R2 2024 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag Lektor Seland

DEL 1

Oppgave 1

$f(x)=-x^3+3x$

a)

$\int_{-1}^{0} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (-x^3+3x) dx $

$=[-\frac14x^4+\frac32x^2]_{-1}^{0} $

$=0-(-\frac14+\frac32)$

$=\frac14-\frac64$

$=-\frac54$

b)

Finner nullpunktene til f:

$-x^3+3x=0$

$-x(x^2-3)=0$

$-x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$

Nullpunkter: $x=-\sqrt3, x=0, x=\sqrt 3$

Vi har ingen nullpunkter i intervallene $[-1,0\rangle$ og $\langle0,1]$

Beregner arealet av området avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x=0 og x=1:

$\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} (-x^3+3x) dx $

$=[-\frac14x^4+\frac32x^2]_{0}^{1} $

$=(-\frac14+\frac32)-0$

$=-\frac14+\frac64$

$=\frac54$

Samlet areal er summen av arealene i intervallene $[-1,0]$ og $[0,1]$

$A=|-\frac54|+\frac54=\frac{10}{4}=\frac52=2,5$

Arealet av området som er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x = −1 og x = 1 er 2,5.

Oppgave 3

a)

Eleven prøver å finne hvor mange ledd det trengs i en rekke før summen av rekken blir større enn 200. Hvert ledd er gitt ved $a_n=4n-2$, og første ledd har n=1.

b)

Vi har en aritmetisk rekke, fordi differansen mellom hvert ledd alltid er den samme (4 i dette tilfellet). Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved $S=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}$

$n\cdot\frac{2+(4n-2)}{2}=200$

$\frac{4n^2}{2}=200$

$2n^2=200$

$n=\sqrt{100}$ (ingen negativ løsning fordi vi ser etter et positivt antall ledd)

$n=10$

Eleven får skrevet ut verdien 10, som vil si at det summen av de 10 første leddene i rekken er 200 eller mer.

DEL 2

Oppgave 4

a)

$a_n=n^3$

$a_{n+1}=(n+1)^3$

Rekursiv formel for summen av rekken:

$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=S_n+(n+1)^3$

Eksplisitt formel for summen av rekken, finner vi ved regresjon i Geogebra:

$S_n=0,25n^4+0,5n^3+0,25n^2$

b)

c)

Vi skal bevise $S_n: 1^3+2^3+3^3+...+n^3=0,25n^4+0,5n^3+0,25n^2$

Vi sjekker først om formelen stemmer for n=1 (se linje 2 i CAS). Formelen stemmer for n=1, siden $S_1=1^3=1$.

Vi antar nå at formelen stemmer for n = k, og sjekker om formelen stemmer for n = k + 1. Da vil $S_{k+1}=1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=S_k+(k+1)^3$. Se linje 3 og 4 i CAS.

Vi har nå vist at dersom formelen stemmer for n=k , må den også stemme for n=k+1. Siden formelen stemmer for n=1, stemmer den for n=2, osv. $S_k\Rightarrow S_{k+1}$.