Kongruensregning: Forskjell mellom sideversjoner
Fra Matematikk.net
m Teksterstatting – «<tex>» til «<math>» |
|||
| (15 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
| Linje 3: | Linje 3: | ||
Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert. | Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert. | ||
Gitt <math>a</ | Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at | ||
<math>a=bs+r</ | <math>a=bs+r</math> | ||
Vi kan gi dette notasjonen | Vi kan gi dette notasjonen | ||
<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</ | <math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math> | ||
(les: <math>a</ | (les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt | ||
<math>a\equiv r</ | <math>a\equiv r</math> | ||
dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</ | dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått. | ||
===Elementære egenskaper=== | ===Elementære egenskaper=== | ||
For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</ | For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at | ||
: i) <math>a\equiv a</ | : i) Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math> | ||
: ii) <math>a\equiv c</ | : ii) Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math> | ||
: iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math> | |||
<embedvideo> service="https://www.youtube.com/watch?v=6kQpwp6SC8I&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=52" </embedvideo> | |||
Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]] | Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]] | ||
==Regning med kongruenser== | ==Regning med kongruenser== | ||
Siste sideversjon per 6. aug. 2024 kl. 12:45
Introduksjon til kongruenser
Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.
Gitt <math>a</math> og <math>b</math> vet vi at det finnes unike <math>s,r</math> slik at
<math>a=bs+r</math>
Vi kan gi dette notasjonen
<math>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</math>
(les: <math>a</math> er kongruent med <math>r</math> modulo <math>b</math>) eller ganske enkelt
<math>a\equiv r</math>
dersom <math>\,(\text{mod}\,b)</math> er inneforstått.
Elementære egenskaper
For det første er det åpenbart at hvis <math>a=c+bd</math>, så er <math>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</math>. Følgelig har vi at
- i) Refleksiv egenskap: <math>a\equiv a</math>
- ii) Symmetrisk egenskap: <math>a\equiv c</math> hvis og bare hvis <math>c\equiv a</math>
- iii) Transitiv egenskap: Hvis <math>a\equiv c</math> og <math>c\equiv e</math>, så må <math>a\equiv e</math>
<embedvideo> service="https://www.youtube.com/watch?v=6kQpwp6SC8I&list=PLU9Gs7tAVUEWCM-d20Hg0qKY00Wq_okNF&index=52" </embedvideo>
Følgelig er kongruens en ekvivalensrelasjon