Forskjell mellom versjoner av «S2 2023 høst LØSNING»
(→a)) |
|||
Linje 22: | Linje 22: | ||
===b)=== | ===b)=== | ||
+ | |||
+ | ==Oppgave 3== | ||
+ | |||
+ | ==Oppgave 4== | ||
+ | |||
+ | ==Oppgave 5== | ||
+ | |||
+ | ===a)=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Forventningsverdi 𝐸(𝑋) | ||
+ | E(X) | ||
+ | Vi har tre typer kuler som veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Sannsynligheten for å trekke en kule som veier 4 kg er | ||
+ | 1 | ||
+ | 4 | ||
+ | 4 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | , og sannsynligheten for å trekke en kule som veier 5 kg er | ||
+ | 1 | ||
+ | 2 | ||
+ | 2 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | . Siden den totale sannsynligheten må være 1, kan vi finne sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg: | ||
+ | |||
+ | 𝑃 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | = | ||
+ | 10 | ||
+ | ) | ||
+ | = | ||
+ | 1 | ||
+ | − | ||
+ | 𝑃 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | = | ||
+ | 4 | ||
+ | ) | ||
+ | − | ||
+ | 𝑃 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | = | ||
+ | 5 | ||
+ | ) | ||
+ | = | ||
+ | 1 | ||
+ | − | ||
+ | 1 | ||
+ | 4 | ||
+ | − | ||
+ | 1 | ||
+ | 2 | ||
+ | = | ||
+ | 1 | ||
+ | − | ||
+ | 1 | ||
+ | 4 | ||
+ | − | ||
+ | 2 | ||
+ | 4 | ||
+ | = | ||
+ | 1 | ||
+ | − | ||
+ | 3 | ||
+ | 4 | ||
+ | = | ||
+ | 1 | ||
+ | 4 | ||
+ | P(X=10)=1−P(X=4)−P(X=5)=1− | ||
+ | 4 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | − | ||
+ | 2 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | =1− | ||
+ | 4 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | − | ||
+ | 4 | ||
+ | 2 | ||
+ | | ||
+ | =1− | ||
+ | 4 | ||
+ | 3 | ||
+ | | ||
+ | = | ||
+ | 4 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Sannsynlighetsfordelingen til | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | X er dermed: | ||
+ | 𝑃 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | = | ||
+ | 4 | ||
+ | ) | ||
+ | = | ||
+ | 1 | ||
+ | 4 | ||
+ | P(X=4)= | ||
+ | 4 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | 𝑃 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | = | ||
+ | 5 | ||
+ | ) | ||
+ | = | ||
+ | 1 | ||
+ | 2 | ||
+ | P(X=5)= | ||
+ | 2 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | 𝑃 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | = | ||
+ | 10 | ||
+ | ) | ||
+ | = | ||
+ | 1 | ||
+ | 4 | ||
+ | P(X=10)= | ||
+ | 4 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | |||
+ | For å finne forventningsverdien | ||
+ | 𝐸 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | ) | ||
+ | E(X), bruker vi formelen for forventningsverdi: | ||
+ | 𝐸 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | ) | ||
+ | = | ||
+ | ∑ | ||
+ | 𝑖 | ||
+ | 𝑥 | ||
+ | 𝑖 | ||
+ | 𝑃 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | = | ||
+ | 𝑥 | ||
+ | 𝑖 | ||
+ | ) | ||
+ | E(X)=∑ | ||
+ | i | ||
+ | | ||
+ | x | ||
+ | i | ||
+ | | ||
+ | P(X=x | ||
+ | i | ||
+ | | ||
+ | ) | ||
+ | |||
+ | Her er | ||
+ | 𝑥 | ||
+ | 𝑖 | ||
+ | x | ||
+ | i | ||
+ | | ||
+ | de forskjellige verdiene | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | X kan ta, og | ||
+ | 𝑃 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | = | ||
+ | 𝑥 | ||
+ | 𝑖 | ||
+ | ) | ||
+ | P(X=x | ||
+ | i | ||
+ | | ||
+ | ) er sannsynligheten for hver av disse verdiene. | ||
+ | |||
+ | 𝐸 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | ) | ||
+ | = | ||
+ | 4 | ||
+ | ⋅ | ||
+ | 1 | ||
+ | 4 | ||
+ | + | ||
+ | 5 | ||
+ | ⋅ | ||
+ | 1 | ||
+ | 2 | ||
+ | + | ||
+ | 10 | ||
+ | ⋅ | ||
+ | 1 | ||
+ | 4 | ||
+ | E(X)=4⋅ | ||
+ | 4 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | +5⋅ | ||
+ | 2 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | +10⋅ | ||
+ | 4 | ||
+ | 1 | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | 𝐸 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | ) | ||
+ | = | ||
+ | 1 | ||
+ | + | ||
+ | 2.5 | ||
+ | + | ||
+ | 2.5 | ||
+ | = | ||
+ | 6 | ||
+ | E(X)=1+2.5+2.5=6 | ||
+ | |||
+ | Forventningsverdien | ||
+ | 𝐸 | ||
+ | ( | ||
+ | 𝑋 | ||
+ | ) | ||
+ | E(X) er 6 kg. |
Revisjonen fra 10. jul. 2024 kl. 05:56
DEL EN
Oppgave 1
$\int_{-1}^{1}(x^3+2x) dx = [\frac 14 x^4 + x^2]_{-1}^{1} = (\frac 14 +1) - ( \frac 14 +1) = 0$
Arealet avgrenset av grafen, x-aksen og linjen x=-1 er lik arealet avgrenset av linjen x =1. grafen og x-aksen. Den ene delen ligger under x-aksen, den andre over. Grafen går gjennom origo og vi har symmetri om origo.
Oppgave 2
a)
$S = \frac{a_1}{1-k}$
Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac 12 $ :
$8 = \frac{4}{1-k} \Rightarrow k= \frac 12$
$S_4 = 4+2+1+ \frac 12 = 7,5$
b)
Oppgave 3
Oppgave 4
Oppgave 5
a)
Forventningsverdi 𝐸(𝑋) E(X) Vi har tre typer kuler som veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Sannsynligheten for å trekke en kule som veier 4 kg er 1 4 4 1
, og sannsynligheten for å trekke en kule som veier 5 kg er
1 2 2 1
. Siden den totale sannsynligheten må være 1, kan vi finne sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg:
𝑃 ( 𝑋 = 10 ) = 1 − 𝑃 ( 𝑋 = 4 ) − 𝑃 ( 𝑋 = 5 ) = 1 − 1 4 − 1 2 = 1 − 1 4 − 2 4 = 1 − 3 4 = 1 4 P(X=10)=1−P(X=4)−P(X=5)=1− 4 1
−
2 1
=1−
4 1
−
4 2
=1−
4 3
=
4 1
Sannsynlighetsfordelingen til
𝑋
X er dermed:
𝑃
(
𝑋
=
4
)
=
1
4
P(X=4)=
4
1
𝑃 ( 𝑋 = 5 ) = 1 2 P(X=5)= 2 1
𝑃 ( 𝑋 = 10 ) = 1 4 P(X=10)= 4 1
For å finne forventningsverdien
𝐸
(
𝑋
)
E(X), bruker vi formelen for forventningsverdi:
𝐸
(
𝑋
)
=
∑
𝑖
𝑥
𝑖
𝑃
(
𝑋
=
𝑥
𝑖
)
E(X)=∑
i
x
i
P(X=x
i
)
Her er 𝑥 𝑖 x i
de forskjellige verdiene
𝑋 X kan ta, og 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥 𝑖 ) P(X=x i
) er sannsynligheten for hver av disse verdiene.
𝐸 ( 𝑋 ) = 4 ⋅ 1 4 + 5 ⋅ 1 2 + 10 ⋅ 1 4 E(X)=4⋅ 4 1
+5⋅
2 1
+10⋅
4 1
𝐸 ( 𝑋 ) = 1 + 2.5 + 2.5 = 6 E(X)=1+2.5+2.5=6
Forventningsverdien 𝐸 ( 𝑋 ) E(X) er 6 kg.