Gruppeteori: Forskjell mellom sideversjoner
m Teksterstatting – «</tex>» til «</math>» |
|||
(45 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 3: | Linje 3: | ||
==Definisjon== | ==Definisjon== | ||
La < | La <math>G</math> være en ikketom mengde med <math>a,b,c\in G</math> og med en definert operasjon <math>*</math>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper: | ||
1. < | 1. <math>a*b\in G</math> (Lukkethet under multiplikasjon) | ||
2. < | 2. <math>(a*b)*c=a*(b*c)</math> (Assosiativitet) | ||
3. < | 3. <math>\exists e \in G</math> slik at <math>e*a=a*e=a</math> (Eksistens av identitetselement) | ||
4. < | 4. <math>\exists a^{-1} \forall a</math> slik at <math>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</math> (Eksistens av inverser) | ||
5. < | 5. <math>a*b=b*a</math> | ||
En gruppe < | En gruppe <math>G</math> med operasjon <math>*</math> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <math>(G,*)</math>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive | ||
For en | |||
1. | |||
2. | |||
3. | |||
===Eksempel 1=== | |||
Heltallene | |||
Lignende eksempler er de rasjonale tallene | |||
''Er | |||
===Eksempel 2=== | |||
La | |||
definer så | |||
kalt den symmetriske differansen av | |||
Da er | |||
Vi overlater til leseren å vise assosiativitet. | |||
==Elementære resultater== | ==Elementære resultater== | ||
Linje 23: | Linje 55: | ||
===Forkortningslov=== | ===Forkortningslov=== | ||
Anta at < | Anta at <math>a*b=a*c</math> eller <math>b*a=c*a</math>. Da er <math>b=c</math> | ||
Bevis: < | Bevis: <math>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</math>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende. | ||
===Identitetselementet er unikt=== | ===Identitetselementet er unikt=== | ||
Anta at < | Anta at <math>e_1</math> og <math>e_2</math> er identitetselementer. Da har vi <math>e_1=e_1*e_2=e_2</math> . | ||
Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element < | Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <math>b</math> slik at <math>a*b=a</math> for en <math>a</math>, så er <math>b=e</math>. | ||
===Inverser er unike=== | ===Inverser er unike=== | ||
Anta at < | Anta at <math>a*b=e</math>. Da er <math>b=a^{-1}</math>. Anta at <math>c*a=e</math>. Da er <math>c=a^{-1}</math> og dermed er inverser unike. | ||
Linje 44: | Linje 76: | ||
===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte=== | ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte=== | ||
For elementer < | For elementer <math>a_1, a_2,..., a_n</math> er verdien av produktet <math>a_1*a_2*...*a_n</math> veldefinert. | ||
Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på < | Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <math>n</math>. | ||
==Undergrupper== | ==Undergrupper== | ||
La | |||
To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis | |||
===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper=== | |||
De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, | |||
Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: | |||
Ettersom | |||
==Orden== | |||
Ordenen til en gruppe | |||
===Sykliske grupper=== | |||
En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er | |||
Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at | |||
==Sideklasser== | |||
La | |||
For å se dette, merk at | |||
Mengden | |||
Alternativt kan vi la | |||
som kalles en venste sideklasse til | |||
Ettersom | |||
1. | |||
2. | |||
3. | |||
4. | |||
5. Mengden av høyre sideklasser av | |||
6. | |||
===Lagranges Teorem=== | |||
La | |||
Lagranges teorem sier at dersom | |||
Beviset er elementært når vi vet at | |||
da følger det at | |||
som beviser teoremet. | |||
Indeksen til en undergruppe | |||
For å se at | |||
Verdien til | |||
eller | |||
Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser: | |||
1. Hvis | |||
2. Hvis | |||
3. La | |||
==Normale undergrupper og kvotientgrupper== | |||
La | |||
1. Hvis | |||
2. Hvis | |||
3. Hvis | |||
4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt. | |||
En undergruppe | |||
For enhver gruppe | |||
===Kvotientgrupper=== | |||
Hvis | |||
La | |||
==Homomorfier== | |||
La | |||
som bevarer gruppestrukturen, dvs. | |||
La | |||
De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier. | |||
1. | |||
2. | |||
3. Dersom | |||
4. Dersom | |||
5. Dersom | |||
6. | |||
7. Dersom | |||
8. Komposisjonen av to homomorfier | |||
9. Dersom | |||
10. La | |||
: i) | |||
: ii) | |||
: iii) | |||
===Det første isomorfiteoremet=== | |||
Anta at | |||
definert ved | |||
Hvis i tillegg | |||
: ''Bevis:'' | |||
: Ettersom | |||
: | |||
: Anta at | |||
: Anta videre at | |||
: Ettersom | |||
Generellt gjelder det at dersom | |||
===Senteret til en gruppe=== | |||
Se på funksjonen | |||
Da er | |||
Dermed er | |||
Kjernen til | |||
Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at | |||
Dersom | |||
==Ytre produkter av grupper== | |||
La | |||
Med operasjonen | |||
===Undergrupper=== | |||
Hvis | |||
Spesiellt har vi de normale undergruppene | |||
Definer projeksjonshomomorfien | |||
==Gruppen (Z,+)== | |||
I denne seksjonen vil vi studere spesiellt nøye gruppen av heltall under addisjon, og ta i bruk alt fra tidligere seksjoner. | |||
Vi vil studere | |||
Akkurat som vi for generelle grupper noterte | |||
===Undergrupper og kvotienter=== | |||
For det første er denne gruppen abelsk, så enhver undergruppe er normal. | |||
Vi kan notere ved | |||
Et teorem i tallteori sier at enhver undergruppe av | |||
For å se dette, anta at | |||
Sideklassene til | |||
==Symmetrigruppen på n elementer== | |||
[[Kategori:Algebra]] |
Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58
Gruppeteori er en gren av Algebra og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.
Definisjon
La
1.
2.
3.
4.
5.
En gruppe
For en
1.
2.
3.
Eksempel 1
Heltallene
Lignende eksempler er de rasjonale tallene
Er
Eksempel 2
La
definer så
kalt den symmetriske differansen av
Da er
Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.
Elementære resultater
Forkortningslov
Anta at
Bevis:
Identitetselementet er unikt
Anta at
Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element
Inverser er unike
Anta at
Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.
Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte
For elementer
Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på
Undergrupper
La
To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis
Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper
De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket,
Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig:
Ettersom
Orden
Ordenen til en gruppe
Sykliske grupper
En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er
Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at
Sideklasser
La
For å se dette, merk at
Mengden
Alternativt kan vi la
som kalles en venste sideklasse til
Ettersom
1.
2.
3.
4.
5. Mengden av høyre sideklasser av
6.
Lagranges Teorem
La
Lagranges teorem sier at dersom
Beviset er elementært når vi vet at
da følger det at
som beviser teoremet.
Indeksen til en undergruppe
For å se at
Verdien til
eller
Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:
1. Hvis
2. Hvis
3. La
Normale undergrupper og kvotientgrupper
La
1. Hvis
2. Hvis
3. Hvis
4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.
En undergruppe
For enhver gruppe
Kvotientgrupper
Hvis
La
Homomorfier
La
som bevarer gruppestrukturen, dvs.
La
De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.
1.
2.
3. Dersom
4. Dersom
5. Dersom
6.
7. Dersom
8. Komposisjonen av to homomorfier
9. Dersom
10. La
- i)
hvis og bare hvis - ii)
er en normal undergruppe hvis og bare hvis er en normal undergruppe. - iii)
er syklisk hvis og bare hvis er syklisk.
Det første isomorfiteoremet
Anta at
definert ved
Hvis i tillegg
- Bevis:
- Ettersom
har kjerne vil førbildet av enhver være et sideklasse av :
for en .
- Anta at
og . Da har vi at , så er en injektiv homomorfi fra til .
- Anta videre at
. Ettersom er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en slik at , og dermed er , altså er en surjektiv homomorfi.
- Ettersom
er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at som skulle bevises.
Generellt gjelder det at dersom
Senteret til en gruppe
Se på funksjonen
Da er
Dermed er
Kjernen til
Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at
Dersom
Ytre produkter av grupper
La
Med operasjonen
Undergrupper
Hvis
Spesiellt har vi de normale undergruppene
Definer projeksjonshomomorfien
Gruppen (Z,+)
I denne seksjonen vil vi studere spesiellt nøye gruppen av heltall under addisjon, og ta i bruk alt fra tidligere seksjoner.
Vi vil studere
Akkurat som vi for generelle grupper noterte
Undergrupper og kvotienter
For det første er denne gruppen abelsk, så enhver undergruppe er normal.
Vi kan notere ved
Et teorem i tallteori sier at enhver undergruppe av
For å se dette, anta at
Sideklassene til