Figurer i rommet: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
m Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»
 
(92 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 15: Linje 15:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">


O = 2 · Grunnflate + OmkretsGrunnflate · høyde = 2G + OGh
O = 2 · Grunnflate + Omkrets Av Grunnflate · høyde  
</blockquote>
</blockquote>


== Terning ==
== Terning ==
<p></p>
[[Bilde:3d1.png]]<p></p>






En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen = a kan terningen se slik ut:
En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. En terning er et spesialtillfelle av et prisme. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen er lik a, kan terningen se slik ut:
<p></p>
[[Bilde:Kube3.PNG]]<p></p>


   
   
Linje 31: Linje 31:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">


<tex>O = 6a^2</tex>
<math>O = 6a^2</math>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks:'''<p></p>
En terning har sidekanter seks centimeter. Hva er overflaten av terningen?<p></p>
O=6(6cm)2=216cm2
</blockquote>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks:'''<p></p>
En tening har en overflate på 432cm2. Hvor lange er sidekantene i terningen?<p></p>
<math>O = 6a^2 \Rightarrow a = \sqrt{\frac O6} = \sqrt{ \frac{432cm^2}{6}}= 8,5cm</math>
</blockquote>
</blockquote>


Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som:
Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">


<tex>V = a\cdot a \cdot a = a^3</tex>
<math>V = a\cdot a \cdot a = a^3</math>
</blockquote>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks:'''<p></p>
Sidekantene i en terning er 2cm. Hva er volumet av terningen?<p></p>
V=aaa=a3=(2cm)3=8cm3
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks'''<p></p>
En kube har et volum på 125cm3. Hva er lengden av en sidekant?<p></p>
V=aaa=a3a=V3=125cm33=5cm
</blockquote>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B3B%2BB3C%2BB3D%2BB3E%2BB3F%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Prisme ==
== Prisme ==
<p></p>
 
[[Bilde:3d2.png]]<p></p>




Linje 48: Linje 74:
Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut:
Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut:


<p></p>
[[Bilde:3d2.png]]<p></p>


Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet.
Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet.


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">


Grunnflate = lengde · bredde = l · b
Grunnflate = lengde · bredde = l · b
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h
Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks:'''<p></p>
Et rett prisme har siden 4cm, 10cm og 20cm. Hva er volumet av prismet?<p></p>
V = Grunnflate · h = l · b · h  vi får:<p></p>
V=lbh=4cm10cm20cm=800cm3<p></p>
(Hva man kaller for bredde, lengde og høyde spiller egentlig ingen rolle, for et rett firkantet prisme. Det kommer jo an på hvordan prismet står eller ligger. Grunnflaten er den siden som vender ned mot jorden)
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks:'''<p></p>
Volumet av et rett firkantet prisme er 200 kubikkcentimeter. Høyden er 5 cm og bredden er 2cm. Hva er lengden av prismet?<p></p>
V=lbhl=Vbh=200cm32cm5cm=20cm 
</blockquote>


Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir:
Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Overflate: O = 2lb + 2lh + 2bh
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
Et firkantet prisme har høyden 12cm. Sidene i grunnflaten er henholdsvis 10cm og 20 cm. Hva er overflaten av prismet?
<p></p>Siden to og to sider er like store får vi:
O=210cm20cm+210cm12cm+220cm12cm=400cm2+240cm2+480cm2=1120cm2
</blockquote>


Overflate: O = 2lb + 2lh + 2bh
Dette er også et prisme:<p></p>
[[Bilde:Prisme3.PNG]]<p></p>
 
 
 
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B4A%2BB4B%2BB4C%2BB4D%2BB4E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Sylinder ==
== Sylinder ==
Linje 68: Linje 127:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">


<tex>V = Gh= \pi \cdot r^2 \cdot h  </tex></blockquote>
<math>V = Gh= \pi \cdot r^2 \cdot h  </math></blockquote>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks:'''<p></p>
En sylinder har høyde 20 cm og radius 5cm. Hva er volumet?<p></p>
V=Gh=πr2h=π(5cm)220cm=1570,8cm3=1,57dm3=1,57liter</blockquote>
 
 
Overflate:<p></p>
Overflate:<p></p>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">


<tex> O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </tex></blockquote> <p></p>
<math> O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </math></blockquote> <p></p>
Man regner her med at sylinderen har et lokk, altså en overflate på toppen også. Dersom den ikke har det blir overflaten:<p></p>
Man regner her med at sylinderen har et lokk, altså en overflate på toppen også. Dersom den ikke har det blir overflaten:<p></p>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">


<tex> O =  \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </tex><p></p>
<math> O =  \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </math><p></p>
</blockquote>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
En tank har form som en sylinder. Den har form som vist på figuren. Hva er overflaten av tanken?<p></p>
[[Bilde:Tank.PNG]]
O=πr2+2πrh=π(4m)2+2π4m12m=352m2<p></p>
</blockquote>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B45%2BB46%2BB47%2BB48%2BB49%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Pyramide ==
== Pyramide ==
<p></p>
<p></p>
[[Bilde:kvadpyd.png]]<p></p>
[[Bilde:kvadpyd.png]]<p></p>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
'''Volum:'''<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
V=13Gh  </blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
En pyramide har en rektangulær grunnflate med sider 4,0 cm og 2,0cm. Høyden er 10,0 cm. Hva er volumet av pyramiden?<p></p>
V=13Gh=13(4,0cm2,0cm)10,0cm=26,7cm3 </blockquote>


<tex>V  </tex></blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
'''Eksempel'''<p></p>
En pyramide har høyde 12,0cm. Volumet er 30cm3. Grunnflaten er et kvadrat. Hvor lang er en side i kvadratet?<p></p>
Vi finner først arealet av grunnflaten:<p></p>
V=13GhG=3Vh=330cm212,0cm=7,5cm2
<p></p>
Ved å ta kvadratroten av 7,5cm2 finner man at sidene i kvadratet er 2,7cm.
</blockquote>


<tex>V </tex></blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
Overflaten av en pyramide er summen av alle sidenes areal.
</blockquote>
</blockquote>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B4F%2BB50%2BB51%2BB52%2BB53%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Kjegle ==
== Kjegle ==
<p></p>
<p></p>
[[Bilde:kon.png]]<p></p>
[[Bilde:kon.png]]<p></p>
'''Volum:'''<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
V=13πr2h </blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
En kjegle har en grunnflate med radius 5cm. Høyden i kjeglen er 12 cm. Hva er volumet av kjeglen?<p></p>
V=13πr2h=13π(5cm)212cm=314cm3  </blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
En kjegle med volum 400cm3 har høyden 4cm. Hva er radiusen i kjeglens grunnflate?<p></p>
<math>V = \frac{1}{3}\pi r^2h \quad  \Rightarrow \quad  400cm^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 4cm \quad \Rightarrow \quad
r^2 = \frac{3 \cdot 400cm^3}{4cm}\quad \Rightarrow \quad r= 17,3 cm  </math>  </blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
En kjegle har en grunnflate med radius 6cm og et volum på 300cm3. Hva er kjeglens høyde?<p></p>
V=13πr2hh=3Vπr2h=3300cm3π36cm2=8cm</blockquote>
'''Overflate:'''<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
0=πr2+πrs<p></p>
s er siden av kjeglen og finnes ved å bruke pytagoras:<p></p>
s=h2+r2
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
En kjegle har høyde 4cm og radiusen i grunnflaten er 3 cm. Hva er kjeglens overflate?<p></p>
Finner først s:<p></p>
s=r2+h2=9cm2+16cm2=5cm<p></p>
Overflaten blir da:<p></p>
0=πr2+πrs=π(3cm)2+π3cm5cm=75,4cm2<p></p>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
[[Bilde:Kjegle1.PNG]]
Finn overflatearealet og volumet av kjeglen.<p></p>
Her kjenner vi S og r og finner høyden h ved å bruke pytagoras: <p></p>
h=(10cm)2(7cm)2=7,14cm<p></p>
Volumet blir:<p></p>
V=13πr2h=13π(7cm)27,14cm=366cm3
<p></p>
Overflaten blir:<p></p>
0=πr2+πrs=π(7cm)2+π7cm10cm=374cm2<p></p>
</blockquote>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B40%2BB41%2BB42%2BB43%2BB44%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


== Kule ==
== Kule ==
<p></p>
<p></p>
[[Bilde:kule.png]]<p></p>
[[Bilde:kule.png]]<p></p>
Volum:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
V=43πr3</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
En kule har radius 4 cm. Hva er volumet?<p></p>
V=43π(4cm)3=268,1cm3
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
En kule har volum 712cm3. Hva er radiusen?<p></p>
<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3 \  r = \sqr[3]{\frac{2V}{4 \pi}} \
r = \sqr[3]{\frac{3 \cdot 268,1 cm^3}{4 \pi}} = 4</math>
</blockquote>
Overflate:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
O=4πr2</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
En kule har radius 6 cm. Hva er overflaten?<p></p>
O=4πr2=4π(6cm)2=452,4cm2
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel'''<p></p>
En kule har overflate 400cm2. Hva er diameteren?<p></p>
O=4πr2r=sqrtO4πr=sqrt400cm24π=5,64
<p></p>d = 2r = 11,3 cm.
</blockquote>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=AB1%2BAB2%2BAB3%2BAB4%2BAB5%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]





Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58

Volum og Overflate


Dersom grunnflaten G og toppflaten T er to parallelle, kongruente plan er volumet gitt ved:

V = Grunnflate · høyde = G · h

Legemets overflate er gitt ved:

O = 2 · Grunnflate + Omkrets Av Grunnflate · høyde

Terning

En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. En terning er et spesialtillfelle av et prisme. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen er lik a, kan terningen se slik ut:


Overflaten av en terning blir summen av de seks kvadratenes areal:

O=6a2

Eks:

En terning har sidekanter seks centimeter. Hva er overflaten av terningen?

O=6(6cm)2=216cm2

Eks:

En tening har en overflate på 432cm2. Hvor lange er sidekantene i terningen?

O=6a2a=O6=432cm26=8,5cm


Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som:

V=aaa=a3

Eks:

Sidekantene i en terning er 2cm. Hva er volumet av terningen?

V=aaa=a3=(2cm)3=8cm3

Eks

En kube har et volum på 125cm3. Hva er lengden av en sidekant?

V=aaa=a3a=V3=125cm33=5cm


Test deg selv

Prisme

Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut:

Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet.

Grunnflate = lengde · bredde = l · b

Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h

Eks:

Et rett prisme har siden 4cm, 10cm og 20cm. Hva er volumet av prismet?

V = Grunnflate · h = l · b · h vi får:

V=lbh=4cm10cm20cm=800cm3

(Hva man kaller for bredde, lengde og høyde spiller egentlig ingen rolle, for et rett firkantet prisme. Det kommer jo an på hvordan prismet står eller ligger. Grunnflaten er den siden som vender ned mot jorden)

Eks:

Volumet av et rett firkantet prisme er 200 kubikkcentimeter. Høyden er 5 cm og bredden er 2cm. Hva er lengden av prismet?

V=lbhl=Vbh=200cm32cm5cm=20cm

Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir:

Overflate: O = 2lb + 2lh + 2bh

Et firkantet prisme har høyden 12cm. Sidene i grunnflaten er henholdsvis 10cm og 20 cm. Hva er overflaten av prismet?

Siden to og to sider er like store får vi:

O=210cm20cm+210cm12cm+220cm12cm=400cm2+240cm2+480cm2=1120cm2

Dette er også et prisme:


Test deg selv

Sylinder

Volum:

V=Gh=πr2h

Eks:

En sylinder har høyde 20 cm og radius 5cm. Hva er volumet?

V=Gh=πr2h=π(5cm)220cm=1570,8cm3=1,57dm3=1,57liter


Overflate:

O=2πr2+2πrh

Man regner her med at sylinderen har et lokk, altså en overflate på toppen også. Dersom den ikke har det blir overflaten:

O=πr2+2πrh

En tank har form som en sylinder. Den har form som vist på figuren. Hva er overflaten av tanken?

O=πr2+2πrh=π(4m)2+2π4m12m=352m2


Test deg selv

Pyramide

Volum:

V=13Gh

Eksempel

En pyramide har en rektangulær grunnflate med sider 4,0 cm og 2,0cm. Høyden er 10,0 cm. Hva er volumet av pyramiden?

V=13Gh=13(4,0cm2,0cm)10,0cm=26,7cm3

Eksempel

En pyramide har høyde 12,0cm. Volumet er 30cm3. Grunnflaten er et kvadrat. Hvor lang er en side i kvadratet?

Vi finner først arealet av grunnflaten:

V=13GhG=3Vh=330cm212,0cm=7,5cm2

Ved å ta kvadratroten av 7,5cm2 finner man at sidene i kvadratet er 2,7cm.

Overflaten av en pyramide er summen av alle sidenes areal.

Test deg selv

Kjegle

Volum:

V=13πr2h

Eksempel

En kjegle har en grunnflate med radius 5cm. Høyden i kjeglen er 12 cm. Hva er volumet av kjeglen?

V=13πr2h=13π(5cm)212cm=314cm3

Eksempel

En kjegle med volum 400cm3 har høyden 4cm. Hva er radiusen i kjeglens grunnflate?

<math>V = \frac{1}{3}\pi r^2h \quad \Rightarrow \quad 400cm^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 4cm \quad \Rightarrow \quad

r^2 = \frac{3 \cdot 400cm^3}{4cm}\quad \Rightarrow \quad r= 17,3 cm </math>

Eksempel

En kjegle har en grunnflate med radius 6cm og et volum på 300cm3. Hva er kjeglens høyde?

V=13πr2hh=3Vπr2h=3300cm3π36cm2=8cm


Overflate:

0=πr2+πrs

s er siden av kjeglen og finnes ved å bruke pytagoras:

s=h2+r2

Eksempel

En kjegle har høyde 4cm og radiusen i grunnflaten er 3 cm. Hva er kjeglens overflate?

Finner først s:

s=r2+h2=9cm2+16cm2=5cm

Overflaten blir da:

0=πr2+πrs=π(3cm)2+π3cm5cm=75,4cm2

Eksempel

Finn overflatearealet og volumet av kjeglen.

Her kjenner vi S og r og finner høyden h ved å bruke pytagoras:

h=(10cm)2(7cm)2=7,14cm

Volumet blir:

V=13πr2h=13π(7cm)27,14cm=366cm3

Overflaten blir:

0=πr2+πrs=π(7cm)2+π7cm10cm=374cm2



Test deg selv

Kule

Volum:

V=43πr3

Eksempel

En kule har radius 4 cm. Hva er volumet?

V=43π(4cm)3=268,1cm3

Eksempel

En kule har volum 712cm3. Hva er radiusen?

V=43πr3r=\sqr[3]2V4πr=\sqr[3]3268,1cm34π=4


Overflate:

O=4πr2

Eksempel

En kule har radius 6 cm. Hva er overflaten?

O=4πr2=4π(6cm)2=452,4cm2

Eksempel

En kule har overflate 400cm2. Hva er diameteren?

O=4πr2r=sqrtO4πr=sqrt400cm24π=5,64

d = 2r = 11,3 cm.

Test deg selv




Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside