Funksjoner: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(178 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 4: Linje 4:
Et koordinatsystem består av to tallinjer som står vinkelrett på hverandre. Vi kaller disse tallinjene for akser. Punktet der aksene krysser hverandre kalles for origo.Begge aksene har verdien null i origo. Den vannrette aksen kalles for x- aksen eller første aksen. Den loddrette aksen kalles for y- aksen eller andre aksen.
Et koordinatsystem består av to tallinjer som står vinkelrett på hverandre. Vi kaller disse tallinjene for akser. Punktet der aksene krysser hverandre kalles for origo.Begge aksene har verdien null i origo. Den vannrette aksen kalles for x- aksen eller første aksen. Den loddrette aksen kalles for y- aksen eller andre aksen.


Et punkt kan bestemmes med to tall ( et tallpar ) som vi kaller koordinater. Tallpar skrives på formen (x,y). Origo har koordinatene (0, 0). Man oppgir alltid x verdien først . Punktet (1,3) har verdiene x = 1 og y = 3. Her er eksempler på noen punkter: A (1,2), B (4,0), C (-1, -2), D (-2, 0).
Et punkt kan bestemmes med to tall ( et tallpar ) som vi kaller koordinater. Tallpar skrives på formen (x,y). Origo har koordinatene (0, 0). Man oppgir alltid x verdien først . Punktet (1,3) har verdiene x = 1 og y = 3.
[[Bilde:Figen.png]]
 
Her er eksempler på noen punkter: A (1,2), B (4,0), C (-1, -2), D (-2, 0).


[[Bilde:Figen.png]]  
På denne måten kan alle ”steder” (punkter) i et plan representeres, med en x koordinat og en y koordinat. Alle [[kart]] er laget på denne måten. X – aksen er da øst - vest retning og Y – aksen er nord – sør retningen.<br>
[http://www.matematikk.net/emner/applets/ggbApplet.php?appid=7 Lek med koordinatsystemet]
 
 
 
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


På denne måten kan alle ”steder” (punkter) i et plan representeres, med en x koordinat og en y koordinat. Alle kart er laget på denne måten. X – aksen er da øst - vest retning og Y – aksen er nord – sør retningen.


== Funksjon ==
== Funksjon ==
Linje 31: Linje 39:
<br>
<br>
Hva gjør boksen?
Hva gjør boksen?
Den legger til to til det tallet som blir stappet inn i boksen. Vi kallet boksen for Y? La oss kalle tallet vi putter inn for x.
Den legger til to til det tallet som blir stappet inn i boksen. Vi kallet boksen for y? La oss kalle tallet vi putter inn for x.


Vi kan skrive dette slik matematisk:
Vi kan skrive dette slik matematisk:


(1)  Y = X + 2
$$y = x + 2$$


Y = X + 2 kalles for funksjonsutrykket.  
$y = x + 2$ kalles for funksjonsutrykket.  
Vi sier at Y er en funksjon av X. Verdien av Y avhenger av verdien av X. Detter er det vi kaller en lineær funksjon, dvs. en rett linje.  
Vi sier at y er en funksjon av x. Verdien av y avhenger av verdien av x. Detter er det vi kaller en lineær funksjon, dvs. en rett linje.  
=== Funksjonssuttrykk ===
=== Funksjonssuttrykk ===
   
   


Funksjonen f(x) = 2x + 5 har funksjonsuttrykket 2x + 5. Uttrykket forteller hva som skal gjøres med tallet som skal inn i funksjonen. I dette tilfellet skal tallet multipliseres med 2 og 5 legges til.
Funksjonen $f(x) = 2x + 5$ har funksjonsuttrykket $2x + 5$. Uttrykket forteller hva som skal gjøres med tallet som skal inn i funksjonen. I dette tilfellet skal tallet multipliseres med 2 og 5 legges til.
 
$f$ er navnet på funksjonen. Bokstaven i parantes er navnet på den variable. Vanlige navn er $x$ og $t$. $t$ brukes gjerne om tid. Vanlige funksjonsnavn er $f,g,h$ og $V$, for å nevne noen. Man kan gi en funksjon det navn man ønsker, men det er fornuftig å gi navn som forteller noe om hva funksjonen gjør.
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://youtu.be/yCQjRFkbZRw '''Video eksempel:''' Hva er en funksjon?]
</div>
 




<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://youtu.be/ySnXylD78II '''Video eksempel:''' Hvordan lage funksjoner ut fra praktiske situasjoner.]
</div>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


=== Graf ===
=== Graf ===
Linje 53: Linje 74:
   
   


Det er viktig å legge merke til at dersom kurven representerer en funksjon finnes det bare en Y verdi for hver X verdi. For en Y verdi kan det finnes flere X verdier. Dersom x er forskjellige tidspunkt på dagen og y er temperaturen, betyr det at et tidspunkt kan kun ha en temperatur, men en temperatur kan ha forekommet flere tider på dagen.  
Det er viktig å legge merke til at dersom kurven representerer en funksjon finnes det bare en y-verdi for hver x-verdi. For en y-verdi kan det finnes flere x-verdier. Dersom x er forskjellige tidspunkt på dagen og y er temperaturen, betyr det at et tidspunkt kan kun ha en temperatur, men en temperatur kan ha forekommet flere tider på dagen.  
[[Bilde:Figto.png]]  
[[Bilde:Figto.png]]
 
''Figuren viser hvordan en tilfeldig x verdi kun kan ha en tilhørende y verdi, mens en tilfeldig y verdi kan ha to eller flere tilhørende x verdier.''
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://youtu.be/bRcJQsATAnM '''Video eksempel:''' Fra funksjonsuttrykk, via verditabell, til graf]
</div>
 
 
 


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


=== Definisjonsmengde ===
=== Definisjonsmengde ===
   
   


Hvilke verdi den variable kan ha i funksjonen bestemmes av definisjonsmengden D. Dersom funksjonens navn er f, brukes notasjonen <tex>D_f</tex>. Alternativt bruker man x [<tex>x_1</tex>. , <tex>x_2</tex> ]
Hvilke verdi den variable kan ha i funksjonen bestemmes av definisjonsmengden D. Dersom funksjonens navn er f, brukes notasjonen <math>D_f = [x_1, x_2]</math>. Alternativt bruker man <math> x \in [x_1, x_2] </math>


=== Verdimengde ===
=== Verdimengde ===
   
   


Hvilke verdier som kommer ut av funksjonen, funksjonsverdiene, er bestemt av definisjonsmengden og av funksjonsuttrykket, Mengden av funksjonsverdier verdiene kalles Verdimengden. Om funksjonens navn er f brukes notasjonen Vf.
Hvilke verdier som kommer ut av funksjonen, funksjonsverdiene, er bestemt av definisjonsmengden og av funksjonsuttrykket, Mengden av funksjonsverdier verdiene kalles Verdimengden. Om funksjonens navn er f brukes notasjonen <math> V_f </math>.


Man kan se på en funksjon som en ”bro” mellom mengder, definisjonsmengden og verdimengden.
Man kan se på en funksjon som en ”bro” mellom mengder, definisjonsmengden og verdimengden.
Linje 72: Linje 103:


[[Bilde:Graf.png]]
[[Bilde:Graf.png]]
=== Verditabell ===


Måten vi tegner grafen til en funksjon på er at vi lager en verditabell, det vil si en tabell som har X og Y verdier.


Vi velger selv X verdier. Når vi har valgt en X verdi setter vi den inn for X i funksjonstrykket (1). Da får vi en Y verdi som hører til X verdien.


Disse resultatene setter vi inn i en tabell, som vist nedenfor. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://youtu.be/XFgEyYxmRs8 '''Video eksempel:''' Fra Definisjonsmengde til verdimengde.]
</div>
 


x -1 0 1 2
[http://www.matematikk.net/emner/applets/ggbApplet.php?appid=8 Lek med verdi og definisjonsmengde]
y 1 2 3 4


Og grafen ser slik ut:
=== Sentrale Punkter på grafen===


====Nullpunkter====


Et nullpunkt er et sted der grafen til en funksjon kysser x -aksen. Dersom vi har funksjonen f(x) finner vi eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f(x) = 0. En funksjon kan ha ingen, ett eller flere nullpunkter avhengig av type funksjon, definisjonsområde og koeffisienter. Visuelt finner man nullpunktene ved å lese av verdien på x-aksen, der grafen krysser aksen.


Når funksjonen er lineær, dvs. er en rett linje, trenger vi kun to punkter for å kunne tegne grafen. (I Funksjoner II skal vi se at ikke alle funksjoner er lineære. I slike tilfeller trenger vi flere punkter.)


La oss se litt nærmere på ligningen Y = aX + b


Det tallet som står foran X forteller hvordan linjen stiger.


Dersom a er positiv betyr det at grafen stiger mot høyre, med økende x verdi. Desto høyere a verdi, desto brattere stiger grafen.


Dersom a er negativ betyr det at Y avtar mot høyre, eller med økende X verdi.
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://youtu.be/4I4R5EK2JoA '''Video eksempel:''' Nullpunkter og skjæring med y-aksen.]
</div>


Tallet b forteller hvor grafen krysser Y aksen. Når grafen krysser Y aksen er X verdien lik null.
==== Skjæring med y- akse====


Vi ser at om vi setter X lik null inn i funksjonsutrykket får vi Y = b.
f(0) gir skjæring med y- akse. Vi kaller ofte denne verdien konstantleddet. Et interessant punkt når man skal tegne grafen til funksjonen. Vil være startvedien til funksjonen dersom den er definert for x verdier fra og med null og oppover, $x \in[ 0, \rightarrow>$.


Når du får litt trening kan du tegne grafen til en rett linje direkte fra funksjonsutrykket, bare ved å se på a og b, men husk at en verditabell vil alltid kunne være til hjelp.
== Funksjonstyper ==


Innledning


En funksjon forteller hvordan du skal behandle en bestemt tallverdi. Man navngir gjerne funksjonene f, g, h osv, men kan i prinsippet kalle dem hva som helst. Dersom den variable er x og funksjonens navn f skriver man f(x) som leses ”f av x”. Er t (tid) den variable skriver man f(t) som leses ”f av t”.




<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://youtu.be/TPfGIZ-q6fY '''Video eksempel:''' Hvordan skrive funksjoner i Geogebra.]
</div>




===Lineære funksjoner===
   
   


Grafen til en funksjon viser sammenhengen mellom verdiene i definisjonsmengden og verdiene i verdimengden.
Det at en funksjon er lineær betyr at om vi tegner grafen i et koordinat system med X verdier på førsteaksen og Y verdier på andreaksen får vi en rett linje. Det generelle funksjonsuttrykket er:


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
$ y = ax + b $ eller $f(x) = ax+b$ som betyr det samme og er en mer vanlig skrivemåte.
</div>


a kalles for stigningstallet og b for konstantleddet. Dersom x er null er Y lik b. Konstantleddet b forteller hvor grafen krysser y-aksen. a forteller hvor mange enheter man beveger seg i y rettning (opp eller ned), når man beveger seg en enhet til høyre på x aksen.
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
Dersom a er positiv betyr det at grafen stiger mot høyre, med økende x verdi. Desto høyere a verdi, desto brattere stiger grafen.
<p></p>
Dersom a er negativ betyr det at Y avtar mot høyre, eller med økende X verdi.
<p></p>
Tallet b forteller hvor grafen krysser Y aksen. Når grafen krysser Y aksen er X verdien lik null.
</div>






<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 1:'''<br>


Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså sammhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen.
Vi har funksjonsuttrykket:
<math>  y = \frac12x + 2 </math> <br> Grafen ser slik ut:<br> [[Bilde:linje.PNG]] <br>
Man observerer at grafen går gjennom punktet (0,2) på y aksen. Stigningstallet er <math>\frac12</math>. Det betyr at når man beveger seg en enhet til høyre må man bevege seg 0,5 (en halv) oppover i y rettning for å treffe grafen igjen.


Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller.
</div>


Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner sammhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet.


Eksempel 1
[http://www.matematikk.net/emner/applets/ggbApplet.php?appid=11 Lek med rette linjer]
Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra -2 til 2. Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:


x f(x) = 2x - 3 f(x) (x, f(x))
-2 f(x) = 2 (-2) - 3 -7 (-2, -7)
-1 f(x) = 2 (-1) – 3 -5 (-1, -5)
0 f(x) = 2 (0) – 3 -3 (0, -3)
1 f(x) = 2 (1)– 3 -1 (1, -1)
2 f(x) = 2 (2) – 3 1 (2, 1)




== Funksjonstyper ==
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]




===Lineære funksjoner===
Dersom man har kontroll på stigningstall og konstantledd er det greit å tegne grafen med bare disse to størrelsene. Dersom man synes dette er vannskelig er det lurt å lage en verditabell.
 
 
=== Den Rette Linje ===
   
   
 
==== Verditabell ====
Det at en funksjon er lineær betyr at om vi tegner grafen i et koordinat system med X verdier på førsteaksen og Y verdier på andreaksen får vi en rett linje.
 
Alle lineære funksjoner er av typen
(2)  Y = aX + b
 
I vårt eksempel er a = 1 og b = 2.
 
Vi må se litt nærmere på hvordan vi tegnet grafen.
 
 
Funksjoner av typen f(x) = ax + b kalles lineære funksjoner. Grafene til slike funksjoner er rette linjer med stigningstall a. Dersom a er negativ synker funksjonen mot høyre. f(0) = b, b er det punktet grafen skjærer y aksen (x = 0).
 
 
 
Figuren viser grafen til f(x) = 0,5x + 2.
 
En mer inngående behandling av lineære funksjoner finner du her.
====Ettpunktsformelen====
 
Dersom du kjenner et punkt på linjen og stigningstallet kan du finne funksjonsutrykket ved å bruke følgende formel:<br>
<h2 id="mp-tfa-h2" style="margin:0; background:#F6D47A; font-size:120%; font-weight:normal; border:1px solid #a3bfb1; text-align:left; color:#000; padding:0.2em 0.4em;"><tex> y-y_1 = a(x-x_1)</tex></h2>
<br>
 
   
   
Ligningen for en rett linje gjennom et punkt (x1,y1) med stigningstall a.






<h2 id="mp-tfa-h2" style="margin:0; background:#F0C8F6; font-size:120%; font-weight:normal; border:1px solid #a3bfb1; text-align:left; color:#000; padding:0.2em 0.4em;"> '''Eksempel 1:''' <br>
Vi velger selv tilfeldige X verdier. Det er gjerne lurt å velge verdier som ligger nærheten av origo.
<tex>1000 = 10\cdot 10\cdot10 = 10^3</tex>
<p></p>
Når vi har valgt en X verdi setter vi den inn for X i funksjonstrykket (1). Da får vi en Y verdi som hører til X verdien.
En potens består av et [[grunntall]] og en [[eksponent]]. Grunntallet i dette tilfellet
<p></p>
er 10
Disse resultatene setter vi inn i en tabell. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut:
og eksponenten er 3. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet skal ganges
med seg selv.  
</h2>
<br>


<p></p>
Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså sammhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen.


Ved å se på figuren over kan vi vise at ligning (3) stemmer. Stigningstallet a er endring i Y verdi delt på endring i X verdi, når man beveger seg bortover grafen:
Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller.


====Topunktsformelen====
Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner sammhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet.


Dersom man kjenner to punkter på en rett linje er stigningstallet a gitt som:
<h2 id="mp-tfa-h2" style="margin:0; background:#F6D47A; font-size:120%; font-weight:normal; border:1px solid #a3bfb1; text-align:left; color:#000; padding:0.2em 0.4em;"> <tex> a =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}  </tex>  </h2>
<br>
<br>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


'''Eksempel 2:'''  <br><br>


Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra x = -2 til x = 2.


<br><br>Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:<br>
Om vi kombinerer ligning(6) med ligning(3) får man formelen for en rett linje, basert på at man kjenner to punkt på linjen,


topunktsformelen:
<br>
<h2 id="mp-tfa-h2" style="margin:0; background:#F6D47A; font-size:120%; font-weight:normal; border:1px solid #a3bfb1; text-align:left; color:#000; padding:0.2em 0.4em;"> <tex> y- y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1)  </tex> </h2>
<br>


===Andregradsfunksjoner===
<table border="1" cellpadding="10">


Funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon er gitt som f(x) = ax2 + bx + c. Gitt på denne formen er ax2 andregradsleddet, bx er førstegradsleddet og c er konstantleddet. Grafene til andregradsfunksjoner kalles parabler. Grafene krummer og er symmetriske om symmetriaksen som er gitt som:


<tex>x = \frac{-b}{2a}</tex>
<tr>
  <td>  x   <br></td>
  <td> f(x)= 2x - 3 </td>
  <td> f(x) </td>
<td>(x, f(x))</td>


Dersom konstanten a i andregradsleddet er positiv vender grafen sin hule side oppover, den ”smiler”
</tr>
<tr>
  <td> -2</td>
  <td> f(-2) = 2 (-2) - 3 </td>
  <td> f(-2)= -7</td>
  <td> (-2, -7)</td>


Dersom konstanten er negativ vender grafen sin hule side nedover, den er ”sur”.
</tr>
<tr>
  <td>-1 </td>
  <td> f(-1) = 2 (-1) – 3</td>
  <td> f(-1) = -5</td>
  <td> (-1,-5) </td>


En andregradsfunksjon kan også være gitt på formen f(x) = a(x + b)2 + c
</tr>
<tr>
  <td> 0 </td>
  <td> f(0) = 2 (0) – 3</td>
  <td> f(0)= -3</td>
  <td> (0, -3)</td>


Konstanten a vil være den samme i begge fremstillingsmåter, men konstantene b og c er forskjellige. Hvilke fremstillingsmåte man benytter er smak og behag, men begge har sine fordeler. Grafen nedenfor viser funksjonen
</tr>
<tr>
  <td> 1</td>
  <td>  f(1) = 2 (1)– 3</td>
  <td> f(1)= - 1</td>
  <td> (1, -1) </td>


I                      f(x) = 0,4x2 -2x +1
</tr>
<tr>
  <td> 2 </td>
  <td> f(2) = 2 (2) – 3</td>
  <td> f(2) = 1</td>
  <td> (2, 1) </td>


eventuelt
</tr>


II                      f(x) = 0,4(x -2,5)2 -1,5
</table>






Fordelen med utrykk I er at det er på formen man bruker i ”abc” formelen, for å finne nullpunkter.


Fordelen med uttrykk II er at det gir symmetriakse og minimumspunkt direkte. Dersom man multipliserer ut parentesene og trekker sammen ender man opp med uttrykk I.


[http://www.matematikk.net/emner/applets/ggbApplet.php?appid=9 ANIMASJON]


===Asymptotiske funksjoner===
Og grafen ser slik ut:


Funksjoner der x inngår som en del av nevneren kalles brøkfunksjoner eller asymptotiske funksjoner. . Funksjonene går ofte mot en grense når x går mot en bestemt verdi. Dette kalles for asymptoter.
[[Bilde:linje2.PNG]]
</div>


====Ettpunktsformelen====


Dersom du kjenner et punkt på linjen og stigningstallet kan du finne funksjonsutrykket ved å bruke følgende formel:<br>
<br>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<math> y-y_1 = a(x-x_1) </math>
<p></p>
a er stigningstallet og <math>(x_1 , y_1) </math> er koordinatene til punktet.
<p></p>
</div>


Grafen over viser funksjonen


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


'''Eksempel 3:'''


Funksjonen går mot uendelig når x går mot 1 ovenfra.
Hva er funksjonsuttrykket til en funksjon som har stigningstall 2 og går gjennom punktet (-2,-1)?


Funksjonen går mot minus uendelig når x går mot 1 nedenfra.
<p></p>


Funksjonen går mot to nedenfra når x går mot minus uendelig.
<math> y-(-1) = 2(x-(-2)) </math>
<p></p>
<math> y = 2x + 3 </math>
<p></p>
</div>


Funksjonen går mot to ovenfra når x går mot uendelig.


X = 1 er en vertikal asymptote og y = 2 er en horisontal asymptote.


Mer utfyllende stoff om asymptoter finner du her.


===Polynomfunksjoner===
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


Funksjoner som består av flere ledd. Både rettlinjede funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner, men så sentrale at de behandles spesielt.
====Topunktsformelen====


Dersom man kjenner to punkter på en rett linje er stigningstallet a gitt som:
<br>


Generelt er polynomfunksjoner gitt ved. f(x) = axn + bx n-1 +……+ konstant.
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<tex> f(x) = a\cdot x^n + b\cdot x^{n-1}+ ...+ c</tex>  
<math> a =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>
<p></p>Desom man setter dette uttrykket inn i etpunktsformelen over får man:<p></p>
<math> y- y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1)  </math>




<p></p>


</div>




På grunnkurs befatter vi oss noe med funksjoner av 3. og 4. grad, men sjelden funksjoner av høyere grad.


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


=== Potensfunksjoner ===
'''Eksempel 4:'''
<tex> f(x) = a\cdot x^b </tex>


der x og b er positive tall.
En lineær funksjon gpr gjennom punktene (1,4) og (3,5). Finn funksjonsuttrykket.
</div>


===Andregradsfunksjoner===


Dersom b = -1 har vi en asymptotisk funksjon hvis graf er en hyperbel. Dersom b = 1 får man en rett linje gjennom origo, med stigning en. Legg merke til at f(1) = a, fordi 1b er 1 uansett b - verdi.
Funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon er gitt som <br>
<br>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<math> f(x) = ax^2 + bx + c </math>
</div>


Gitt på denne formen er <math>ax^2</math> andregradsleddet, bx er førstegradsleddet og c er konstantleddet. Grafene til andregradsfunksjoner kalles parabler. Grafene krummer og er symmetriske om symmetriaksen som er gitt som:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
'''Symmetriakse:'''<br>
<math> x =  \frac{-b}{2a}</math>
</div>


Dersom 1>b>0 vokser funksjonen raskest for små verdier av x, for så å avta noe (avhengig av b). Dersom b > 1 vokser funksjonen raskest for store verdier av x.


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 5:'''<br><br>
Finn symmetriaksen til funksjonen<br> <math> f(x) = -x^2 + 2x + 4 </math><br><br>
'''Løsning:'''<br><br>
<math> x =  \frac{-b}{2a} =\frac{-2}{2 \cdot (-1)} =1</math>


</div>




Dersom konstanten a i andregradsleddet er positiv vender grafen sin hule side oppover, den ”smiler”


Figuren viser grafene til f(x) = x 0,5 og til g(x) = x 1,5 .
Dersom konstanten er negativ vender grafen sin hule side nedover, den er ”sur”.


===Eksponentialfunksjoner===
En andregradsfunksjon kan også være gitt på formen


Funksjoner av typen f(x) = a ∙ bx kalles eksponentialfunksjoner (b > 0).
<br>


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<math> f(x) = a(x + b)^2 + c  </math>
</div>


Funksjonene illustrerer ofte en eller annen form for vekst. I biologien finnes det populasjoner som, i perioder, vokser tilnærmet etter disse modellene.
Konstanten a vil være den samme i begge fremstillingsmåter, men konstantene b og c er forskjellige. Hvilke fremstillingsmåte man benytter er smak og behag, men begge har sine fordeler.  




<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 6:''' <br><br>
<math>f(x) = a(x + b)^2 + c </math>
</div>


Dersom b > 1 vokser funksjonen med økende x-verdi. Er 1 > b > 0 avtar funksjonen med økende x-verdi.


[[Bilde:exp.png]]


Grafen nedenfor viser funksjonen


Figuren viser grafen til f(x) = 0,5x og til g(x) = 1,5x.
I                      f(x) = 0,4x2 -2x +1


Kalkulatorbruk
eventuelt


Uansett hvilke type kalkulator man bruker, bør du på 1MX og 1MY lære deg følgende som et minimum:
II                      f(x) = 0,4(x -2,5)2 -1,5




Alle vanlige regneoperasjoner.
Kunne legge inn et hvilket som helst funksjonsuttrykk.
Kunne justere ”visningsvinduet” slik du ønsker.
Kunne legge inn grenser i en verditabell og få ut de sammhørende verdier du trenger for å plotte grafen til funksjonen.
Kunne finne nullpunkter, maksimumspunkt, minimumspunkt og skjæringspunkter mellom grafene til forskjellige funksjoner.
Kunne løse alle typer (aktuelle) ligninger og ligningsett.


Kunne finne funksjonsuttrykket for den beste kurvetilpassningen av gitte målepunkter ved regresjon.  
Fordelen med utrykk I er at det er på formen man bruker i ”abc” formelen, for å finne nullpunkter.


Fordelen med uttrykk II er at det gir symmetriakse og minimumspunkt direkte. Dersom man multipliserer ut parentesene og trekker sammen ender man opp med uttrykk I.


Dersom du skal ta 1MX eksamen bør du i tillegg kunne:
[http://www.matematikk.net/emner/applets/ggbApplet.php?appid=9 Animasjon]


===Rasjonale funksjoner===


Finne funksjonens deriverte i et gitt punkt.
Funksjoner der x inngår som en del av nevneren kalles brøkfunksjoner eller asymptotiske funksjoner. . Funksjonene går ofte mot en grense når x går mot en bestemt verdi. Dette kalles for asymptoter.
Finne den deriverte i et hvilket som helst punkt ved hjelp av ”trace” funksjonen.  
Finne arealet under en graf, fra a til b.  
Kunne tegne grafen til funksjonen og grafen til den deriverte av funksjonen i samme vindu (på kalkulatoren).  
Eksempel 2:


Tegn grafene til f(x) og g(x) i et koordinatsystem.
En rett linje som grafen til f(x) nærmer seg når x går mot en bestemt verdi eller <math> \pm \infty </math>. En graf kan godt krysse en asymptote. Vi har vertikale og horisontale (eller skrå) asymptoter.
[[Bilde:hvass.PNG]]




f(x) = -0,5x2 + 2x + 1
Figuren viser grafen til funksjonen <math>f(x)= \frac{x-1}{x-2}</math>


g(x) = 1,5x - 2
Vi ser at grafen har en vertikal asymptote for x = 2 og en horisontal asymptote for y = 1.




Kommentar: Fra det første leddet i funksjonsuttrykket ser man at f(x) er en parabel som vender sin hule side nedover, fordi verdien fordi -0,5 er et negativt tall. …….Videre ser man at g(x) er en lineær funksjon som skjærer y aksen i -2 og har stigningstall 1,5. Lag verditabeller på kalkulator (eller manuelt) og tegn grafene.


==== Vertikal asymptote ====


Dersom f (x) går mot pluss / minus uendelig når x nærmer seg et tall a fra den ene eller andre siden (eller begge) så er linjen X = a en vertikal asymptote for f. Dette kan formuleres slik:
<math> \lim\limits_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty \quad \quad \quad  \lim\limits_{x \to a^-} f(x)= \pm \infty  </math><p></p>
I eksempelet over er a = 2.


==== Horisontal (og skrå) asymptote ====


For å finne den horisontale asymptoten må vi undersøke hva som skjer med verdien av f (x) når x går mot ± uendelig. Dette skrives slik:
<math> \lim\limits_{x \to \infty} f(x)= k \quad \quad \quad  \lim\limits_{x \to - \infty} f(x)= k </math><p></p>




På figuren har vi merket av punkter det er vanlig å spørre etter, fordi de har en spesiell betydning.
Dette leses "grenseverdien til f (x) når x går mot pluss / minus uendelig". Dersom et eller begge kriteriene er oppfylt er linjen y = k en horisontal asymptote for f.


For å kunne se hva f går mot når x går mot ± uendelig kan det være nødvendig å foreta en polynomdivisjon. Dersom <math>f(x)= \frac{h(x)}{g(x)} </math> utfører vi divisjonen. Dersom vi gjør det med eksempelet over ser vi at f (x) kan skrives som <math>f (x) = 1+ \frac{1}{x-2}</math>. Nå ser vi lett at f går mot 1 når x går mot ± uendelig.


Nullpunkter
Når teller og nevner er av samme orden blir asymptoten en horisontal linje. Dersom telleren h (x) er en orden over nevneren får vi en skrå asymptote. Dersom vi har funksjonen <math>f (x)= \frac{3x^2 + 2x -5}{x} </math>og utfører divisjonen ser vi at den kan skrives som <math>f (x)= 3x + 2 - \frac 5x</math>. Vi ser at når x går mot ± uendelig går f mot den rette linjen 3x + 2. Grafen ser slik ut:
[[Bilde:Skra.PNG]]


1)    Finn nullpunktene til f. ( punkt a og b på figur)




Nullpunktene (a og b på figuren) finnes ved å sette f(x) =0 og løse andregradsligningen:


----
[[Kategori:lex]]


===Polynomfunksjoner===


Funksjoner som består av flere ledd. Både rettlinjede funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner, men så sentrale at de behandles spesielt.




Nullpunkter (0,45 , 0) og (4,45 , 0)
Generelt er polynomfunksjoner gitt ved:


<br>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<math> f(x) = a\cdot x^n  + b\cdot x^{n-1}+ ...+ c </math><br>


</div><br>


Minimums eller maksimumspunkt ( bunnpunkt, toppunkt)




2)    Finn topp eller bunnpunkt til f. (punkt c på figur)
<br>
Der n er hele positive tall.




Man ser fra funksjonsuttrykket at grafen har et toppunkt (negativ faktor i andregradsledd). Finn alltid symmetrilinjen: x = -b/2a = -2 /- 1 = 2.


Funksjonen har et maksimum for x = 2. For å finne tilhørende funksjonsverdi finner vi f(2) = -0,5 (22) +2 ∙ 2 + 1 = - 2 + 4 + 1 = 3


Maksimumspunkt for f er (2,3)
På  vgs. befatter vi oss av og til med funksjoner av 3. og 4. grad, men sjelden funksjoner av høyere grad.


=== Potensfunksjoner ===
Potensfunksjoenr er av typen:


3)      Finn punktet der f skjærer y aksen. (punkt d på figur)
<br>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<math>f(x) = a\cdot x^b </math><br>
der x og b >0
</div><br>




En hvilket som helst graf som skjærer y aksen må gjøre det for verdien x = 0. Man setter f(0) og får: f(0) = -0,5(0)2 + 2∙0 + 1 = 1.
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<br>
$ f(x) = a\cdot b^x$
</div><br>


Grafen skjærer y aksen i punktet (0,1).


(Dersom b = -1 har vi en asymptotisk funksjon hvis graf er en hyperbel. Dersom b = 1 får man en rett linje gjennom origo, med stigning en. Legg merke til at f(1) = a, fordi 1b er 1 uansett b - verdi.)


Skjæringspunkter


Dersom 1>b>0 vokser funksjonen raskest for små verdier av x, for så å avta noe (avhengig av b). Dersom b > 1 vokser funksjonen raskest for store verdier av x.


4)    Finn skjæringspunktene mellom f og g. (punkt e og f på figur)




For at to grafer skal skjære hverandre må funksjonene være lik hverandre. Man setter f(x) = g(x) og får:




-0,5x2 + 2x + 1 = 1,5x - 2
Figuren viser grafene til f(x) = x 0,5 og til g(x) = x 1,5 .


-0,5x2 + 0,5x + 3 = 0
===Eksponentialfunksjoner===


x = - 2 eller x = 3
Dersom vi har en situasjon der noe endrer seg opp eller ned med en fast prosent per tidsenhet, har vi en eksponentiell situasjon og kan lage en eksponentialfunksjon.


Setter disse x verdier inn i en av funksjonene for å finne y koordinatene til punktene.
Funksjoner av typen  <br>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<math> f(x) = a\cdot b^x \\
(b > 0)</math>
</div><br>
kalles eksponentialfunksjoner


Funksjonene illustrerer ofte en eller annen form for vekst. I biologien finnes det populasjoner som, i perioder, vokser tilnærmet etter disse modellene.


g(-2) = 1,5 *(-2) -2 = - 5
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<br>
<math> f(x) = a\cdot b^x \quad \quad
(b > 0)</math>
</div><br>


g(3) = 1,5*3 -2 = 2,5
Dersom b > 1 vokser funksjonen med økende x-verdi. Er 1 > b > 0 avtar funksjonen med økende x-verdi.


Skjæringspunkter: ( -2, - 5) og ( 3 , 2,5 )
[[Bilde:exp.PNG]]




5)    Finn konstantleddet til g(x). (punkt h på figur)
Figuren viser grafen til f(x) = 0,5x og til g(x) = 1,5x.
 
 
Konstantleddet finnes ved å finne g(0) som er -2. Dette kan man også se direkte dersom man husker at b i f(x) = ax + b er konstantleddet (der grafen krysser y aksen).


Man kan bruke et hvilket som helst positivt tall som grunntall (b). Det mest vanlige er [[e]].


6)    Finn den x-verdi som gir g(x) = 0. (punkt g på figur)
[http://www.matematikk.net/emner/applets/ggbApplet.php?appid=3 Lek med eksponentialfunksjonen]




Setter g(x) = 0 som gir 1,5x -2 = 0 gir x = 1⅓
[[Kategori:Analyse]]
[[Kategori:1P]]
[[Kategori:2P]]
[[Kategori:1T]]
[[Kategori:R1]]

Siste sideversjon per 6. apr. 2024 kl. 03:45

Koordinatsystem

Et koordinatsystem består av to tallinjer som står vinkelrett på hverandre. Vi kaller disse tallinjene for akser. Punktet der aksene krysser hverandre kalles for origo.Begge aksene har verdien null i origo. Den vannrette aksen kalles for x- aksen eller første aksen. Den loddrette aksen kalles for y- aksen eller andre aksen.

Et punkt kan bestemmes med to tall ( et tallpar ) som vi kaller koordinater. Tallpar skrives på formen (x,y). Origo har koordinatene (0, 0). Man oppgir alltid x verdien først . Punktet (1,3) har verdiene x = 1 og y = 3.

Her er eksempler på noen punkter: A (1,2), B (4,0), C (-1, -2), D (-2, 0).

På denne måten kan alle ”steder” (punkter) i et plan representeres, med en x koordinat og en y koordinat. Alle kart er laget på denne måten. X – aksen er da øst - vest retning og Y – aksen er nord – sør retningen.
Lek med koordinatsystemet


Test deg selv


Funksjon

Hva er en funksjon?

La oss tenke oss en liten tunnel som det går an å kjøre en bil gjennom. Hver gang en rød bil kjører inn i tunnelen er den blå når den kommer ut. Når en svart bil kjører inn er den blå når den kommer ut. Når en grønn bil kjører inn er den blå når den kommer ut. Når en blå bil kjører inn er den blå når den kommer ut.

Hva er tunnelens funksjon?

Jo, den maler alle biler blå.

La oss tenke oss at vi har en liten boks med et hull i toppen og et i bunnen. Når vi putter et tall inn i toppen kommer et annet tall ut i bunnen. La oss gi boksen vårt et navn. La oss kalle den for Y.

Vi putter tallet 3 inn og får ut tallet 5. Vi putter tallet 1 inn og får ut tallet 3. Vi putter tallet 7 inn og får ut tallet 9. Vi putter tallet -3 inn og får ut tallet -1. Vi putter tallet -1 inn og får ut tallet 1

Hva gjør boksen? Den legger til to til det tallet som blir stappet inn i boksen. Vi kallet boksen for y? La oss kalle tallet vi putter inn for x.

Vi kan skrive dette slik matematisk:

$$y = x + 2$$

$y = x + 2$ kalles for funksjonsutrykket. Vi sier at y er en funksjon av x. Verdien av y avhenger av verdien av x. Detter er det vi kaller en lineær funksjon, dvs. en rett linje.

Funksjonssuttrykk

Funksjonen $f(x) = 2x + 5$ har funksjonsuttrykket $2x + 5$. Uttrykket forteller hva som skal gjøres med tallet som skal inn i funksjonen. I dette tilfellet skal tallet multipliseres med 2 og 5 legges til.

$f$ er navnet på funksjonen. Bokstaven i parantes er navnet på den variable. Vanlige navn er $x$ og $t$. $t$ brukes gjerne om tid. Vanlige funksjonsnavn er $f,g,h$ og $V$, for å nevne noen. Man kan gi en funksjon det navn man ønsker, men det er fornuftig å gi navn som forteller noe om hva funksjonen gjør.



Test deg selv

Graf

En graf er en kurve (linje) som viser sammenhengen mellom to variable størrelser, for eksempel x og y.


Det er viktig å legge merke til at dersom kurven representerer en funksjon finnes det bare en y-verdi for hver x-verdi. For en y-verdi kan det finnes flere x-verdier. Dersom x er forskjellige tidspunkt på dagen og y er temperaturen, betyr det at et tidspunkt kan kun ha en temperatur, men en temperatur kan ha forekommet flere tider på dagen.

Figuren viser hvordan en tilfeldig x verdi kun kan ha en tilhørende y verdi, mens en tilfeldig y verdi kan ha to eller flere tilhørende x verdier.



Test deg selv

Definisjonsmengde

Hvilke verdi den variable kan ha i funksjonen bestemmes av definisjonsmengden D. Dersom funksjonens navn er f, brukes notasjonen <math>D_f = [x_1, x_2]</math>. Alternativt bruker man <math> x \in [x_1, x_2] </math>

Verdimengde

Hvilke verdier som kommer ut av funksjonen, funksjonsverdiene, er bestemt av definisjonsmengden og av funksjonsuttrykket, Mengden av funksjonsverdier verdiene kalles Verdimengden. Om funksjonens navn er f brukes notasjonen <math> V_f </math>.

Man kan se på en funksjon som en ”bro” mellom mengder, definisjonsmengden og verdimengden.



Lek med verdi og definisjonsmengde

Sentrale Punkter på grafen

Nullpunkter

Et nullpunkt er et sted der grafen til en funksjon kysser x -aksen. Dersom vi har funksjonen f(x) finner vi eventuelle nullpunkter ved å løse likningen f(x) = 0. En funksjon kan ha ingen, ett eller flere nullpunkter avhengig av type funksjon, definisjonsområde og koeffisienter. Visuelt finner man nullpunktene ved å lese av verdien på x-aksen, der grafen krysser aksen.



Skjæring med y- akse

f(0) gir skjæring med y- akse. Vi kaller ofte denne verdien konstantleddet. Et interessant punkt når man skal tegne grafen til funksjonen. Vil være startvedien til funksjonen dersom den er definert for x verdier fra og med null og oppover, $x \in[ 0, \rightarrow>$.

Funksjonstyper


Lineære funksjoner

Det at en funksjon er lineær betyr at om vi tegner grafen i et koordinat system med X verdier på førsteaksen og Y verdier på andreaksen får vi en rett linje. Det generelle funksjonsuttrykket er:

$ y = ax + b $ eller $f(x) = ax+b$ som betyr det samme og er en mer vanlig skrivemåte.

a kalles for stigningstallet og b for konstantleddet. Dersom x er null er Y lik b. Konstantleddet b forteller hvor grafen krysser y-aksen. a forteller hvor mange enheter man beveger seg i y rettning (opp eller ned), når man beveger seg en enhet til høyre på x aksen.

Dersom a er positiv betyr det at grafen stiger mot høyre, med økende x verdi. Desto høyere a verdi, desto brattere stiger grafen.

Dersom a er negativ betyr det at Y avtar mot høyre, eller med økende X verdi.

Tallet b forteller hvor grafen krysser Y aksen. Når grafen krysser Y aksen er X verdien lik null.


Eksempel 1:

Vi har funksjonsuttrykket: <math> y = \frac12x + 2 </math>
Grafen ser slik ut:

Man observerer at grafen går gjennom punktet (0,2) på y aksen. Stigningstallet er <math>\frac12</math>. Det betyr at når man beveger seg en enhet til høyre må man bevege seg 0,5 (en halv) oppover i y rettning for å treffe grafen igjen.


Lek med rette linjer


Test deg selv


Dersom man har kontroll på stigningstall og konstantledd er det greit å tegne grafen med bare disse to størrelsene. Dersom man synes dette er vannskelig er det lurt å lage en verditabell.

Verditabell

Vi velger selv tilfeldige X verdier. Det er gjerne lurt å velge verdier som ligger nærheten av origo.

Når vi har valgt en X verdi setter vi den inn for X i funksjonstrykket (1). Da får vi en Y verdi som hører til X verdien.

Disse resultatene setter vi inn i en tabell. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut:

Verditabell er en samling av punkter på grafen, altså sammhørende verdier av x og f(x). Formålet med å lage en verditabell er at du har nok punkter til å kunne tegn eller skissere grafen.

Det anbefales at du lærer deg å bruke kalkulatoren når du skal lage verditabeller.

Av og til er det imidlertid nødvendig å kunne lage tabellen manuelt. Det gjøres ved at du selv velger et antall x verdier i det området du skal tegne grafen. Du setter inn x verdiene i funksjonsuttrykket og finner sammhørende funksjonsverdier. Hvor mange verdier du velger kommer an på hvor nøyaktig du ønsker det. Flere verdier gir økt nøyaktighet.


Eksempel 2:

Vi ønsker å tegne grafen til f(x) = 2x -3 i området fra x = -2 til x = 2.



Vi velger x lik -2, -1, 0, 1, 2 og får:


x
f(x)= 2x - 3 f(x) (x, f(x))
-2 f(-2) = 2 (-2) - 3 f(-2)= -7 (-2, -7)
-1 f(-1) = 2 (-1) – 3 f(-1) = -5 (-1,-5)
0 f(0) = 2 (0) – 3 f(0)= -3 (0, -3)
1 f(1) = 2 (1)– 3 f(1)= - 1 (1, -1)
2 f(2) = 2 (2) – 3 f(2) = 1 (2, 1)




Og grafen ser slik ut:

Ettpunktsformelen

Dersom du kjenner et punkt på linjen og stigningstallet kan du finne funksjonsutrykket ved å bruke følgende formel:

<math> y-y_1 = a(x-x_1) </math>

a er stigningstallet og <math>(x_1 , y_1) </math> er koordinatene til punktet.


Eksempel 3:

Hva er funksjonsuttrykket til en funksjon som har stigningstall 2 og går gjennom punktet (-2,-1)?

<math> y-(-1) = 2(x-(-2)) </math>

<math> y = 2x + 3 </math>



Test deg selv

Topunktsformelen

Dersom man kjenner to punkter på en rett linje er stigningstallet a gitt som:

<math> a =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} </math>

Desom man setter dette uttrykket inn i etpunktsformelen over får man:

<math> y- y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1) </math>



Eksempel 4:

En lineær funksjon gpr gjennom punktene (1,4) og (3,5). Finn funksjonsuttrykket.

Andregradsfunksjoner

Funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon er gitt som

<math> f(x) = ax^2 + bx + c </math>

Gitt på denne formen er <math>ax^2</math> andregradsleddet, bx er førstegradsleddet og c er konstantleddet. Grafene til andregradsfunksjoner kalles parabler. Grafene krummer og er symmetriske om symmetriaksen som er gitt som:

Symmetriakse:
<math> x = \frac{-b}{2a}</math>


Eksempel 5:

Finn symmetriaksen til funksjonen
<math> f(x) = -x^2 + 2x + 4 </math>

Løsning:

<math> x = \frac{-b}{2a} =\frac{-2}{2 \cdot (-1)} =1</math>


Dersom konstanten a i andregradsleddet er positiv vender grafen sin hule side oppover, den ”smiler”

Dersom konstanten er negativ vender grafen sin hule side nedover, den er ”sur”.

En andregradsfunksjon kan også være gitt på formen


<math> f(x) = a(x + b)^2 + c </math>


Konstanten a vil være den samme i begge fremstillingsmåter, men konstantene b og c er forskjellige. Hvilke fremstillingsmåte man benytter er smak og behag, men begge har sine fordeler.


Eksempel 6:

<math>f(x) = a(x + b)^2 + c </math>


Grafen nedenfor viser funksjonen

I f(x) = 0,4x2 -2x +1

eventuelt

II f(x) = 0,4(x -2,5)2 -1,5


Fordelen med utrykk I er at det er på formen man bruker i ”abc” formelen, for å finne nullpunkter.

Fordelen med uttrykk II er at det gir symmetriakse og minimumspunkt direkte. Dersom man multipliserer ut parentesene og trekker sammen ender man opp med uttrykk I.

Animasjon

Rasjonale funksjoner

Funksjoner der x inngår som en del av nevneren kalles brøkfunksjoner eller asymptotiske funksjoner. . Funksjonene går ofte mot en grense når x går mot en bestemt verdi. Dette kalles for asymptoter.

En rett linje som grafen til f(x) nærmer seg når x går mot en bestemt verdi eller <math> \pm \infty </math>. En graf kan godt krysse en asymptote. Vi har vertikale og horisontale (eller skrå) asymptoter.


Figuren viser grafen til funksjonen <math>f(x)= \frac{x-1}{x-2}</math>

Vi ser at grafen har en vertikal asymptote for x = 2 og en horisontal asymptote for y = 1.


Vertikal asymptote

Dersom f (x) går mot pluss / minus uendelig når x nærmer seg et tall a fra den ene eller andre siden (eller begge) så er linjen X = a en vertikal asymptote for f. Dette kan formuleres slik:

<math> \lim\limits_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty \quad \quad \quad \lim\limits_{x \to a^-} f(x)= \pm \infty </math>

I eksempelet over er a = 2.

Horisontal (og skrå) asymptote

For å finne den horisontale asymptoten må vi undersøke hva som skjer med verdien av f (x) når x går mot ± uendelig. Dette skrives slik:

<math> \lim\limits_{x \to \infty} f(x)= k \quad \quad \quad \lim\limits_{x \to - \infty} f(x)= k </math>


Dette leses "grenseverdien til f (x) når x går mot pluss / minus uendelig". Dersom et eller begge kriteriene er oppfylt er linjen y = k en horisontal asymptote for f.

For å kunne se hva f går mot når x går mot ± uendelig kan det være nødvendig å foreta en polynomdivisjon. Dersom <math>f(x)= \frac{h(x)}{g(x)} </math> utfører vi divisjonen. Dersom vi gjør det med eksempelet over ser vi at f (x) kan skrives som <math>f (x) = 1+ \frac{1}{x-2}</math>. Nå ser vi lett at f går mot 1 når x går mot ± uendelig.

Når teller og nevner er av samme orden blir asymptoten en horisontal linje. Dersom telleren h (x) er en orden over nevneren får vi en skrå asymptote. Dersom vi har funksjonen <math>f (x)= \frac{3x^2 + 2x -5}{x} </math>og utfører divisjonen ser vi at den kan skrives som <math>f (x)= 3x + 2 - \frac 5x</math>. Vi ser at når x går mot ± uendelig går f mot den rette linjen 3x + 2. Grafen ser slik ut:




Polynomfunksjoner

Funksjoner som består av flere ledd. Både rettlinjede funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner, men så sentrale at de behandles spesielt.


Generelt er polynomfunksjoner gitt ved:


<math> f(x) = a\cdot x^n + b\cdot x^{n-1}+ ...+ c </math>




Der n er hele positive tall.



På vgs. befatter vi oss av og til med funksjoner av 3. og 4. grad, men sjelden funksjoner av høyere grad.

Potensfunksjoner

Potensfunksjoenr er av typen:


<math>f(x) = a\cdot x^b </math>
der x og b >0



Eksempel:
$ f(x) = a\cdot b^x$



(Dersom b = -1 har vi en asymptotisk funksjon hvis graf er en hyperbel. Dersom b = 1 får man en rett linje gjennom origo, med stigning en. Legg merke til at f(1) = a, fordi 1b er 1 uansett b - verdi.)


Dersom 1>b>0 vokser funksjonen raskest for små verdier av x, for så å avta noe (avhengig av b). Dersom b > 1 vokser funksjonen raskest for store verdier av x.



Figuren viser grafene til f(x) = x 0,5 og til g(x) = x 1,5 .

Eksponentialfunksjoner

Dersom vi har en situasjon der noe endrer seg opp eller ned med en fast prosent per tidsenhet, har vi en eksponentiell situasjon og kan lage en eksponentialfunksjon.

Funksjoner av typen

<math> f(x) = a\cdot b^x \\ (b > 0)</math>


kalles eksponentialfunksjoner

Funksjonene illustrerer ofte en eller annen form for vekst. I biologien finnes det populasjoner som, i perioder, vokser tilnærmet etter disse modellene.

Eksempel:
<math> f(x) = a\cdot b^x \quad \quad (b > 0)</math>


Dersom b > 1 vokser funksjonen med økende x-verdi. Er 1 > b > 0 avtar funksjonen med økende x-verdi.


Figuren viser grafen til f(x) = 0,5x og til g(x) = 1,5x.

Man kan bruke et hvilket som helst positivt tall som grunntall (b). Det mest vanlige er e.

Lek med eksponentialfunksjonen