Trigonometriske identiteter: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(65 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 12: Linje 12:


==Enhetssirkelen - sin - cos - tan==
==Enhetssirkelen - sin - cos - tan==
De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler. Vi tegner en sirkel med radius 1 der positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken. Dette kalles orienterte vinkler. I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).
De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler.  
*Vi tegner en sirkel med radius 1.
*Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken.  
*Dette kalles orienterte vinkler.  
*I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).
* Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling.
 
Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:
Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:


Linje 20: Linje 26:
sin(a)=ycos(a)=xtan(a)=yx
sin(a)=ycos(a)=xtan(a)=yx


Sin og cos har begge perioden 2π. Tan har perioden π.




\ \ cot (a) = \frac xy \quad \quad sec (a) = \frac 1x \quad \quad cosec (a) = \frac 1y </math>
Enhetssirkelen og dens fire kvadranter:




[[Bilde:trig-3-4-2-1.png]]


Sin og cos har alle perioden 2π. Tan har perioden π.
Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn.


En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant.


[[Bilde:trig-3-4-2-3.png]]


Enhetssirkelen og dens fire kvadranter
Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene.


[[Bilde:trig-3-4-2-1.png]]
[[Bilde:trig-3-4-2-2.png]]
 
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til '''cosinus:'''
 
 
v=ucos(v)=cos(v)cos(v)=cos(2πv)cosv=cos(πv)


[[Bilde:trig-3-4-2-4.png]]


[[Bilde:trig-3-4-2-2.png]]
$cos (\alpha) = sin(\frac{\pi}{2}- \alpha) \ sin (\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$


==Identiteter==
[[Bilde:trig-3-4-2-5.png]]


Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene.
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til '''sinus:'''
Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.


[[Bilde:Trigtolkning.gif]]
sin(α)=sin(α)sin(α)=sin(πα)sin(α)=sin(α+2π)sin(π+α)=sin(2πα)


==Identiteter==
   
   


Definisjoner:


Det finnes mange trigonometriske identiteter. Her er noen av dem.


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
Linje 59: Linje 73:


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;">
BEVIS (1):
'''BEVIS (1):'''


[[File:pyt_1.png]]
[[File:pyt_1.png]]
Linje 66: Linje 80:


</div>
</div>
tan2v+1=sec2v(2)cot2v+1=csc2v(3)
<center>
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
|+ Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.
! Uttrykt ved
! scope="col" | sinv
! scope="col" | cosv
! scope="col" | tanv!
! scope="col" | cscv
! scope="col" | secv
! scope="col" | cotv
|-
! sinv=
| sinv
| ±1cos2v
| ±tanv1+tan2v
| 1cscv
| ±sec2v1secv
| ±11+cot2v
|-
! cosv=
| ±1sin2v
| cosv
| ±11+tan2v
| ±csc2v1cscv
| 1secv
| ±cotv1+cot2v
|-
! tanv=
| ±sinv1sin2v
| ±1cos2vcosv
| tanv
| ±1csc2v1
| ±sec2v1
| 1cotv
|-
! cscv=
| 1sinv
| ±11cos2v
| ±1+tan2vtanv
| cscv
| ±secvsec2v1
| ±1+cot2v
|-
! secv=
| ±11sin2v<center>
| 1cosv
| ±1+tan2v
| ±cscvcsc2v1
| secv
| ±1+cot2vcotv
|-
! cotv=
| ±1sin2vsinv
| ±cosv1cos2v
| 1tanv
| ±csc2v1
| ±1sec2v1
| cotv
|}</center>


==Sum og differanser av vinkler==
==Sum og differanser av vinkler==
Linje 144: Linje 95:




BEVIS (2):
'''BEVIS (2):'''




Linje 165: Linje 116:




BEVIS (3):
'''BEVIS (3):'''
 
 
cos(v)=cosvsin(v)=sinv
 
 
cos(uv)=cos(u(v))=cosucos(v)+sinusin(v)cos(u+v)=cosucosvsinusinv(3)
 
</div>
 
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;">
 
 
 


Fra (2):
'''BEVIS (5):'''
Setter u = 0, cos 0 = 1 og sin 0 = 0:
 
$ sin v = cos (90 - v) \ sin (u + v) = cos (90 - (u+v)) \ sin (u+v) = cos ((90-u)-v) \ sin (u+v) = cos (90+u) cosv +  sin(90-u)sinv \ sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v \quad \quad \color{red}{(5)}$
 
 
 
 
</div>
 
 
 
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;">
 
 
'''BEVIS (4):'''
 
sin(u+v)=sinucosv+cosusinvsin(u+(v))=sinucos(v)+cosusin(v)sin(uv)=sinucosvcosusinv(4)


cos(v)=cosv(2)


Bruker (1) og (2) og får:


cos(uv)=cos(u(v))=cosucos(v)+sinusin(v)(1) cos(v)=cosvsin(v)=sinvså:cos(u+v)=cosucosvsinusinv(3)


</div>
</div>
Linje 180: Linje 158:
==Dobble vinkler==
==Dobble vinkler==


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">


sin(2u)=2sin(u)cos(u)(6) cos(2u)=cos2usin2u(7)


<math>sin(2u) = 2sin(u) \cdot cos(u) </math>
</div>




cos(2u)=cos(u+u)=cos(u)cos(u)sin(u)sin(u)=cos2(u)sin2(u)
cos(2u)=cos(u+u)=cos(u)cos(u)sin(u)sin(u)=cos2(u)sin2(u)


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
cos(2u)=2cos21(u)(8)
cos(2u)=12sin2(u)(9)
</div>
Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u
==Fra sum til produkt==
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
sinu+sinv=2sin(u+v2)cos(uv2)(10)
sinusinv=2cos(u+v2)sin(uv2)(11)
cosu+cosv=2cos(u+v2)cos(uv2)(12)
cosucosv=2sin(u+v2)sin(uv2)(13)
</div>
==Fra produkt til sum==
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
sinusinv=12[cos(uv)cos(u+v)](14)


<math>1 + cos(2u) = 2 cos^2 (u)</math>
$cos u cos v = \frac 12[ cos (u-v) + cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(15)}$


sinucosv=12[sin(u+v)+sin(uv)](16)


<math>1 - cos(2u) = 2 sin^2 (u)</math>
$cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u-v)]\quad \quad \color{red}{(17)}$


Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u
</div>


==Flere funksjoner==


De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2.


===Flere funksjoner===
[[Bilde:Trigtrekant.gif]]
Nedenfor følger en rekke trigonometriske identiteter. Noen er pensum i norsk skole (R2), andre ikke. Vi mener det er riktig å vise alle, da noen av dere kan komme til å studere i land der disse er pensum.  


cot(a)=xysec(a)=1xcosec(a)=1y


De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:  
De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:  
Linje 207: Linje 218:
secB=ac=1cosB<p></p>  
secB=ac=1cosB<p></p>  
cosecB=ab=1sinB<p></p>
cosecB=ab=1sinB<p></p>
tan2v+1=sec2v(2)cot2v+1=csc2v(3)
[[Bilde:trig-3-4-2-7.png]]
Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene.
Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.
<center>
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
|+ Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.
! Uttrykt ved
! scope="col" | sinv
! scope="col" | cosv
! scope="col" | tanv!
! scope="col" | cscv
! scope="col" | secv
! scope="col" | cotv
|-
! sinv=
| sinv
| ±1cos2v
| ±tanv1+tan2v
| 1cscv
| ±sec2v1secv
| ±11+cot2v
|-
! cosv=
| ±1sin2v
| cosv
| ±11+tan2v
| ±csc2v1cscv
| 1secv
| ±cotv1+cot2v
|-
! tanv=
| ±sinv1sin2v
| ±1cos2vcosv
| tanv
| ±1csc2v1
| ±sec2v1
| 1cotv
|-
! cscv=
| 1sinv
| ±11cos2v
| ±1+tan2vtanv
| cscv
| ±secvsec2v1
| ±1+cot2v
|-
! secv=
| ±11sin2v<center>
| 1cosv
| ±1+tan2v
| ±cscvcsc2v1
| secv
| ±1+cot2vcotv
|-
! cotv=
| ±1sin2vsinv
| ±cosv1cos2v
| 1tanv
| ±csc2v1
| ±1sec2v1
| cotv
|}</center>


Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.
Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.
Linje 247: Linje 326:


</table>
</table>





Siste sideversjon per 15. aug. 2023 kl. 11:28

Spisse vinkler

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:

DEFINISJONER

sinB=ba

cosB=ca

tanB=bc=sinBcosB

Enhetssirkelen - sin - cos - tan

De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler.

  • Vi tegner en sirkel med radius 1.
  • Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken.
  • Dette kalles orienterte vinkler.
  • I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).
  • Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling.

Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:



sin(a)=ycos(a)=xtan(a)=yx


Sin og cos har begge perioden 2π. Tan har perioden π.


Enhetssirkelen og dens fire kvadranter:


Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn.

En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant.

Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene.

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til cosinus:


v=ucos(v)=cos(v)cos(v)=cos(2πv)cosv=cos(πv)

cos(α)=sin(π2α)sin(α)=cos(π2α)

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til sinus:

sin(α)=sin(α)sin(α)=sin(πα)sin(α)=sin(α+2π)sin(π+α)=sin(2πα)

Identiteter

sin2v+cos2v=1(1)


BEVIS (1):

Relasjonen fremkommer ved å anvende Pytagoras direkte i enhetssirkelen.

Sum og differanser av vinkler

cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)(2)cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)(3)sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)(4)sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)(5)



BEVIS (2):


Vinkelen (u-v) er vinkelen mellom vektorene OB og OC Begge disse har lengde en.

OB=[cosv,sinv]OC=[cosu,sinu]

Skalarprodukt:

[cosu,sinu][cosv,sinv]=11cos(uv)cos(uv)=cosucosv+sinusinv(2)




BEVIS (3):


cos(v)=cosvsin(v)=sinv


cos(uv)=cos(u(v))=cosucos(v)+sinusin(v)cos(u+v)=cosucosvsinusinv(3)




BEVIS (5):

sinv=cos(90v)sin(u+v)=cos(90(u+v))sin(u+v)=cos((90u)v)sin(u+v)=cos(90+u)cosv+sin(90u)sinvsin(u+v)=sinucosv+cosusinv(5)





BEVIS (4):

sin(u+v)=sinucosv+cosusinvsin(u+(v))=sinucos(v)+cosusin(v)sin(uv)=sinucosvcosusinv(4)



Dobble vinkler

sin(2u)=2sin(u)cos(u)(6) cos(2u)=cos2usin2u(7)


cos(2u)=cos(u+u)=cos(u)cos(u)sin(u)sin(u)=cos2(u)sin2(u)

cos(2u)=2cos21(u)(8)

cos(2u)=12sin2(u)(9)

Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u

Fra sum til produkt

sinu+sinv=2sin(u+v2)cos(uv2)(10)

sinusinv=2cos(u+v2)sin(uv2)(11)

cosu+cosv=2cos(u+v2)cos(uv2)(12)

cosucosv=2sin(u+v2)sin(uv2)(13)

Fra produkt til sum

sinusinv=12[cos(uv)cos(u+v)](14)

cosucosv=12[cos(uv)+cos(u+v)](15)

sinucosv=12[sin(u+v)+sin(uv)](16)

cosusinv=12[sin(u+v)sin(uv)](17)

Flere funksjoner

De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2.

cot(a)=xysec(a)=1xcosec(a)=1y

De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:

cotB=cb=cosBsinB=1tanB

secB=ac=1cosB

cosecB=ab=1sinB


tan2v+1=sec2v(2)cot2v+1=csc2v(3)

Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.

Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.
Uttrykt ved sinv cosv tanv! cscv secv cotv
sinv= sinv ±1cos2v ±tanv1+tan2v 1cscv ±sec2v1secv ±11+cot2v
cosv= ±1sin2v cosv ±11+tan2v ±csc2v1cscv 1secv ±cotv1+cot2v
tanv= ±sinv1sin2v ±1cos2vcosv tanv ±1csc2v1 ±sec2v1 1cotv
cscv= 1sinv ±11cos2v ±1+tan2vtanv cscv ±secvsec2v1 ±1+cot2v
secv= ±11sin2v
1cosv ±1+tan2v ±cscvcsc2v1 secv ±1+cot2vcotv
cotv= ±1sin2vsinv ±cosv1cos2v 1tanv ±csc2v1 ±1sec2v1 cotv

Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.

Kvadrant I II III IV
cos pos neg neg pos
sin pos posneg neg
tan pos negpos neg
cot posneg pos neg
sec pos neg neg pos
cosec pos pos neg neg