Figurer i rommet: Forskjell mellom sideversjoner
m Teksterstatting – «</tex>» til «</math>» |
|||
(92 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 15: | Linje 15: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
O = 2 · Grunnflate + | O = 2 · Grunnflate + Omkrets Av Grunnflate · høyde | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
== Terning == | == Terning == | ||
En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen | En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. En terning er et spesialtillfelle av et prisme. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen er lik a, kan terningen se slik ut: | ||
<p></p> | |||
[[Bilde:Kube3.PNG]]<p></p> | |||
Linje 31: | Linje 31: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
< | <math>O = 6a^2</math> | ||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eks:'''<p></p> | |||
En terning har sidekanter seks centimeter. Hva er overflaten av terningen?<p></p> | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eks:'''<p></p> | |||
En tening har en overflate på | |||
<math>O = 6a^2 \Rightarrow a = \sqrt{\frac O6} = \sqrt{ \frac{432cm^2}{6}}= 8,5cm</math> | |||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som: | Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
< | <math>V = a\cdot a \cdot a = a^3</math> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eks:'''<p></p> | |||
Sidekantene i en terning er 2cm. Hva er volumet av terningen?<p></p> | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eks'''<p></p> | |||
En kube har et volum på | |||
</blockquote> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B3B%2BB3C%2BB3D%2BB3E%2BB3F%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Prisme == | == Prisme == | ||
Linje 48: | Linje 74: | ||
Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut: | Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut: | ||
<p></p> | |||
[[Bilde:3d2.png]]<p></p> | |||
Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet. | Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet. | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
Grunnflate = lengde · bredde = l · b | Grunnflate = lengde · bredde = l · b | ||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h | Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h | ||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eks:'''<p></p> | |||
Et rett prisme har siden 4cm, 10cm og 20cm. Hva er volumet av prismet?<p></p> | |||
V = Grunnflate · h = l · b · h vi får:<p></p> | |||
(Hva man kaller for bredde, lengde og høyde spiller egentlig ingen rolle, for et rett firkantet prisme. Det kommer jo an på hvordan prismet står eller ligger. Grunnflaten er den siden som vender ned mot jorden) | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eks:'''<p></p> | |||
Volumet av et rett firkantet prisme er 200 kubikkcentimeter. Høyden er 5 cm og bredden er 2cm. Hva er lengden av prismet?<p></p> | |||
</blockquote> | |||
Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir: | Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
Overflate: O = 2lb + 2lh + 2bh | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
Et firkantet prisme har høyden 12cm. Sidene i grunnflaten er henholdsvis 10cm og 20 cm. Hva er overflaten av prismet? | |||
<p></p>Siden to og to sider er like store får vi: | |||
</blockquote> | |||
Dette er også et prisme:<p></p> | |||
[[Bilde:Prisme3.PNG]]<p></p> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B4A%2BB4B%2BB4C%2BB4D%2BB4E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Sylinder == | == Sylinder == | ||
Linje 68: | Linje 127: | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
< | <math>V = Gh= \pi \cdot r^2 \cdot h </math></blockquote> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eks:'''<p></p> | |||
En sylinder har høyde 20 cm og radius 5cm. Hva er volumet?<p></p> | |||
Overflate:<p></p> | Overflate:<p></p> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
< | <math> O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </math></blockquote> <p></p> | ||
Man regner her med at sylinderen har et lokk, altså en overflate på toppen også. Dersom den ikke har det blir overflaten:<p></p> | Man regner her med at sylinderen har et lokk, altså en overflate på toppen også. Dersom den ikke har det blir overflaten:<p></p> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
< | <math> O = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h </math><p></p> | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
En tank har form som en sylinder. Den har form som vist på figuren. Hva er overflaten av tanken?<p></p> | |||
[[Bilde:Tank.PNG]] | |||
</blockquote> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B45%2BB46%2BB47%2BB48%2BB49%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Pyramide == | == Pyramide == | ||
<p></p> | <p></p> | ||
[[Bilde:kvadpyd.png]]<p></p> | [[Bilde:kvadpyd.png]]<p></p> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | '''Volum:'''<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
En pyramide har en rektangulær grunnflate med sider 4,0 cm og 2,0cm. Høyden er 10,0 cm. Hva er volumet av pyramiden?<p></p> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted | '''Eksempel'''<p></p> | ||
En pyramide har høyde 12,0cm. Volumet er | |||
Vi finner først arealet av grunnflaten:<p></p> | |||
<p></p> | |||
Ved å ta kvadratroten av | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | ||
Overflaten av en pyramide er summen av alle sidenes areal. | |||
</blockquote> | </blockquote> | ||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B4F%2BB50%2BB51%2BB52%2BB53%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Kjegle == | == Kjegle == | ||
<p></p> | <p></p> | ||
[[Bilde:kon.png]]<p></p> | [[Bilde:kon.png]]<p></p> | ||
'''Volum:'''<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
En kjegle har en grunnflate med radius 5cm. Høyden i kjeglen er 12 cm. Hva er volumet av kjeglen?<p></p> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
En kjegle med volum | |||
<math>V = \frac{1}{3}\pi r^2h \quad \Rightarrow \quad 400cm^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 4cm \quad \Rightarrow \quad | |||
r^2 = \frac{3 \cdot 400cm^3}{4cm}\quad \Rightarrow \quad r= 17,3 cm </math> </blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
En kjegle har en grunnflate med radius 6cm og et volum på | |||
'''Overflate:'''<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
s er siden av kjeglen og finnes ved å bruke pytagoras:<p></p> | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
En kjegle har høyde 4cm og radiusen i grunnflaten er 3 cm. Hva er kjeglens overflate?<p></p> | |||
Finner først s:<p></p> | |||
Overflaten blir da:<p></p> | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
[[Bilde:Kjegle1.PNG]] | |||
Finn overflatearealet og volumet av kjeglen.<p></p> | |||
Her kjenner vi S og r og finner høyden h ved å bruke pytagoras: <p></p> | |||
Volumet blir:<p></p> | |||
<p></p> | |||
Overflaten blir:<p></p> | |||
</blockquote> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B40%2BB41%2BB42%2BB43%2BB44%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
== Kule == | == Kule == | ||
<p></p> | <p></p> | ||
[[Bilde:kule.png]]<p></p> | [[Bilde:kule.png]]<p></p> | ||
Volum: | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
En kule har radius 4 cm. Hva er volumet?<p></p> | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
En kule har volum | |||
<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3 \ r = \sqr[3]{\frac{2V}{4 \pi}} \ | |||
r = \sqr[3]{\frac{3 \cdot 268,1 cm^3}{4 \pi}} = 4</math> | |||
</blockquote> | |||
Overflate: | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
En kule har radius 6 cm. Hva er overflaten?<p></p> | |||
</blockquote> | |||
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> | |||
'''Eksempel'''<p></p> | |||
En kule har overflate | |||
<p></p>d = 2r = 11,3 cm. | |||
</blockquote> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=AB1%2BAB2%2BAB3%2BAB4%2BAB5%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | |||
Siste sideversjon per 5. feb. 2013 kl. 20:58
Volum og Overflate
Dersom grunnflaten G og toppflaten T er to parallelle, kongruente plan er volumet gitt ved:
V = Grunnflate · høyde = G · h
Legemets overflate er gitt ved:
O = 2 · Grunnflate + Omkrets Av Grunnflate · høyde
Terning
En terning, eller kube, er en romfigur som avgrenses av seks kvadratiske flater. En terning er et spesialtillfelle av et prisme. Alle sidekantene har derfor samme lengde. Dersom sidekantene av terningen er lik a, kan terningen se slik ut:
Overflaten av en terning blir summen av de seks kvadratenes areal:
Eks:
En terning har sidekanter seks centimeter. Hva er overflaten av terningen?
Eks:
En tening har en overflate på
. Hvor lange er sidekantene i terningen?
Volumet av en terning er lengde ganger bredde ganger høyde. Siden disse har samme lengde kan vi skrive volumet som:
Eks:
Sidekantene i en terning er 2cm. Hva er volumet av terningen?
Eks
En kube har et volum på
. Hva er lengden av en sidekant?
Prisme
Et prisme er en romfigur der grunnflate og toppflate er like, og med rektangulære sideflater som står vinkelrett på grunnflaten. Det finnes altså prismer med svært forskjellig form. Et rett firkantet prisme kan se slik ut:
Arealet av prismets grunnflate er lengde gange bredde. Når vi multipliserer arealet av grunnflaten med høyden, finner vi volumet.
Grunnflate = lengde · bredde = l · b
Volum : V = Grunnflate · h = l · b · h
Eks:
Et rett prisme har siden 4cm, 10cm og 20cm. Hva er volumet av prismet?
V = Grunnflate · h = l · b · h vi får:
(Hva man kaller for bredde, lengde og høyde spiller egentlig ingen rolle, for et rett firkantet prisme. Det kommer jo an på hvordan prismet står eller ligger. Grunnflaten er den siden som vender ned mot jorden)
Eks:
Volumet av et rett firkantet prisme er 200 kubikkcentimeter. Høyden er 5 cm og bredden er 2cm. Hva er lengden av prismet?
Et rett firkantet prisme er avgrenset av flater hvor to og to er like. Overflaten blir:
Overflate: O = 2lb + 2lh + 2bh
Et firkantet prisme har høyden 12cm. Sidene i grunnflaten er henholdsvis 10cm og 20 cm. Hva er overflaten av prismet?
Siden to og to sider er like store får vi:
Dette er også et prisme:
Sylinder
Volum:
Eks:
En sylinder har høyde 20 cm og radius 5cm. Hva er volumet?
Overflate:
Man regner her med at sylinderen har et lokk, altså en overflate på toppen også. Dersom den ikke har det blir overflaten:
En tank har form som en sylinder. Den har form som vist på figuren. Hva er overflaten av tanken?
Pyramide
Volum:
Eksempel
En pyramide har en rektangulær grunnflate med sider 4,0 cm og 2,0cm. Høyden er 10,0 cm. Hva er volumet av pyramiden?
Eksempel
En pyramide har høyde 12,0cm. Volumet er
. Grunnflaten er et kvadrat. Hvor lang er en side i kvadratet? Vi finner først arealet av grunnflaten:
Ved å ta kvadratroten av
finner man at sidene i kvadratet er 2,7cm.
Overflaten av en pyramide er summen av alle sidenes areal.
Kjegle
Volum:
Eksempel
En kjegle har en grunnflate med radius 5cm. Høyden i kjeglen er 12 cm. Hva er volumet av kjeglen?
Eksempel
En kjegle med volum
har høyden 4cm. Hva er radiusen i kjeglens grunnflate? <math>V = \frac{1}{3}\pi r^2h \quad \Rightarrow \quad 400cm^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 4cm \quad \Rightarrow \quad
r^2 = \frac{3 \cdot 400cm^3}{4cm}\quad \Rightarrow \quad r= 17,3 cm </math>
Eksempel
En kjegle har en grunnflate med radius 6cm og et volum på
. Hva er kjeglens høyde?
Overflate:
s er siden av kjeglen og finnes ved å bruke pytagoras:
Eksempel
En kjegle har høyde 4cm og radiusen i grunnflaten er 3 cm. Hva er kjeglens overflate?
Finner først s:
Overflaten blir da:
Eksempel
Finn overflatearealet og volumet av kjeglen.
Her kjenner vi S og r og finner høyden h ved å bruke pytagoras:
Volumet blir:
Overflaten blir:
Kule
Volum:
Eksempel
En kule har radius 4 cm. Hva er volumet?
Eksempel
En kule har volum
. Hva er radiusen?
Overflate:
Eksempel
En kule har radius 6 cm. Hva er overflaten?
Eksempel
En kule har overflate
. Hva er diameteren?
d = 2r = 11,3 cm.