Gruppeteori: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
m Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»
 
(45 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 3: Linje 3:
==Definisjon==
==Definisjon==


La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:
La <math>G</math> være en ikketom mengde med <math>a,b,c\in G</math> og med en definert operasjon <math>*</math>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:




1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=
1. <math>a*b\in G</math>   (Lukkethet under multiplikasjon)


2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)
2. <math>(a*b)*c=a*(b*c)</math>   (Assosiativitet)


3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)
3. <math>\exists e \in G</math> slik at <math>e*a=a*e=a</math>   (Eksistens av identitetselement)


4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)
4. <math>\exists a^{-1} \forall a</math> slik at <math>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</math>   (Eksistens av inverser)


5. <tex>a*b=b*a</tex>
5. <math>a*b=b*a</math>




En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>.
En gruppe <math>G</math> med operasjon <math>*</math> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <math>(G,*)</math>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive G, og la operasjonen være implisert.
 
For en aG kan vi innføre forkortelsen an=aa...an elementer. Tilsvarende innfører vi an=a1a1...a1n elementer. Dermed oppnår vi sammenhengene
 
1. anam=an+m
 
2. (an)m=anm
 
3. a0=e
 
===Eksempel 1===
 
Heltallene Z med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved e=0 og inverser ved a1=a.
 
Lignende eksempler er de rasjonale tallene Q, de reelle tallene R og de komplekse tallene C.
 
''Er R en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av R som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for Q, C og Z.''
 
===Eksempel 2===
 
La X være en mengde, og la B(X) være en ikketom samling av undermengder av X. For U,VB(X), definer
 
UV={xUxV}
 
definer så
 
UV=(UV)(VU)
 
kalt den symmetriske differansen av U og V.
 
Da er (B(X),) en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er e= og U1=U for alle UB(X).
 
Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.


==Elementære resultater==
==Elementære resultater==
Linje 23: Linje 55:
===Forkortningslov===
===Forkortningslov===


Anta at <tex>a*b=a*c</tex>. Da er <tex>b=c</tex>
Anta at <math>a*b=a*c</math> eller <math>b*a=c*a</math>. Da er <math>b=c</math>




Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>
Bevis: <math>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</math>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.


===Identitetselementet er unikt===
===Identitetselementet er unikt===


Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .
Anta at <math>e_1</math> og <math>e_2</math> er identitetselementer. Da har vi <math>e_1=e_1*e_2=e_2</math> .




Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.
Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <math>b</math> slik at <math>a*b=a</math> for en <math>a</math>, så er <math>b=e</math>.


===Inverser er unike===
===Inverser er unike===


Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.
Anta at <math>a*b=e</math>. Da er <math>b=a^{-1}</math>. Anta at <math>c*a=e</math>. Da er <math>c=a^{-1}</math> og dermed er inverser unike.




Linje 44: Linje 76:
===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===
===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===


For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.
For elementer <math>a_1, a_2,..., a_n</math> er verdien av produktet <math>a_1*a_2*...*a_n</math> veldefinert.




Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.
Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <math>n</math>.


==Undergrupper==
==Undergrupper==
La (G,) være en gruppe, og la H være en ikketom undermengde av G, notert HG. Da kalles (H,) en undergruppe av (G,) dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over G, notert ved HG.
To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis H er en ikketriviell undergruppe av G skriver vi H<G.
===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===
De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, e må være et medlem i H, og for hvert element i H, må inversen også være et medlem.
Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: H er en under gruppe hvis og bare hvis for hver a,bH, så er ab1H.
Ettersom H ikke er tom, må det finnes et element aH. Dermed har vi at aa1=eH, ea1=a1H, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom bH, har vi b1H, så abH og H er dermed lukket.
==Orden==
Ordenen til en gruppe G defineres som kardinaliteten til mengden G, notert o(G). Hvis vi antar at aG og lar H={ai|iZ}, vil H være en abelsk undergruppe av G, og vi kaller da H undergruppen av G generert av a og skriver H=\<a. Vi kan da definere ordenen til et element aG som ordenen av undergruppen generert av a, det vil si o(a)o(H). Merk at a har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en nN slik at an=e, og o(a) er da den minste slike n.
===Sykliske grupper===
En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er (Z,+) generert av 1.
Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at G er generert av a, at H<G og at m er det minste positive heltallet slik at amH. Anta så at det finnes et annet element anH med m<n. Hvis m ikke deler n, kan ikke m være det minste positive heltallet slik at amH, ettersom anmH og 0<nm<m. Altså må m dele n. Dermed er H generert av am og er dermed syklisk.
==Sideklasser==
La H<G, og se på relasjonen abab1H. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden G. Ekvivalensklassene er gitt ved
[a]={bG|ab}={ha|hH}
For å se dette, merk at (h1a)(h2a)1=h1aa1h21=h1h21H.
Mengden {ha|hH} noteres Ha og kalles en høyre sideklasse til H
Alternativt kan vi la aba1bH. Ekvivalensklassene blir da
[a]={ah|hH}=aH
som kalles en venste sideklasse til H.
Ettersom er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:
1. aHHa=H
2. bHaHa=Hb
3. hHH(ha)=Ha
4. HaHbHa=Hb
5. Mengden av høyre sideklasser av H partisjonerer G.
6. a og b tilhører samme sideklasse kun hvis ab1H.
===Lagranges Teorem===
La aG. Da er funksjonen f:HHa gitt ved f(h)=ah en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom H er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.
Lagranges teorem sier at dersom HG og o(G)<, så er o(H) en divisor til o(G).
Beviset er elementært når vi vet at o(H)=o(Ha)=o(aH) for alle aG. Vi vet at sideklassene til H partisjonerer G. Anta derfor at
G=H(Ha1)(Ha2)...(Hat1)
da følger det at
o(G)=o(H)+|Ha1|+|Ha2|+...+|Hat1|=to(H)
som beviser teoremet.
Indeksen til en undergruppe HG defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til H i G og noteres som [G:H].
For å se at H har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen f(Ha)=a1H, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.
Verdien til [G:H] er lik tallet t i beviset av Lagranges teorem over, slik at
o(G)=[G:H]o(H)
eller
[G:H]=o(G)o(H)
Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:
1. Hvis o(G)< og aG, så er o(a) en divisor til o(G).
2. Hvis o(G)<, så er ao(G)=e for alle aG.
3. La p være et primtall. Da er alle grupper med orden p sykliske.
==Normale undergrupper og kvotientgrupper==
La HG. Da er følgende utsagn ekvivalente.
1. Hvis aG, så er aHa1=H
2. Hvis aG, så er aHa1H
3. Hvis aG, så er aH=Ha
4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.
En undergruppe H som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til G.
For enhver gruppe G er G selv og {e} normale undergrupper. Hvis G i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.
===Kvotientgrupper===
Hvis NG er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til N på følgende måte.
La G/N være mengden av alle sideklasser til N. Dersom S1=Na og S2=Nb, definer produktet S1S2=(Na)(Nb)=N(ab). Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er N og inverser er gitt ved (Na)1=Na1. Dersom o(G)<, har vi i tillegg at o(G/N)=o(G)o(N).
==Homomorfier==
La (G,) og (H,) være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra G til H er en transformasjon
ϕ:GH
som bevarer gruppestrukturen, dvs.
ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)
La G og H ha identitetselementer e og e¯. Definer kjernen til en homomorfi som
\texker(ϕ)={aG:ϕ(a)=e¯}=ϕ1(e¯)
De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.
1. ϕ(e)=e¯
2. ϕ(a1)=ϕ(a)1
3. Dersom A er en undergruppe av G, er ϕ(A) en undergruppe av H. Det følger at R(ϕ)={ϕ(a):aG} er en undergruppe av H.
4. Dersom B er en undergruppe av B, er ϕ1(B) en undergruppe av G
5. Dersom ϕ er injektiv, er ker(ϕ)={e}
6. ker(ϕ) er en normal undergruppe til G
7. Dersom hH, er ϕ1(h) en sideklasse av ker(ϕ)
8. Komposisjonen av to homomorfier ϕ1:GH og ϕ2:HK er en ny homomorfi ϕ2ϕ1:GK
9. Dersom ϕ er en bijeksjon, er ϕ1:HG en homomorfi, og ϕ kalles da en isomorfi og vi skriver GH. Hvis G=H kalles ϕ en automorfi.
10. La ϕ være en isomorfi. Da er:
: i) AG hvis og bare hvis ϕ(A)H
: ii) AG er en normal undergruppe hvis og bare hvis f(A)H er en normal undergruppe.
: iii) G er syklisk hvis og bare hvis H er syklisk.
===Det første isomorfiteoremet===
Anta at NG er en normal undergruppe. Da er
π:GG/N
definert ved π(a)=Ha en surjektiv homomorfi med kjerne ker(π)=N.
Hvis i tillegg ϕ:GH er en surjektiv homomorfi med kjerne N, har vi GH.
: ''Bevis:''
: Ettersom ϕ har kjerne N vil førbildet av enhver hH være et sideklasse av N:
: ϕ1(h)=Ng for en gG.
: Anta at h1,h2H og ϕ1(h1)=ϕ1(h2)=Ng. Da har vi at h1=ϕ(ϕ1(h1))=ϕ(ϕ1(h2))=h2, så πϕ1 er en injektiv homomorfi fra H til G/N.
: Anta videre at NgG/N. Ettersom ϕ er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en hH slik at ϕ(g)=h, og dermed er πϕ1(h)=Ng, altså er πϕ1 en surjektiv homomorfi.
: Ettersom πϕ1:HG/N er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at HG/N som skulle bevises.
Generellt gjelder det at dersom ϕ:GH er en homomorfi, så er G/ker(ϕ)R(ϕ)
===Senteret til en gruppe===
Se på funksjonen ϕ(a)=φa:GG slik at φa(g)=aga1 for alle a,gG
Da er φa en isomorfi fra G til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen φa kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på G (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres Inn(G).
Dermed er ϕ en homomorfi fra G til Inn(G).
Kjernen til ϕ er gitt ved ZG={aG:ag=gagG}, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i G. Dette er en normal undergruppe til G og kalles senteret til G.
Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at G/Z(G)Inn(G).
Dersom G/Z(G) er syklisk, er G en abelsk gruppe, og dermed er G=Z(G) og G/Z(G) er triviell.
==Ytre produkter av grupper==
La G og G være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par G×H={(g,h):gGhH}
Med operasjonen definert slik at (g1,h1)(g2,h2)=(g1g2,h1h2), der g. ene multipliseres i G osv, blir dette en gruppe.
===Undergrupper===
Hvis G×H er et produkt av grupper, så er A×B, der AG og BH en undergruppe. Alle undergruppene til G×H kan skrives på denne formen.
Spesiellt har vi de normale undergruppene G×{e¯} og {e}×H, som er isomorfe til henholdsvis G og H. Dermed er både G og H normale undergrupper til G×H.
Definer projeksjonshomomorfien πG((g,h))=(g,e¯) for alle gG,hH. Da har πG kjerne {e}×HH og verdimengde G×{e¯}G, så ved det første isomorfiteoremet har vi at G×HHG, og på samme måte at G×HGH, noe man skulle forvente.
==Gruppen (Z,+)==
I denne seksjonen vil vi studere spesiellt nøye gruppen av heltall under addisjon, og ta i bruk alt fra tidligere seksjoner.
Vi vil studere (Z,+), som heretter noteres som Z.
Akkurat som vi for generelle grupper noterte an=aa...an elementer vil vi her notere na=a+a+...+an elementer
===Undergrupper og kvotienter===
For det første er denne gruppen abelsk, så enhver undergruppe er normal.
Vi kan notere ved nZ undergruppen av Z bestående av tall som er delelige på n. Homomorfien som definerer den er
mn(a)=na der a,nZ.
Et teorem i tallteori sier at enhver undergruppe av Z er på denne formen.
For å se dette, anta at a er det minste positive elementet i G<Z, og at det finnes et element bG slik at b>a. Da kan b skrives unikt på formen b=as+r, der r,sZ og 0r<|a|. Antagelsken er at r0, men ettersom G er lukket under addisjon, betyr dette at bas=rG, som er en motsigelse fordi a er det minste positive elementet i Z. Altså må r=0 og G=aZ.
Sideklassene til nZ blir altså på formen b+nZ der b[0,n1]Z.
==Symmetrigruppen på n elementer==
[[Kategori:Algebra]]

Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58

Gruppeteori er en gren av Algebra og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.

Definisjon

La G være en ikketom mengde med a,b,cG og med en definert operasjon , kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:


1. abG (Lukkethet under multiplikasjon)

2. (ab)c=a(bc) (Assosiativitet)

3. eG slik at ea=ae=a (Eksistens av identitetselement)

4. a1a slik at a1a=aa1=e (Eksistens av inverser)

5. ab=ba


En gruppe G med operasjon som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen (G,), men i denne artikkelen vil vi som regel skrive G, og la operasjonen være implisert.

For en aG kan vi innføre forkortelsen an=aa...an elementer. Tilsvarende innfører vi an=a1a1...a1n elementer. Dermed oppnår vi sammenhengene

1. anam=an+m

2. (an)m=anm

3. a0=e

Eksempel 1

Heltallene Z med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved e=0 og inverser ved a1=a.

Lignende eksempler er de rasjonale tallene Q, de reelle tallene R og de komplekse tallene C.

Er R en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av R som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for Q, C og Z.

Eksempel 2

La X være en mengde, og la B(X) være en ikketom samling av undermengder av X. For U,VB(X), definer

UV={xUxV}

definer så

UV=(UV)(VU)

kalt den symmetriske differansen av U og V.

Da er (B(X),) en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er e= og U1=U for alle UB(X).

Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.

Elementære resultater

Forkortningslov

Anta at ab=ac eller ba=ca. Da er b=c


Bevis: b=a1ab=a1ac=c. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.

Identitetselementet er unikt

Anta at e1 og e2 er identitetselementer. Da har vi e1=e1e2=e2 .


Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element b slik at ab=a for en a, så er b=e.

Inverser er unike

Anta at ab=e. Da er b=a1. Anta at ca=e. Da er c=a1 og dermed er inverser unike.


Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.

Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte

For elementer a1,a2,...,an er verdien av produktet a1a2...an veldefinert.


Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på n.

Undergrupper

La (G,) være en gruppe, og la H være en ikketom undermengde av G, notert HG. Da kalles (H,) en undergruppe av (G,) dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over G, notert ved HG.

To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis H er en ikketriviell undergruppe av G skriver vi H<G.

Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper

De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, e må være et medlem i H, og for hvert element i H, må inversen også være et medlem.


Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: H er en under gruppe hvis og bare hvis for hver a,bH, så er ab1H.

Ettersom H ikke er tom, må det finnes et element aH. Dermed har vi at aa1=eH, ea1=a1H, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom bH, har vi b1H, så abH og H er dermed lukket.

Orden

Ordenen til en gruppe G defineres som kardinaliteten til mengden G, notert o(G). Hvis vi antar at aG og lar H={ai|iZ}, vil H være en abelsk undergruppe av G, og vi kaller da H undergruppen av G generert av a og skriver H=\<a. Vi kan da definere ordenen til et element aG som ordenen av undergruppen generert av a, det vil si o(a)o(H). Merk at a har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en nN slik at an=e, og o(a) er da den minste slike n.

Sykliske grupper

En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er (Z,+) generert av 1.

Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at G er generert av a, at H<G og at m er det minste positive heltallet slik at amH. Anta så at det finnes et annet element anH med m<n. Hvis m ikke deler n, kan ikke m være det minste positive heltallet slik at amH, ettersom anmH og 0<nm<m. Altså må m dele n. Dermed er H generert av am og er dermed syklisk.

Sideklasser

La H<G, og se på relasjonen abab1H. Dette er en ekvivalensrelasjon på mengden G. Ekvivalensklassene er gitt ved

[a]={bG|ab}={ha|hH}

For å se dette, merk at (h1a)(h2a)1=h1aa1h21=h1h21H.

Mengden {ha|hH} noteres Ha og kalles en høyre sideklasse til H


Alternativt kan vi la aba1bH. Ekvivalensklassene blir da

[a]={ah|hH}=aH

som kalles en venste sideklasse til H.


Ettersom er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:

1. aHHa=H

2. bHaHa=Hb

3. hHH(ha)=Ha

4. HaHbHa=Hb

5. Mengden av høyre sideklasser av H partisjonerer G.

6. a og b tilhører samme sideklasse kun hvis ab1H.

Lagranges Teorem

La aG. Da er funksjonen f:HHa gitt ved f(h)=ah en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom H er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.


Lagranges teorem sier at dersom HG og o(G)<, så er o(H) en divisor til o(G).

Beviset er elementært når vi vet at o(H)=o(Ha)=o(aH) for alle aG. Vi vet at sideklassene til H partisjonerer G. Anta derfor at

G=H(Ha1)(Ha2)...(Hat1)

da følger det at

o(G)=o(H)+|Ha1|+|Ha2|+...+|Hat1|=to(H)

som beviser teoremet.


Indeksen til en undergruppe HG defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til H i G og noteres som [G:H].

For å se at H har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen f(Ha)=a1H, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.

Verdien til [G:H] er lik tallet t i beviset av Lagranges teorem over, slik at

o(G)=[G:H]o(H)

eller

[G:H]=o(G)o(H)


Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:

1. Hvis o(G)< og aG, så er o(a) en divisor til o(G).

2. Hvis o(G)<, så er ao(G)=e for alle aG.

3. La p være et primtall. Da er alle grupper med orden p sykliske.

Normale undergrupper og kvotientgrupper

La HG. Da er følgende utsagn ekvivalente.

1. Hvis aG, så er aHa1=H

2. Hvis aG, så er aHa1H

3. Hvis aG, så er aH=Ha

4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.

En undergruppe H som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til G.

For enhver gruppe G er G selv og {e} normale undergrupper. Hvis G i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.

Kvotientgrupper

Hvis NG er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til N på følgende måte.

La G/N være mengden av alle sideklasser til N. Dersom S1=Na og S2=Nb, definer produktet S1S2=(Na)(Nb)=N(ab). Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er N og inverser er gitt ved (Na)1=Na1. Dersom o(G)<, har vi i tillegg at o(G/N)=o(G)o(N).

Homomorfier

La (G,) og (H,) være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra G til H er en transformasjon

ϕ:GH

som bevarer gruppestrukturen, dvs.

ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)


La G og H ha identitetselementer e og e¯. Definer kjernen til en homomorfi som

\texker(ϕ)={aG:ϕ(a)=e¯}=ϕ1(e¯)

De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.

1. ϕ(e)=e¯

2. ϕ(a1)=ϕ(a)1

3. Dersom A er en undergruppe av G, er ϕ(A) en undergruppe av H. Det følger at R(ϕ)={ϕ(a):aG} er en undergruppe av H.

4. Dersom B er en undergruppe av B, er ϕ1(B) en undergruppe av G

5. Dersom ϕ er injektiv, er ker(ϕ)={e}

6. ker(ϕ) er en normal undergruppe til G

7. Dersom hH, er ϕ1(h) en sideklasse av ker(ϕ)

8. Komposisjonen av to homomorfier ϕ1:GH og ϕ2:HK er en ny homomorfi ϕ2ϕ1:GK

9. Dersom ϕ er en bijeksjon, er ϕ1:HG en homomorfi, og ϕ kalles da en isomorfi og vi skriver GH. Hvis G=H kalles ϕ en automorfi.

10. La ϕ være en isomorfi. Da er:

i) AG hvis og bare hvis ϕ(A)H
ii) AG er en normal undergruppe hvis og bare hvis f(A)H er en normal undergruppe.
iii) G er syklisk hvis og bare hvis H er syklisk.

Det første isomorfiteoremet

Anta at NG er en normal undergruppe. Da er

π:GG/N

definert ved π(a)=Ha en surjektiv homomorfi med kjerne ker(π)=N.

Hvis i tillegg ϕ:GH er en surjektiv homomorfi med kjerne N, har vi GH.

Bevis:
Ettersom ϕ har kjerne N vil førbildet av enhver hH være et sideklasse av N:
ϕ1(h)=Ng for en gG.
Anta at h1,h2H og ϕ1(h1)=ϕ1(h2)=Ng. Da har vi at h1=ϕ(ϕ1(h1))=ϕ(ϕ1(h2))=h2, så πϕ1 er en injektiv homomorfi fra H til G/N.
Anta videre at NgG/N. Ettersom ϕ er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en hH slik at ϕ(g)=h, og dermed er πϕ1(h)=Ng, altså er πϕ1 en surjektiv homomorfi.
Ettersom πϕ1:HG/N er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at HG/N som skulle bevises.


Generellt gjelder det at dersom ϕ:GH er en homomorfi, så er G/ker(ϕ)R(ϕ)

Senteret til en gruppe

Se på funksjonen ϕ(a)=φa:GG slik at φa(g)=aga1 for alle a,gG

Da er φa en isomorfi fra G til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen φa kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på G (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres Inn(G).

Dermed er ϕ en homomorfi fra G til Inn(G).

Kjernen til ϕ er gitt ved ZG={aG:ag=gagG}, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i G. Dette er en normal undergruppe til G og kalles senteret til G.

Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at G/Z(G)Inn(G).


Dersom G/Z(G) er syklisk, er G en abelsk gruppe, og dermed er G=Z(G) og G/Z(G) er triviell.

Ytre produkter av grupper

La G og G være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par G×H={(g,h):gGhH}

Med operasjonen definert slik at (g1,h1)(g2,h2)=(g1g2,h1h2), der g. ene multipliseres i G osv, blir dette en gruppe.

Undergrupper

Hvis G×H er et produkt av grupper, så er A×B, der AG og BH en undergruppe. Alle undergruppene til G×H kan skrives på denne formen.

Spesiellt har vi de normale undergruppene G×{e¯} og {e}×H, som er isomorfe til henholdsvis G og H. Dermed er både G og H normale undergrupper til G×H.

Definer projeksjonshomomorfien πG((g,h))=(g,e¯) for alle gG,hH. Da har πG kjerne {e}×HH og verdimengde G×{e¯}G, så ved det første isomorfiteoremet har vi at G×HHG, og på samme måte at G×HGH, noe man skulle forvente.

Gruppen (Z,+)

I denne seksjonen vil vi studere spesiellt nøye gruppen av heltall under addisjon, og ta i bruk alt fra tidligere seksjoner.

Vi vil studere (Z,+), som heretter noteres som Z.

Akkurat som vi for generelle grupper noterte an=aa...an elementer vil vi her notere na=a+a+...+an elementer

Undergrupper og kvotienter

For det første er denne gruppen abelsk, så enhver undergruppe er normal.

Vi kan notere ved nZ undergruppen av Z bestående av tall som er delelige på n. Homomorfien som definerer den er

mn(a)=na der a,nZ.

Et teorem i tallteori sier at enhver undergruppe av Z er på denne formen.

For å se dette, anta at a er det minste positive elementet i G<Z, og at det finnes et element bG slik at b>a. Da kan b skrives unikt på formen b=as+r, der r,sZ og 0r<|a|. Antagelsken er at r0, men ettersom G er lukket under addisjon, betyr dette at bas=rG, som er en motsigelse fordi a er det minste positive elementet i Z. Altså må r=0 og G=aZ.


Sideklassene til nZ blir altså på formen b+nZ der b[0,n1]Z.

Symmetrigruppen på n elementer