Bevis for cosinussetningen: Forskjell mellom sideversjoner
Ingen redigeringsforklaring |
Ingen redigeringsforklaring |
||
| (15 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.<p></p> | |||
'''Spissvinklede:'''<p></p> | |||
[[Bilde:Bevcos111.PNG]] | [[Bilde:Bevcos111.PNG]] | ||
Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p> | Bruker pytagoras på trekanten ADC:<p></p> | ||
< | <math>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math> | ||
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | ||
< | <math>h^2 + (c-x)^2 = a^2</math><p></p> | ||
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre: | |||
$b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2$ | |||
$a^2 = b^2 + c^2 -2cx$ | |||
Finner cosA: | Finner cosA: | ||
<math> cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</math> | |||
og får: | |||
<math>a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cosA</math> | |||
'''Stompvinklede:'''<p></p> | |||
[[Bilde:Bevcos2.PNG]] | |||
Bruker pytagoras på trekanten DBC:<p></p> | |||
<math>a^2 = h^2 + (c+x)^2 \\ a^2 = h^2 + c^2 +2cx + x^2</math><p></p> | |||
Bruker pytagoras på trekanten DAC:<p></p> | |||
<math>b^2 = x^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math><p></p> Kombinere resultatene og får:<p></p> | |||
<math>a^2 = b^2 - x^2 + c^2 +2cx + x^2 \\ a^2 = b^2 + c^2 + 2cx</math><p></p> | |||
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:<p></p> | |||
<math>cos(180 - A) = - cosA = \frac xb \Rightarrow x = -bcosA </math> som gir:<p></p> | |||
<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA</math> | |||
---- | ---- | ||
[[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]] | [[Category:bevis]][[Category:1T]][[Category:lex]] | ||
Siste sideversjon per 23. mar. 2013 kl. 12:21
Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.
Spissvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten ADC:
<math>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math>
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
<math>h^2 + (c-x)^2 = a^2</math>
Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:
$b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2$
$a^2 = b^2 + c^2 -2cx$
Finner cosA:
<math> cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</math>
og får:
<math>a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cosA</math>
Stompvinklede:
Bruker pytagoras på trekanten DBC:
<math>a^2 = h^2 + (c+x)^2 \\ a^2 = h^2 + c^2 +2cx + x^2</math>
Bruker pytagoras på trekanten DAC:
<math>b^2 = x^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math>
Kombinere resultatene og får:
<math>a^2 = b^2 - x^2 + c^2 +2cx + x^2 \\ a^2 = b^2 + c^2 + 2cx</math>
Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:
<math>cos(180 - A) = - cosA = \frac xb \Rightarrow x = -bcosA </math> som gir:
<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA</math>