|
|
(10 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke) |
Linje 1: |
Linje 1: |
|
| |
|
| == Innledning ==
| |
|
| |
| Fra siden om [[potenser uten brøkeksponent]] vet vi at . Sagt med ord sier vi at " multiplisert med seg selv er lik i andre".
| |
| Andregradslikninger inneholder alltid et ledd hvor er en faktor.
| |
| <br>
| |
|
| |
| En '''andregradslikning''' er en likning på formen , der , og er konstanter og . Konstantene i en annengradslikning kalles koeffisienter.
| |
|
| |
| En løsninger av en likning kalles også en ''rot'' i likningen. Å finne røttene i en likning er altså det samme som å løse likningen.
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
|
| |
| En fullstendig andregradslikning skrives på formen
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| ax^2 + bx + c = 0
| |
| $
| |
|
| |
| Likningen har tre ledd:
| |
|
| |
| * kalles andregradsleddet,
| |
| * kalles førstegradsleddet,
| |
| * kalles konstantleddet.
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
|
| |
| == Ufullstendig likninger ==
| |
|
| |
| Dersom minst en av koeffisientene eller er lik null sier vi at andregradslikningen er ufullstendig.
| |
| Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger, fordi én av koeffisientene er lik null, slik at likningene mangler et ledd.
| |
|
| |
| Dersom har vi en førstegradslikning som løses med metoden beskrevet i [[likninger av første grad]].
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| === Tilfellet b = 0 ===
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
|
| |
|
| |
| Dersom ser likningen slik ut:<br>
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| ax^2 + c = 0
| |
| $
| |
|
| |
| Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot:
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| x = \pm \sqrt {- \frac {c}{a}}
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
| Legg merke til at enten eller (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel 1:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Løs likningen
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| 4x^2 - 8 = 0
| |
| $
| |
|
| |
| Vi løser ved "bytt og flytt" og deretter ta kvadratroten:
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| 4x^2 &= 8 \
| |
| x^2 &= \frac84 \
| |
| x &= \pm \sqrt { \frac {8}{4}}
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| x = \sqrt {2} \qquad \vee \qquad x = - \sqrt {2}
| |
| $
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| === Tilfellet c = 0 ===
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
| <br>
| |
| Dersom har vi følgende formel:
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| ax^2 + bx = 0
| |
| $
| |
|
| |
| Vi løser ved faktorisering:
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| x (ax + b) = 0
| |
| $
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| x = 0 \qquad &\vee \qquad ax + b = 0 \
| |
| x = 0 \qquad &\vee \qquad x = - \frac ba
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel 2:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Løs likningen
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| -3x^2 + 6x = 0
| |
| $
| |
|
| |
| Løsning ved faktorisering:
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| x (-3x + 6) = 0
| |
| $
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| x = 0 \qquad &\vee \qquad -3x + 6 = 0 \
| |
| x = 0 \qquad &\vee \qquad x = 2
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| == ABC-formelen ==
| |
|
| |
| En andregradslikning på formen kan alltid løses ved hjelp av ABC-formelen, som ser slik ut:
| |
|
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
|
| |
| ABC-formelen er
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
| |
| $
| |
|
| |
| når
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| ax^2 + bx + c =0
| |
| $
| |
|
| |
| *Dersom er positiv, vil likningen ha to ulike løsninger.
| |
| *Dersom kan vi si at likningen har en enkelt løsning - eller også to like løsninger.
| |
| *Dersom er mindre enn null, får vi ingen løsning.
| |
| </div>
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel 3:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Løs likningen
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| 3x^2 + 2x - 1 =0
| |
| $
| |
|
| |
| Likningen har koeffisenter , og <br>
| |
|
| |
| Ved å bruke ABC-formelen får man:
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| x &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \ \
| |
| &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6} \ \
| |
| &= \frac{-2 \pm 4}{6}
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
| Likningen har to ulike løsninger:
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| x = \frac{-2 + 4}{6} \qquad &\vee \qquad x= \frac{-2 - 4}{6} \ \
| |
| x = \frac{1}{3} \qquad &\vee \qquad x = - 1
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"><br>
| |
| '''Eksempel 4:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Finn røttene i likningen
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| -x^2 + 4x - 4 =0
| |
| $
| |
|
| |
| Koeffisientene er , og
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Ved å bruke ABC-formelen får man:
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)} \ \
| |
| &= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2}
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
| Med null under rottegnet får man kun en løsning, .
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel 5:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Løs likningen:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| 3x^2 + 2x + 2 =0
| |
| </math>
| |
|
| |
| Koeffisientene er , og .
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Ved å bruke ABC-formelen får man:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \begin{aligned}
| |
| x &= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \ \
| |
| &= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \ \
| |
| &= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}
| |
| \end{aligned}
| |
| </math>
| |
|
| |
| Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at likningen ikke har reell løsning.
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel 6:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Løs likningen:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| 4x^2 - 1 =0
| |
| </math>
| |
|
| |
| Koeffisientene er , og
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Likningen mangler førstegradsleddet (), og det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.
| |
| Det er også fullt mulig å bruke ABC-formelen, og da får man:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \begin{aligned}
| |
| x &= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \ \
| |
| &= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8} \ \
| |
| &=\pm \frac{ 4}{8}
| |
| \end{aligned}
| |
| </math>
| |
|
| |
| Likningen har to løsninger:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2}
| |
| </math>
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br><br>
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel 7:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Løs likningen:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| -3x^2 + 6x = 0
| |
| </math>
| |
|
| |
| Koeffisentene er , og
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Ved å bruke ABC-formelen får man:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \begin{aligned}
| |
| x &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6} \ \
| |
| &= \frac{-6 \pm 6}{-6}
| |
| \end{aligned}
| |
| </math>
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0
| |
| </math>
| |
|
| |
| Man ser at ABC-formelen virker her også, men siden konstantleddet mangler (), ville det være mer fornuftig å faktorisere ut og løse likningene som vist over.
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
|
| |
| == Grafisk fremstilling av andregradslikninger ==
| |
|
| |
|
| |
| Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen? Det kan vi forstå dersom vi studerer grafen til andregradspolynomet i likningen.
| |
| Løsninger i likningen finner vi som verdiene av der grafen skjærer -aksen, det vil si der .
| |
|
| |
| Figuren under viser tre ulike andregradspolynom.
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| [[Bilde:2likn.PNG]]
| |
|
| |
| <br><br>
| |
|
| |
| Dersom grafen til andregradspolynomet krysser -aksen, har likningen to løsninger. Likningen har to løsninger fordi , og grafen til skjærer -aksen ''to'' steder.
| |
|
| |
| Dersom grafen tangerer -aksen har likningen en løsning. Likningen har en løsning fordi . Grafen til tangerer -aksen i ett punkt, i .
| |
|
| |
| Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer -aksen, har likningen ingen løsning. Likningen har ingen løsning fordi . Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. <br><br>
| |
|
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
|
| |
| == Bevis for ABC-formelen ==
| |
|
| |
| For å bevise ABC-formelen bruker en [[kvadratsetningene|første kvadratsetning]], som vist i det følgende avsnittet.
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| ax^2 + bx + c &= 0 \ \
| |
| x^2 + \frac bax + \frac ca &= 0 \ \
| |
| x^2 + \frac bax &= - \frac ca \ \
| |
| x^2 + 2\frac {b}{2a}x &= - \frac ca \ \
| |
| x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 \ \
| |
| (x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} \ \
| |
| (x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} \ \
| |
| (x +\frac {b}{2a})^2 &= \frac {-4ac+b^2}{4a^2} \ \
| |
| (x +\frac {b}{2a}) &= \pm \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \ \
| |
| x &= -\frac {b}{2a} \pm {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}} \ \
| |
| x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
|
| |
| == Fullstendig kvadrat ==
| |
|
| |
| Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å ''halvere, kvadrere, addere.....''
| |
| <br>
| |
| For å kunne bruke teknikken må du kunne [[kvadratsetningene]] godt.
| |
|
| |
| <br>
| |
| Det følgende eksempelet viser hvordan det gjøres:
| |
|
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel 8: '''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Løs likningen
| |
|
| |
| $
| |
| \displaystyle
| |
| 2x^2 - 3x +1 = 0
| |
| $
| |
|
| |
| Vi omformer likningen:
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| x^2 - \frac 32 x + \frac 12 &=0 \ \
| |
| x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \ \
| |
| x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \ \
| |
| x^2 - \frac 32 x + ( \frac 34)^2 &= - \frac 12 + ( \frac 34)^2 \ \
| |
| (x - \frac 34)^2 &= \frac {1}{16}
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
| $
| |
| \begin{aligned}
| |
| x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad &\vee \qquad x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}} \ \
| |
| x = 1\qquad &\vee \qquad x = \frac {1}{2}
| |
| \end{aligned}
| |
| $
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til ABC-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om god karakter (5,6), er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.
| |
|
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
|
| |
| == Andregradslikninger på produktform ==
| |
|
| |
| Man kan ha andregradslikninger på formen:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| (x + 1)(x – 2) = 0
| |
| </math>
| |
|
| |
| Du ser at dette er en andregradslikning om du multipliserer ut parentesene:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| (x + 1)(x – 2) = x^2 - 2x + x – 2 = x^2 – x – 2
| |
| </math>
| |
|
| |
| Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke ABC–formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse likningen på:
| |
|
| |
| Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.
| |
|
| |
| Likningen medfører at eller må være lik null, om likningen skal være oppfylt.
| |
|
| |
|
| |
| I eksemplet
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| (x + 1)(x – 2) = 0
| |
| </math>
| |
|
| |
| betyr det at , eller at .
| |
|
| |
| Det gir løsningene og .
| |
|
| |
| Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradslikninger.
| |
|
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
|
| |
| == Faktorisering av andregradsuttrykk ==
| |
|
| |
| Det generelle andregradsuttrykket er Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.
| |
|
| |
| Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2)
| |
| </math>
| |
|
| |
| Der og er løsninger av
| |
| </div>
| |
|
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Faktoriser polynomet
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| 6x^2-4x-2
| |
| </math>
| |
|
| |
| Vi løser først likningen ved hjelp av ABC-formelen og får
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13
| |
| </math>
| |
|
| |
| Så bruker vi formelen over og får:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| 6x^2-4x-2 = a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13)
| |
| </math>
| |
|
| |
| Denne fremgangsmåten er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Skriv enklest mulig:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| \frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13}
| |
| </math>
| |
|
| |
| Vi faktoriserer og får:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| \frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1)
| |
| </math>
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
| <br>
| |
|
| |
| == Sum og produkt av røtter ==
| |
|
| |
| Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
| |
|
| |
| En fullstendig andregradslikning skrives på formen
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| ax^2 + bx + c = 0
| |
| </math>
| |
|
| |
| Dersom og er røtter (løsninger) i likningen, så er
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \begin{aligned}
| |
| x_1 + x_2 &= - \frac ba \ \
| |
| x_1 \cdot x_2 &= \frac ca
| |
| \end{aligned}
| |
| </math>
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
| |
| '''Eksempel:'''
| |
|
| |
| <br>
| |
|
| |
| Vi ønsker å finne et andregradsuttrykk som har røttene og . Utover det har vi ingen andre krav.
| |
|
| |
| <br><br>
| |
| Vi får:
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \begin{aligned}
| |
| x_1 + x_2 &=- \frac ba \ \
| |
| -2 + 1 &= - \frac ba \ \
| |
| a &= b
| |
| \end{aligned}
| |
| </math>
| |
|
| |
| Siden vi ikke har krav til koeffisientene kan vi jo velge . Da får vi at og
| |
| .
| |
|
| |
| <br>
| |
| Produktet av røttene må oppfylle likningen
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \begin{aligned}
| |
| x_1 \cdot x_2 &= \frac ca \ \
| |
| -2 \cdot 1 &= \frac ca \ \
| |
| c &= -2
| |
| \end{aligned}
| |
| </math>
| |
|
| |
| Vi får da likningen
| |
|
| |
| :<math>
| |
| \displaystyle
| |
| x^2 + x - 2 = 0
| |
| </math>
| |
|
| |
| Ved å bruke ABC-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for og for
| |
|
| |
| <br>
| |
| Dersom man anvender disse formlene og finner en likning, må man sjekke at den virkelig har løsninger.
| |
|
| |
| </div>
| |
|
| |
| ----
| |
|
| |
| [[1T Hovedside|Tilbake til 1T Hovedside]]<p></p>
| |
| [[Hovedside]]
| |
| [[Category:Algebra]][[Category:Ped]][[Category:1T]]
| |