Forskjell mellom versjoner av «Parabel»
Linje 41: | Linje 41: | ||
(1) y2 = 2px | (1) y2 = 2px | ||
− | + | (Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.) | |
− | + | Et hvert punkt på parabelen vil ha lik avstand til styrelinjen og til punktet F. Det betyr at: | |
− | + | d1 = d1' | |
− | + | d2 = d2' | |
− | + | d3 = d3' | |
− | + | og så videre. | |
− | + | Eksentrisiteten til et kjeglesnitt er gitt som det konstante forholdet: | |
− | + | Avstand til brennpunkt delt på avstand til styrelinje. | |
− | + | Alle parabler har eksentrisitet 1. | |
− | + | Fra figuren ser vi at: | |
d1'/d1 = d2'/d2 = d3'/d3 = 1 | d1'/d1 = d2'/d2 = d3'/d3 = 1 | ||
Linje 65: | Linje 65: | ||
EKSEMPEL | EKSEMPEL | ||
− | + | La oss ta utgangspunkt i funksjonen | |
f(x) = -0,2x2 | f(x) = -0,2x2 | ||
− | + | Vi bytter f (x) med Y og får | |
− | + | Y = -0,2x2 | |
− | + | som gir: | |
− | + | x2 = -5Y | |
− | + | Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p: | |
− | + | x2 = 2(-5/2)Y | |
− | + | p er altså -5/4 hvilket betyr at koordinatene til F er (0,-5/4) som betyr at parabelen har sin åpning nedover. | |
Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet y = 5/4. | Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet y = 5/4. | ||
Linje 89: | Linje 89: | ||
Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man: | Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man: | ||
− | + | y2 = -5Y | |
− | + | y2 = 2(-5/2)x | |
Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen: | Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen: |
Revisjonen fra 19. jul. 2011 kl. 08:36
Parabelen tilhører familien av kurver som vi kaller for kjeglesnitt. Vi kan tenke oss at vi snitter en kjegle på følgende måte:
Snittflatens kant har form som en parabel.
En andregradsfunksjon kan generelt skrives som:
<tex>f(x) = ax^2 + bx + c</tex>
Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel.
Dersom a er større enn null vender parabelen sin hule side oppover (den "smiler").
Dersom a er mindre enn null vender parabelen sin hule side nedover (den er "sur").
En parabel er symmetrisk om en linje som går gjennom toppunktet eller bunnpunktet.
Symmetrilinjen er gitt ved:
<tex>x= \frac{-b}{2a} </tex>
Der a og b er konstantene fra andregradsfunksjonen.
LITT MER OM PARABELEN
Geometrisk sted
Geometrisk er en parabel mengden av alle punkter som ligger like langt fra en gitt linje og et gitt punkt. I matematisk litteratur fremstilles ofte parabelen med toppunktet enten til høyre eller til venstre. Om man tegner en vertikal styrelinje og et vilkårlig punkt F et sted i planet, men ikke på styrelinjen, kan det se slik ut:
Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, p/2. Parabelen kan da uttrykkes ved:
(1) y2 = 2px
(Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.)
Et hvert punkt på parabelen vil ha lik avstand til styrelinjen og til punktet F. Det betyr at:
d1 = d1'
d2 = d2'
d3 = d3'
og så videre.
Eksentrisiteten til et kjeglesnitt er gitt som det konstante forholdet:
Avstand til brennpunkt delt på avstand til styrelinje.
Alle parabler har eksentrisitet 1.
Fra figuren ser vi at:
d1'/d1 = d2'/d2 = d3'/d3 = 1
EKSEMPEL
La oss ta utgangspunkt i funksjonen
f(x) = -0,2x2
Vi bytter f (x) med Y og får
Y = -0,2x2
som gir:
x2 = -5Y
Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p:
x2 = 2(-5/2)Y
p er altså -5/4 hvilket betyr at koordinatene til F er (0,-5/4) som betyr at parabelen har sin åpning nedover.
Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet y = 5/4.
Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:
y2 = -5Y
y2 = 2(-5/2)x
Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen:
Så langt har parablene hatt toppunktet i origo. En mer generell sammenheng finner vi om parabelen har toppunktet i et vilkårlig punkt, P(h,k)
Da gjelder følgende sammenheng:
(2) (y - k)2 = 2p(x - h)
Eksempel Vi undersøker grafen til ligningen: 4y2 - 8x - 12y + 1 = 0
Vi ser at p =1, h = -1 og k =3/2. Det gir F(-1/2,3/2), Toppunkt i P(-1,3/2), symmetrilinje for y = 3/2 og styringslinje for x = -2.
Parabelen har spesielle refleksjonsegenskaper. alle stråler som kommer inn parallelt med symmetrilinjen og treffer parabelen reflekteres gjennom brennpunktet. Dette gir grunnlag for parabolantenner, solovner, solkraftverk, speillinser og mye mer.