P for kvinner da har vi likningene

M+K=100021100M+16100K=1000/5

Her deler vi på 5, siden det bare var 1 av 5 som trente.

b) Begyner med løse øverste likning for K, da fås K=1000M. Deretter ganges nederste likning med 100, også settes inn opplysningen om K. Da fås

21100M+16100K=20021M+16K=2000021M+16(1000M)=200005M+16000=20000M=800

Og tilsvarene så er K=1000800=200. Altså var det totalt sett 800 menn og 200 kvinner som deltok på undersøkelsen.


Oppgave 6

a)

b)


h(t)=3.25t350t2+170t+700, derivasjon gir

h(t)=9.75t2100t+170

Setter den deriverte lik null og finner at hjortebestanden var størst etter 2,14 år, altså tidlig på vinteren i 1992. Er det særlig realistisk at en slik bestand har en topp på vinteren??

Avlest grafen kan man si at det var ca. 870 dyr i området. Siden dette er en modell er den uansett ikke helt nøyaktig.


c)

Ser fra figuren at

h(t)>850 når 1.4224<t<2.94526

Denne ulikheten beskriver når det var flere enn 850 hjort i området.


d)

h(4)=74

Det dette forteller oss er at i begynnelsen av 1994 var vekstraten negativ, bestanden lå an til å minke med 74 dyr per år.

Oppgave 7

a) Her vil hypotenusen beskrive radius i sirkelen slik at pytagoras gir oss

r=52+2,525,6

b)

Diagonalen i rektangelet er 20, og langsiden 2x. Kortsiden blir da

2024x2

Arealet finner man ved å multiplisere langside med kortside:

A(x)=2x4004x2=2x2100x2=4x100x2

c)

Vi tegner grafen til A(x) i Geogebra og bruker ekstremalpunktsfunksjonen. Vi ser at funksjonen har et maksimum for x = 7,07. Da er arealet 200.

Lengden av rektangelet med størst areal er 2x=27,07=14,1

Vi vet fra b) at bredden er 20247,072=14,1

Ettersom bredde og lengde er lik har vi et kvadrat.

Oppgave 8

cdc+7dd+7d=cdc+7d8d=8c8dc+7d8d=7c7d8d=78(cd1)

Dette skal være lik åtte.


78(cd1)=8cd1=647cd=647+1cd=717