Integrerende faktor

En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f'+A(x)f=B(x)</math> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor <math>e^{\int A(x)\,dx}</math>.

Generell utledning

Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon <math>g=g(x)</math>: (Her betyr <math>A=A(x)</math>, <math>B=B(x)</math> etc.)

<math>f'+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf'+Agf=gB</math>

Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon <math>g</math> slik at <math>Ag=g'</math>, ser vi at ligningen blir:

<math>gf'+g'f=gB</math>

Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)'</math> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen <math>g</math> finner vi enkelt ved å løse ligningen

<math>g'=Ag</math>

Dette er en separabel ligning med løsning <math>g=e^{\int A\,dx}</math>. Vi har altså funnet integrerende faktor.

Eksempler

Eksempel

La oss se på førsteordensligningen <math>f'+f=0</math>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor <math>e^x</math> får vi <math>e^xf'+e^xf=0</math>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)'=0</math> eller ekvivalent <math>\frac{d(e^xf)}{dx}=0 </math>. Da ser vi at <math>e^xf</math> må være konstant, i.e. <math>e^xf=c</math>. Ganger vi med <math>e^{-x}</math> får vi at løsningen er <math>f(x)=ce^{-x}. </math>. Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.