Bevis for cosinussetningen: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Ingen redigeringsforklaring
Ingen redigeringsforklaring
 
(12 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 3: Linje 3:
[[Bilde:Bevcos111.PNG]]
[[Bilde:Bevcos111.PNG]]
Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p>
Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p>
<tex>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</tex>
<math>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math>
<p></p>
 
 
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p>
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p>
<tex>h^2 + (c-x)^2 = a^2</tex>
<math>h^2 + (c-x)^2 = a^2</math><p></p>
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:
 
 
b2x2+c22cx+x2=a2
 
a2=b2+c22cx
 


<tex>b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2 \
a^2 = b^2 + c^2 -2cx</tex><p></p>
Finner cosA:
Finner cosA:
<p></p><tex>cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</tex><p></p>og får:<p></p>
 
<tex>a^2 = b^2 + c^2 -2bc cosA</tex>
<math> cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</math>  
 
og får:
 
<math>a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cosA</math>


'''Stompvinklede:'''<p></p>
'''Stompvinklede:'''<p></p>
Linje 18: Linje 28:


Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p>
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p>
<tex>a^2 = h^2 + (c+x)^2 \ a^2 = h^2 + c^2 +2cx + x^2</tex><p></p>
<math>a^2 = h^2 + (c+x)^2 \ a^2 = h^2 + c^2 +2cx + x^2</math><p></p>
Bruker pytagoras på trekanten DAC:<p></p>
Bruker pytagoras på trekanten DAC:<p></p>
 
b2=x2+h2h2=b2x2<p></p> Kombinere resultatene og får:<p></p>
a2=b2x2+c2+2cx+x2a2=b2+c2+2cx<p></p>
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:<p></p>
cos(180A)=cosA=xbx=bcosA som gir:<p></p>
a2=b2+c22bccosA
----
----


[[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]]
[[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]]

Siste sideversjon per 23. mar. 2013 kl. 12:21

Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.

Spissvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten ADC:

x2+h2=b2h2=b2x2


Bruker pytagoras på trekanten DBC:

h2+(cx)2=a2

Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:


b2x2+c22cx+x2=a2

a2=b2+c22cx


Finner cosA:

cosA=xbx=bcosA

og får:

a2=b2+c22bccosA

Stompvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten DBC:

a2=h2+(c+x)2a2=h2+c2+2cx+x2

Bruker pytagoras på trekanten DAC:

b2=x2+h2h2=b2x2

Kombinere resultatene og får:

a2=b2x2+c2+2cx+x2a2=b2+c2+2cx

Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:

cos(180A)=cosA=xbx=bcosA som gir:

a2=b2+c22bccosA