Trigonometriske identiteter: Forskjell mellom sideversjoner
(65 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke) | |||
Linje 12: | Linje 12: | ||
==Enhetssirkelen - sin - cos - tan== | ==Enhetssirkelen - sin - cos - tan== | ||
De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler. Vi tegner en sirkel med radius 1 | De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler. | ||
*Vi tegner en sirkel med radius 1. | |||
*Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken. | |||
*Dette kalles orienterte vinkler. | |||
*I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer). | |||
* Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling. | |||
Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger: | Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger: | ||
Linje 20: | Linje 26: | ||
Sin og cos har begge perioden | |||
Enhetssirkelen og dens fire kvadranter: | |||
[[Bilde:trig-3-4-2-1.png]] | |||
Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn. | |||
En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant. | |||
[[Bilde:trig-3-4-2-3.png]] | |||
Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene. | |||
[[Bilde:trig-3-4-2- | [[Bilde:trig-3-4-2-2.png]] | ||
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til '''cosinus:''' | |||
[[Bilde:trig-3-4-2-4.png]] | |||
$cos (\alpha) = sin(\frac{\pi}{2}- \alpha) \ sin (\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ | |||
[[Bilde:trig-3-4-2-5.png]] | |||
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til '''sinus:''' | |||
==Identiteter== | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
Linje 59: | Linje 73: | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;"> | ||
BEVIS (1): | '''BEVIS (1):''' | ||
[[File:pyt_1.png]] | [[File:pyt_1.png]] | ||
Linje 66: | Linje 80: | ||
</div> | </div> | ||
==Sum og differanser av vinkler== | ==Sum og differanser av vinkler== | ||
Linje 144: | Linje 95: | ||
BEVIS (2): | '''BEVIS (2):''' | ||
Linje 165: | Linje 116: | ||
BEVIS (3): | '''BEVIS (3):''' | ||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;"> | |||
'''BEVIS (5):''' | |||
$ sin v = cos (90 - v) \ sin (u + v) = cos (90 - (u+v)) \ sin (u+v) = cos ((90-u)-v) \ sin (u+v) = cos (90+u) cosv + sin(90-u)sinv \ sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v \quad \quad \color{red}{(5)}$ | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #00ff66;"> | |||
'''BEVIS (4):''' | |||
</div> | </div> | ||
Linje 180: | Linje 158: | ||
==Dobble vinkler== | ==Dobble vinkler== | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |||
</div> | |||
Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u | |||
==Fra sum til produkt== | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |||
</div> | |||
==Fra produkt til sum== | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |||
$cos u cos v = \frac 12[ cos (u-v) + cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(15)}$ | |||
$cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u-v)]\quad \quad \color{red}{(17)}$ | |||
</div> | |||
==Flere funksjoner== | |||
De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2. | |||
[[Bilde:Trigtrekant.gif]] | |||
De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til: | De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til: | ||
Linje 207: | Linje 218: | ||
• | • | ||
• | • | ||
[[Bilde:trig-3-4-2-7.png]] | |||
Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. | |||
Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen. | |||
<center> | |||
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center" | |||
|+ Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem. | |||
! Uttrykt ved | |||
! scope="col" | | |||
! scope="col" | | |||
! scope="col" | | |||
! scope="col" | | |||
! scope="col" | | |||
! scope="col" | | |||
|- | |||
! | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
|- | |||
! | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
|- | |||
! | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
|- | |||
! | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
|- | |||
! | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
|- | |||
! | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
| | |||
|}</center> | |||
Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt. | Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt. | ||
Linje 247: | Linje 326: | ||
</table> | </table> | ||
Siste sideversjon per 15. aug. 2023 kl. 11:28
Spisse vinkler
De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:
DEFINISJONER
•
•
•
Enhetssirkelen - sin - cos - tan
De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler.
- Vi tegner en sirkel med radius 1.
- Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken.
- Dette kalles orienterte vinkler.
- I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).
- Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling.
Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:
Sin og cos har begge perioden
Enhetssirkelen og dens fire kvadranter:
Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn.
En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant.
Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene.
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til cosinus:
Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til sinus:
Identiteter
Sum og differanser av vinkler
BEVIS (3):
BEVIS (5):
BEVIS (4):
Dobble vinkler
Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u
Fra sum til produkt
Fra produkt til sum
Flere funksjoner
De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2.
De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:
•
•
•
Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.
Uttrykt ved | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.
Kvadrant | I | II | III | IV |
cos | pos | neg | neg | pos |
sin | pos | pos | neg | neg |
tan | pos | neg | pos | neg |
cot | pos | neg | pos | neg |
sec | pos | neg | neg | pos |
cosec | pos | pos | neg | neg |