Bevis for cosinussetningen: Forskjell mellom sideversjoner
Fra Matematikk.net
Ingen redigeringsforklaring |
Ingen redigeringsforklaring |
||
(12 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 3: | Linje 3: | ||
[[Bilde:Bevcos111.PNG]] | [[Bilde:Bevcos111.PNG]] | ||
Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p> | Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p> | ||
< | <math>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math> | ||
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | ||
< | <math>h^2 + (c-x)^2 = a^2</math><p></p> | ||
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre: | |||
Finner cosA: | Finner cosA: | ||
< | |||
< | <math> cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</math> | ||
og får: | |||
<math>a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cosA</math> | |||
'''Stompvinklede:'''<p></p> | '''Stompvinklede:'''<p></p> | ||
Linje 18: | Linje 28: | ||
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | ||
< | <math>a^2 = h^2 + (c+x)^2 \ a^2 = h^2 + c^2 +2cx + x^2</math><p></p> | ||
Bruker pytagoras på trekanten DAC:<p></p> | Bruker pytagoras på trekanten DAC:<p></p> | ||
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:<p></p> | |||
---- | ---- | ||
[[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]] | [[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]] |
Siste sideversjon per 23. mar. 2013 kl. 12:21
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.
Spissvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten ADC:
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:
Finner cosA:
og får:
Stompvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
Bruker pytagoras på trekanten DAC:
Kombinere resultatene og får:
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man: