1T 2024 vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av Sindre Sogge Heggen

Del 1

Oppgave 1

a)

Tangens til vinkelen er definert som motstående katet, delt på hosliggende katet.

$\tan(u) \cdot \tan(v) = \frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6} = 1$

Dette betyr at Tom sin påstand er riktig.

b)

I denne oppgaven skal vi avgjøre om påstanden stemmer for alle rettvinklete trekanter. En generell rettvinklet trekant kan se slik ut:

$tan(u) \cdot tan(v) = \frac{B}{A} \cdot \frac{A}{B} = \frac{A}{A} \cdot \frac{B}{B} = 1$

Påstanden stemmer for alle trekanter av den typen.

Oppgave 2

Dersom P(a) = 0, er P(x) delelig på (x-a)

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6$

P(0)=-6, P(-1)= 6, P(1)= -12, P(2)= 0. Vi ser også at $P(-3)= -54 + 27 + 33 -6= 0$ Vi observerer at polynomet skifter fortegn mellom P(0) og P(-1). Det kan derfor være fristende å teste om $x=- \frac{1}{2}$ er en rot i polynomet: $P(-\frac 12)= - \frac 14 + \frac 34 + 5,5 - 6 =0$

Røttene er altså $x= -3, x= - \frac 12$ og x = 2.

Polynomet P er da delelig på (x+3), (x + 0,5) og (x-2)

Dersom man deler på (x-2):

Dersom man dividerer tredjegradspolynomet på andregradspolynomet bør man jo få (x-2) som resultat:

Dersom linje tre i oppgaven er riktig må det bety at andregradspolynomet kan faktoriseres. Vi tester: $2x^2+7x+3$ og ser (ved hjelp av koefisientmetoden) at $2x^2+7x+3 = 2((x+3)(x+ \frac 12))$

$P(x) = 2x^3+3x^2-11x-6 = ( 2x^2+7x+3)(x-2) = 2(x-2)(x+ \frac 12)(x + 3)$

Guri KAN ha utført de to divisjonene vist i oppgaven. Faktoriseringen hennes er riktig, men ikke fullstendig.

Oppgave 3

Stort kvadrat minus lite kvadrat:

$a((a-b)+b) - (b\cdot b) = a \cdot a - b \cdot b = a^2-b^2$

Sum av stort rektangel pluss lite rektangel:

$a(a-b) + b(a-b) = a^2-ab +ab - b^2 = a^2-b^2$

Ett eksempel på en identitet, med utgangspunkt i grønt areal er: $a(a-b) + b(a-b) = a^2 - b^2$

Oppgave 4

Det defineres en funksjon som returnerer en andregradsfunksjon. Programmsnutten regner ut den gjennomsnittlige veksten til denne funksjonen mellom 0 og 5 (x verdier)

$ f(x) = x^2-3x+7 $

$v= \frac{f(5)-f(0)}{5} = \frac{17-7}{5} = 2$

Oppgave 5

a)

Generelt: $f(x) = ax^2+bx+c$

Fra figuren leser vi at f(0) =24, dvs c=24

Videre har vi fra figuren at f(-3)= 0 og f(4)= 0 hvilket betyr at (x+3) og (x-4) er faktorer i funksjonen: $(x+3)(x-4) = x^2-x -12$

Vi ser fra konstantleddet c at vi må multiplisere med -2 for å få 24:

$f(x) = -2(x^2-x-12)= -2x^2+2x+24$

b)

$f(x) = -2 (x+3)(x-4) $

$f(x) > 12$

$-2(x+3)(x-4)>12$

$(x+3)(x-4)> -6$

$x^2-x-6>0$

$(x+2)(x-3)>0$

Vi tegner fortegnsskjema:

$x \in <-2,3>$

Oppgave 1

a)

Vi bruker regresjon på Geogebra og får:

b)

Vi bruker modellen fra oppgave a og finner ekstremalpunktet (i dette tilfellet toppunktet) i Geogebra.

Kantina må produsere omtrent 284 bagetter og vil da få omtrent 4460 kr i overskudd. Merk at en modell ikke gir noe nøyaktig svar, men vi kan anslå omtrent hvor mange bagetter kantina burde selge og hva overskuddet blir.

c)

Linjen f har stigningstall 23,96. Det betyr at overskuddet øker i gjennomsnitt 24 kroner når bagettsalget økes med en, mellom 100 og 200 bagetter. Legg merke til at økningen er størst rett etter 100 bagetter og så avtar økningen mot 200 bagetter.

d)

Den momentane vekstfarten er 8,61 i (235,f(325)). Det betyr at dersom man øker salget med en bagett, til 236, så øker overskuddet med 8,61 kroner. Se figur i c.

I C laget vi først to punkt, (100, f(100)) og (200, f(200)). Så trakk vi linjestykket mellom dem og fant stigningstallet til linjestykket f. I opg d brukte vi "tangent", og fant stigningstallet til den.

Oppgave 2

a)

Vi bruker CAS og finner at vinkel u må være 56,82 grader.

b)

Sinus til 90 er en, og 1/1,33 = 0, 7519. Den inverse sinusverdien er 48,75 grader. Se linje 2 i CAS.

c)

Nei, det er ikke mulig, bortsett fra om man regner en vinkel på null grader som en mulighet. Linje 3 i CAS

Oppgave 3

Bruker først arealsetningen for å finne AC som er 2. Linje 1. Bruker Cosinussetningen for å finne BC som er $2 \sqrt{21}$

Oppgave 4

a)

Eksempel på et program som sumerer de 20 første primtallene trinnvis.

b)

Ved å se på summene i programmet i a og på figuren i oppgaveteksten i b, ser man at summen av de n første oddetallene er $n^2$

Eksempelvis er

$S_6 = 1 + 3 + 5+ 7 +9+ 11 = 36 = 6^2$

Oppgave 5

a)

Bruker potensregresjon og får:

b)

Det er ingen fjell høyere enn 9 km, derfor går derfinisjonsmengden fra null til ni. Vi observerer at modellene er ganske like, så hvilken vi bruker har liten betydning.

c)

Dersom man skal få hardkokte egg må temperaturen (kokepunktet) være over 85 grader, som tilsvarer et trykk på over 600hPa (Figur oppgave a).

Fra figuren i oppgave b ser man at trykket blir lavere enn 600 hPa når høyden overstiger ca. 4000 meter. Man bør holde seg på fjell under 4000 meter dersom man er avhengig av hardkokte egg. Alternativt kan man koke dem på forhånd og ta med på tur :-)

Oppgave 6

Fra grafen ser man at tangenten i (1,2) har stigningstall -2. P ligger på grafen til f og på tangenten. Da har vi et punkt og et stigningstall, og finner da likningen for den rette linjen:

$y = ax + b \quad$ generelt

$y = -2x +b \quad$ bruker informasjon om stigningstallet

$2 = -2 \cdot 1 + b \quad$ bruker informasjon om punktet for å finne b

b = 4

y = -2x + 4, er likningen for tangenten til f i P.

Oppgave 7

Det er begrenset hvor mye tid man har til utforskning på eksamen, men dette er i alle fall en fin oppgave å ta tak i for å utforske egenskaper ved funksjoner. Bildet over er et første utkast.

• Vi starter med en parabel. En parabel som mangler x leddet er symmetrisk om y aksen. Dersom a i $f(x)= ax^2$ er positiv har funksjonen et minimum. Vår funksjon mangler konstantledd og går gjennom origo. At den mangler konstantledd er ikke noe poeng i seg selv i denne oppgaven. Vi valgte a= 0,2 for å få litt "åpning" på grafen. Parabelen er den brune grafen.

• Den enkleste funksjonen som kan gi en graf tilsvarende den i oppgavesettet, øverst, er en tredjegradsfunksjon. For at den skal ha et bunnpunkt på y- aksen etter ett toppunkt, må koeffisienten foran tredjegradsleddet være positiv. Når funksjonen mangler x ledd vil koeffisienten foran andregradsleddet angi avstanden i x retning til det punkt som har samme funksjonsverdi. (Her er det rom for mye utforskning, langt mer enn hva man har tid til på en eksamen).

• Til slutt legger man på en rett linje slik at man får en lukket kurve bestående av tre forskjellige funksjoner. Man må definere gyldighetsområdet til hver enkelt funksjon. Denne oppgaven har uendelig mange løsninger. Nedenfor ser du en av dem.