Gruppeteori: Forskjell mellom sideversjoner
m Teksterstatting – «</tex>» til «</math>» |
|||
(11 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 3: | Linje 3: | ||
==Definisjon== | ==Definisjon== | ||
La < | La <math>G</math> være en ikketom mengde med <math>a,b,c\in G</math> og med en definert operasjon <math>*</math>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper: | ||
1. < | 1. <math>a*b\in G</math> (Lukkethet under multiplikasjon) | ||
2. < | 2. <math>(a*b)*c=a*(b*c)</math> (Assosiativitet) | ||
3. < | 3. <math>\exists e \in G</math> slik at <math>e*a=a*e=a</math> (Eksistens av identitetselement) | ||
4. < | 4. <math>\exists a^{-1} \forall a</math> slik at <math>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</math> (Eksistens av inverser) | ||
5. < | 5. <math>a*b=b*a</math> | ||
En gruppe < | En gruppe <math>G</math> med operasjon <math>*</math> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <math>(G,*)</math>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <math>G</math>, og la operasjonen være implisert. | ||
For en < | For en <math>a\in G</math> kan vi innføre forkortelsen <math>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</math>. Tilsvarende innfører vi <math>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</math>. Dermed oppnår vi sammenhengene | ||
1. < | 1. <math>a^n*a^m=a^{n+m}</math> | ||
2. < | 2. <math>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</math> | ||
3. < | 3. <math>a^0 = e</math> | ||
===Eksempel 1=== | ===Eksempel 1=== | ||
Heltallene < | Heltallene <math>\mathbb{Z}</math> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <math>e=0</math> og inverser ved <math>a^{-1}=-a</math>. | ||
Lignende eksempler er de rasjonale tallene < | Lignende eksempler er de rasjonale tallene <math>\mathbb{Q}</math>, de reelle tallene <math>\mathbb{R}</math> og de komplekse tallene <math>\mathbb{C}</math>. | ||
''Er < | ''Er <math>\mathbb{R}</math> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <math>\mathbb{R}</math> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <math>\mathbb{Q}</math>, <math>\mathbb{C}</math> og <math>\mathbb{Z}</math>.'' | ||
===Eksempel 2=== | ===Eksempel 2=== | ||
La < | La <math>X</math> være en mengde, og la <math>B(X)</math> være en ikketom samling av undermengder av <math>X</math>. For <math>U,V\in B(X)</math>, definer | ||
< | <math>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</math> | ||
definer så | definer så | ||
< | <math>U*V=(U-V)\cup (V-U)</math> | ||
kalt den symmetriske differansen av < | kalt den symmetriske differansen av <math>U</math> og <math>V</math>. | ||
Da er < | Da er <math>(B(X),*)</math> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <math>e=\emptyset</math> og <math>U^{-1}=U</math> for alle <math>U\in B(X)</math>. | ||
Vi overlater til leseren å vise assosiativitet. | Vi overlater til leseren å vise assosiativitet. | ||
Linje 55: | Linje 55: | ||
===Forkortningslov=== | ===Forkortningslov=== | ||
Anta at < | Anta at <math>a*b=a*c</math> eller <math>b*a=c*a</math>. Da er <math>b=c</math> | ||
Bevis: < | Bevis: <math>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</math>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende. | ||
===Identitetselementet er unikt=== | ===Identitetselementet er unikt=== | ||
Anta at < | Anta at <math>e_1</math> og <math>e_2</math> er identitetselementer. Da har vi <math>e_1=e_1*e_2=e_2</math> . | ||
Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element < | Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <math>b</math> slik at <math>a*b=a</math> for en <math>a</math>, så er <math>b=e</math>. | ||
===Inverser er unike=== | ===Inverser er unike=== | ||
Anta at < | Anta at <math>a*b=e</math>. Da er <math>b=a^{-1}</math>. Anta at <math>c*a=e</math>. Da er <math>c=a^{-1}</math> og dermed er inverser unike. | ||
Linje 76: | Linje 76: | ||
===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte=== | ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte=== | ||
For elementer < | For elementer <math>a_1, a_2,..., a_n</math> er verdien av produktet <math>a_1*a_2*...*a_n</math> veldefinert. | ||
Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på < | Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <math>n</math>. | ||
==Undergrupper== | ==Undergrupper== | ||
La < | La <math>(G,*)</math> være en gruppe, og la <math>H</math> være en ikketom undermengde av <math>G</math>, notert <math>H\subset G</math>. Da kalles <math>(H,*)</math> en undergruppe av <math>(G,*)</math> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <math>G</math>, notert ved <math>H\leq G</math>. | ||
To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis < | To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <math>H</math> er en ikketriviell undergruppe av <math>G</math> skriver vi <math>H<G</math>. | ||
===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper=== | ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper=== | ||
De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, < | De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <math>e</math> må være et medlem i <math>H</math>, og for hvert element i <math>H</math>, må inversen også være et medlem. | ||
Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: < | Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <math>H</math> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <math>a,b \in H</math>, så er <math>a*b^{-1}\in H</math>. | ||
Ettersom < | Ettersom <math>H</math> ikke er tom, må det finnes et element <math>a\in H</math>. Dermed har vi at <math>a*a^{-1}=e\in H</math>, <math>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</math>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <math>b\in H</math>, har vi <math>b^{-1}\in H</math>, så <math>a*b \in H</math> og <math>H</math> er dermed lukket. | ||
==Orden== | ==Orden== | ||
Ordenen til en gruppe < | Ordenen til en gruppe <math>G</math> defineres som kardinaliteten til mengden <math>G</math>, notert <math>o(G)</math>. Hvis vi antar at <math>a \in G</math> og lar <math>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</math>, vil <math>H</math> være en abelsk undergruppe av <math>G</math>, og vi kaller da <math>H</math> undergruppen av <math>G</math> generert av <math>a</math> og skriver <math>H=\<a\></math>. Vi kan da definere ordenen til et element <math>a\in G</math> som ordenen av undergruppen generert av <math>a</math>, det vil si <math>o(a)\equiv o(H)</math>. Merk at <math>a</math> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <math>n\in \mathbb{N}</math> slik at <math>a^n=e</math>, og <math>o(a)</math> er da den minste slike <math>n</math>. | ||
===Sykliske grupper=== | ===Sykliske grupper=== | ||
En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er < | En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <math>(\mathbb{Z},+)</math> generert av <math>1</math>. | ||
Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at < | Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <math>G</math> er generert av <math>a</math>, at <math>H<G</math> og at <math>m</math> er det minste positive heltallet slik at <math>a^m\in H</math>. Anta så at det finnes et annet element <math>a^n\in H</math> med <math>m<n</math>. Hvis <math>m</math> ikke deler <math>n</math>, kan ikke <math>m</math> være det minste positive heltallet slik at <math>a^m\in H</math>, ettersom <math>a^{n-m}\in H</math> og <math>0<n-m<m</math>. Altså må <math>m</math> dele <math>n</math>. Dermed er <math>H</math> generert av <math>a^m</math> og er dermed syklisk. | ||
==Sideklasser== | ==Sideklasser== | ||
La < | La <math>H<G</math>, og se på relasjonen <math>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</math>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <math>G</math>. Ekvivalensklassene er gitt ved | ||
< | <math>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </math> | ||
For å se dette, merk at < | For å se dette, merk at <math>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</math>. | ||
Mengden < | Mengden <math>\{h*a \,|\, h\in H\}</math> noteres <math>Ha</math> og kalles en høyre sideklasse til <math>H</math> | ||
Alternativt kan vi la < | Alternativt kan vi la <math>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</math>. Ekvivalensklassene blir da | ||
< | <math>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</math> | ||
som kalles en venste sideklasse til < | som kalles en venste sideklasse til <math>H</math>. | ||
Ettersom < | Ettersom <math>\sim</math> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser: | ||
1. < | 1. <math>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</math> | ||
2. < | 2. <math>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</math> | ||
3. < | 3. <math>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</math> | ||
4. < | 4. <math>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</math> | ||
5. Mengden av høyre sideklasser av < | 5. Mengden av høyre sideklasser av <math>H</math> partisjonerer <math>G</math>. | ||
6. < | 6. <math>a</math> og <math>b</math> tilhører samme sideklasse kun hvis <math>a*b^{-1}\in H</math>. | ||
===Lagranges Teorem=== | ===Lagranges Teorem=== | ||
La < | La <math>a\in G</math>. Da er funksjonen <math>f:H\rightarrow Ha</math> gitt ved <math>f(h)=a*h</math> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <math>H</math> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden. | ||
Lagranges teorem sier at dersom < | Lagranges teorem sier at dersom <math>H\leq G</math> og <math>o(G)<\infty</math>, så er <math>o(H)</math> en divisor til <math>o(G)</math>. | ||
Beviset er elementært når vi vet at < | Beviset er elementært når vi vet at <math>o(H)=o(Ha)=o(aH)</math> for alle <math>a\in G</math>. Vi vet at sideklassene til <math>H</math> partisjonerer <math>G</math>. Anta derfor at | ||
< | <math>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</math> | ||
da følger det at | da følger det at | ||
< | <math>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</math> | ||
som beviser teoremet. | som beviser teoremet. | ||
Indeksen til en undergruppe < | Indeksen til en undergruppe <math>H\leq G</math> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <math>H</math> i <math>G</math> og noteres som <math>[G:H]</math>. | ||
For å se at < | For å se at <math>H</math> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <math>f(H*a)=a^{-1}*H</math>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser. | ||
Verdien til < | Verdien til <math>[G:H]</math> er lik tallet <math>t</math> i beviset av Lagranges teorem over, slik at | ||
< | <math>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</math> | ||
eller | eller | ||
< | <math>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</math> | ||
Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser: | Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser: | ||
1. Hvis < | 1. Hvis <math>o(G)<\infty</math> og <math>a\in G</math>, så er <math>o(a)</math> en divisor til <math>o(G)</math>. | ||
2. Hvis < | 2. Hvis <math>o(G)<\infty</math>, så er <math>a^{o(G)}=e</math> for alle <math>a\in G</math>. | ||
3. La < | 3. La <math>p</math> være et primtall. Da er alle grupper med orden <math>p</math> sykliske. | ||
==Normale undergrupper og kvotientgrupper== | ==Normale undergrupper og kvotientgrupper== | ||
La < | La <math>H\leq G</math>. Da er følgende utsagn ekvivalente. | ||
1. Hvis < | 1. Hvis <math>a\in G</math>, så er <math>aHa^{-1}=H</math> | ||
2. Hvis < | 2. Hvis <math>a\in G</math>, så er <math>aHa^{-1}\subset H</math> | ||
3. Hvis < | 3. Hvis <math>a\in G</math>, så er <math>aH=Ha</math> | ||
4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt. | 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt. | ||
En undergruppe < | En undergruppe <math>H</math> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <math>G</math>. | ||
For enhver gruppe < | For enhver gruppe <math>G</math> er <math>G</math> selv og <math>\{e\}</math> normale undergrupper. Hvis <math>G</math> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale. | ||
===Kvotientgrupper=== | ===Kvotientgrupper=== | ||
Hvis < | Hvis <math>N\leq G</math> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <math>N</math> på følgende måte. | ||
La < | La <math>G/N</math> være mengden av alle sideklasser til <math>N</math>. Dersom <math>S_1=Na</math> og <math>S_2=Nb</math>, definer produktet <math>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</math>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <math>N</math> og inverser er gitt ved <math>(Na)^{-1}=Na^{-1}</math>. Dersom <math>o(G)<\infty</math>, har vi i tillegg at <math>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</math>. | ||
==Homomorfier== | ==Homomorfier== | ||
La < | La <math>(G,*)</math> og <math>(H,\cdot )</math> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <math>G</math> til <math>H</math> er en transformasjon | ||
< | <math>\phi \,:\, G \rightarrow H</math> | ||
som bevarer gruppestrukturen, dvs. | som bevarer gruppestrukturen, dvs. | ||
< | <math>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</math> | ||
La < | La <math>G</math> og <math>H</math> ha identitetselementer <math>e</math> og <math>\bar{e}</math>. Definer kjernen til en homomorfi som | ||
< | <math>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</math> | ||
De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier. | De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier. | ||
1. < | 1. <math>\phi(e)=\bar{e}</math> | ||
2. < | 2. <math>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</math> | ||
3. Dersom < | 3. Dersom <math>A</math> er en undergruppe av <math>G</math>, er <math>\phi(A)</math> en undergruppe av <math>H</math>. Det følger at <math>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</math> er en undergruppe av <math>H</math>. | ||
4. Dersom < | 4. Dersom <math>B</math> er en undergruppe av B, er <math>\phi^{-1}(B)</math> en undergruppe av <math>G</math> | ||
5. Dersom < | 5. Dersom <math>\phi</math> er injektiv, er <math>\text{ker}(\phi)=\{e\}</math> | ||
6. < | 6. <math>\text{ker}(\phi)</math> er en normal undergruppe til <math>G</math> | ||
7. Dersom < | 7. Dersom <math>h\in H</math>, er <math>\phi^{-1}(h)</math> en sideklasse av <math>\text{ker}(\phi)</math> | ||
8. Komposisjonen av to homomorfier < | 8. Komposisjonen av to homomorfier <math>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</math> og <math>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</math> er en ny homomorfi <math>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</math> | ||
9. Dersom < | 9. Dersom <math>\phi</math> er en bijeksjon, er <math>\phi^{-1}\,:\, H\to G</math> en homomorfi, og <math>\phi</math> kalles da en isomorfi og vi skriver <math>G\simeq H</math>. Hvis <math>G=H</math> kalles <math>\phi</math> en automorfi. | ||
10. La < | 10. La <math>\phi</math> være en isomorfi. Da er: | ||
: i) < | : i) <math>A\leq G</math> hvis og bare hvis <math>\phi(A)\leq H</math> | ||
: ii) < | : ii) <math>A\leq G</math> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <math>f(A)\leq H</math> er en normal undergruppe. | ||
: iii) < | : iii) <math>G</math> er syklisk hvis og bare hvis <math>H</math> er syklisk. | ||
===Det første isomorfiteoremet=== | ===Det første isomorfiteoremet=== | ||
Anta at < | Anta at <math>N\leq G</math> er en normal undergruppe. Da er | ||
< | <math>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</math> | ||
definert ved < | definert ved <math>\pi(a)=Ha</math> en surjektiv homomorfi med kjerne <math>\text{ker}(\pi)=N</math>. | ||
Hvis i tillegg < | Hvis i tillegg <math>\phi\,:\, G\rightarrow H</math> er en surjektiv homomorfi med kjerne <math>N</math>, har vi <math>G\simeq H</math>. | ||
: ''Bevis:'' | |||
: Ettersom | |||
: | |||
: Anta at | |||
: Anta videre at | |||
: Ettersom | |||
Generellt gjelder det at dersom | |||
===Senteret til en gruppe=== | |||
Se på funksjonen | |||
Da er | |||
Dermed er | |||
Kjernen til | |||
Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at | |||
Dersom | |||
==Ytre produkter av grupper== | ==Ytre produkter av grupper== | ||
La | |||
Med operasjonen | |||
===Undergrupper=== | |||
Hvis | |||
Spesiellt har vi de normale undergruppene | |||
Definer projeksjonshomomorfien | |||
==Gruppen (Z,+)== | ==Gruppen (Z,+)== | ||
I denne seksjonen vil vi studere spesiellt nøye gruppen av heltall under addisjon, og ta i bruk alt fra tidligere seksjoner. | |||
Vi vil studere | |||
Akkurat som vi for generelle grupper noterte | |||
===Undergrupper og kvotienter=== | |||
For det første er denne gruppen abelsk, så enhver undergruppe er normal. | |||
Vi kan notere ved | |||
Et teorem i tallteori sier at enhver undergruppe av | |||
For å se dette, anta at | |||
Sideklassene til | |||
==Symmetrigruppen på n elementer== | ==Symmetrigruppen på n elementer== | ||
[[Kategori:Algebra]] | [[Kategori:Algebra]] |
Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58
Gruppeteori er en gren av Algebra og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.
Definisjon
La
1.
2.
3.
4.
5.
En gruppe
For en
1.
2.
3.
Eksempel 1
Heltallene
Lignende eksempler er de rasjonale tallene
Er
Eksempel 2
La
definer så
kalt den symmetriske differansen av
Da er
Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.
Elementære resultater
Forkortningslov
Anta at
Bevis:
Identitetselementet er unikt
Anta at
Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element
Inverser er unike
Anta at
Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.
Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte
For elementer
Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på
Undergrupper
La
To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis
Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper
De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket,
Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig:
Ettersom
Orden
Ordenen til en gruppe
Sykliske grupper
En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er
Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at
Sideklasser
La
For å se dette, merk at
Mengden
Alternativt kan vi la
som kalles en venste sideklasse til
Ettersom
1.
2.
3.
4.
5. Mengden av høyre sideklasser av
6.
Lagranges Teorem
La
Lagranges teorem sier at dersom
Beviset er elementært når vi vet at
da følger det at
som beviser teoremet.
Indeksen til en undergruppe
For å se at
Verdien til
eller
Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:
1. Hvis
2. Hvis
3. La
Normale undergrupper og kvotientgrupper
La
1. Hvis
2. Hvis
3. Hvis
4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.
En undergruppe
For enhver gruppe
Kvotientgrupper
Hvis
La
Homomorfier
La
som bevarer gruppestrukturen, dvs.
La
De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.
1.
2.
3. Dersom
4. Dersom
5. Dersom
6.
7. Dersom
8. Komposisjonen av to homomorfier
9. Dersom
10. La
- i)
hvis og bare hvis - ii)
er en normal undergruppe hvis og bare hvis er en normal undergruppe. - iii)
er syklisk hvis og bare hvis er syklisk.
Det første isomorfiteoremet
Anta at
definert ved
Hvis i tillegg
- Bevis:
- Ettersom
har kjerne vil førbildet av enhver være et sideklasse av :
for en .
- Anta at
og . Da har vi at , så er en injektiv homomorfi fra til .
- Anta videre at
. Ettersom er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en slik at , og dermed er , altså er en surjektiv homomorfi.
- Ettersom
er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at som skulle bevises.
Generellt gjelder det at dersom
Senteret til en gruppe
Se på funksjonen
Da er
Dermed er
Kjernen til
Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at
Dersom
Ytre produkter av grupper
La
Med operasjonen
Undergrupper
Hvis
Spesiellt har vi de normale undergruppene
Definer projeksjonshomomorfien
Gruppen (Z,+)
I denne seksjonen vil vi studere spesiellt nøye gruppen av heltall under addisjon, og ta i bruk alt fra tidligere seksjoner.
Vi vil studere
Akkurat som vi for generelle grupper noterte
Undergrupper og kvotienter
For det første er denne gruppen abelsk, så enhver undergruppe er normal.
Vi kan notere ved
Et teorem i tallteori sier at enhver undergruppe av
For å se dette, anta at
Sideklassene til