Trigonometriske identiteter: Forskjell mellom sideversjoner
(25 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke) | |||
Linje 17: | Linje 17: | ||
*Dette kalles orienterte vinkler. | *Dette kalles orienterte vinkler. | ||
*I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer). | *I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer). | ||
* Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling. | |||
Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger: | Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger: | ||
Linje 116: | Linje 118: | ||
'''BEVIS (3):''' | '''BEVIS (3):''' | ||
$\cos(-v)= \cos v \quad \quad \color{red}{( | $\cos(-v)= \cos v \ \sin(-v) = - \sin v $ | ||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;"> | |||
'''BEVIS (5):''' | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;"> | |||
'''BEVIS (4):''' | |||
$ \sin (u+v)= \sin u \cos v + \cos u \sin v \ \sin (u+(-v)) = \sin u \cos(-v) + \cos u \sin(-v) \ \sin (u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v \quad \quad \color{red}{(4)}$ | |||
</div> | </div> | ||
Linje 151: | Linje 180: | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
$sin u + sin v= 2 sin ( \frac{u+v}{2}) cos ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(10)}$ | |||
$sin u - sin v= 2 cos ( \frac{u+v}{2}) sin ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(11)}$ | |||
$cos u + cos v= 2 cos ( \frac{u+v}{2}) cos ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(12)}$ | |||
$cos u - cos v= - 2 sin ( \frac{u+v}{2}) sin ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(13)}$ | |||
</div> | </div> | ||
==Fra produkt til sum== | ==Fra produkt til sum== | ||
Linje 167: | Linje 195: | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
$sin u sinv = \frac 12[ cos (u-v) - cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(14)}$ | |||
$cos u cos v = \frac 12[ cos (u-v) + cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(15)}$ | |||
$sin u cos v = \frac 12[ sin (u+v) + sin (u-v)]\quad \quad \color{red}{(16)}$ | |||
$cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u | $cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u-v)]\quad \quad \color{red}{(17)}$ | ||
</div> | </div> | ||
==Flere funksjoner== | ==Flere funksjoner== | ||
De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2. | |||
[[Bilde:Trigtrekant.gif]] | |||
De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til: | |||
• | |||
• | |||
• | |||
Linje 247: | Linje 286: | ||
| | | | ||
|}</center> | |}</center> | ||
Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt. | Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt. |
Siste sideversjon per 15. aug. 2023 kl. 11:28
Spisse vinkler
De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:
DEFINISJONER
•
•
•
Enhetssirkelen - sin - cos - tan
De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler.
- Vi tegner en sirkel med radius 1.
- Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken.
- Dette kalles orienterte vinkler.
- I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).
- Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling.
Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:
Sin og cos har begge perioden
Enhetssirkelen og dens fire kvadranter:
Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn.
En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant.
Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene.
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til cosinus:
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til sinus:
Identiteter
Sum og differanser av vinkler
BEVIS (3):
BEVIS (5):
BEVIS (4):
Dobble vinkler
Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u
Fra sum til produkt
Fra produkt til sum
Flere funksjoner
De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2.
De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:
•
•
•
Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.
Uttrykt ved | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.
Kvadrant | I | II | III | IV |
cos | pos | neg | neg | pos |
sin | pos | pos | neg | neg |
tan | pos | neg | pos | neg |
cot | pos | neg | pos | neg |
sec | pos | neg | neg | pos |
cosec | pos | pos | neg | neg |