Potenser: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(20 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 101: Linje 101:


a3a2=a32=a1=a
a3a2=a32=a1=a
</div>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=i1833JE6W2c Video eksempel]
</div>
</div>


Linje 171: Linje 178:
23=123=18
23=123=18
</div>
</div>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=66v-WdveNF0 Video eksempel]
</div>




Linje 239: Linje 254:
<math> \frac{(a^2b^4)^{3} \cdot b \cdot  (a^{-2}b^5)^{-1}}{a^{-2}b^9}  = \frac{a^6b^{12} \cdot b \cdot a^{2}b^{-5}}{a^{-2}b^9}  
<math> \frac{(a^2b^4)^{3} \cdot b \cdot  (a^{-2}b^5)^{-1}}{a^{-2}b^9}  = \frac{a^6b^{12} \cdot b \cdot a^{2}b^{-5}}{a^{-2}b^9}  
= a^{6+2-(-2)}b^{12+1+(-5)-9} = a^{10}b^{-1} = \frac {a^{10}}{b} </math>
= a^{6+2-(-2)}b^{12+1+(-5)-9} = a^{10}b^{-1} = \frac {a^{10}}{b} </math>
</div>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;">
:[https://www.youtube.com/watch?v=K5NVMyYF9u0 Video eksempel]
</div>
</div>


Linje 250: Linje 273:


----
----


==Kvadratrot==  
==Kvadratrot==  
Linje 324: Linje 345:




<table border="1" cellpadding="10">
<tr>
<td>'''Nr.'''</td>
  <td>'''REGEL'''</td>
  <td>'''EKSEMPEL'''</td>
  <td>'''FORUTSETNING'''</td>
</tr>


<tr>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<td> 1 </td>
 
  <td> $ \sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n}} $ </td>
  <td>325=3215=2</td>
  <td>a er et positivt tall og n er et naturlig tall</td>
</tr>
 
 
<tr>
<td> 2 </td>
  <td>  amn=amn=(an)m  <br></td>
  <td>2723=2723=(273)2=32=9 </td>
  <td>a er et positivt tall, m og n er hele tall og n er positiv</td>
</tr>
<tr>
<td> 3 </td>
  <td> (ab)1n=abn=anbn</td>
  <td> (16x8)14=16x84=164x84<br>=22224xxxxxxxx4=2x2 </td>
 
</tr>
<tr>
<td> 4 </td>
  <td>  (ab)1n=abn=anan  </td>
  <td> (827)13=8273=23  </td>
  <td></td>
</tr>


</table>
an=a1n




<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
</div>
</div>


Linje 372: Linje 359:
'''Eksempel 13'''
'''Eksempel 13'''


325=3215=2
$ \sqrt [5]{32}= 32^{\frac{1}{5}} = (2^5) ^{\frac 1 5} =2 $


</div>
</div>
Linje 379: Linje 366:


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
amn=amn=(an)m


</div>
</div>
Linje 394: Linje 383:


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
(ab)1n=abn=anbn


</div>
</div>
Linje 412: Linje 403:


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
(ab)1n=abn=anan


</div>
</div>
Linje 442: Linje 437:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


'''Eksempel 1'''<p></p> <p></p>
'''Eksempel 17'''<p></p> <p></p>




Linje 462: Linje 457:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


'''Eksempel 2'''<p></p> <p></p>
'''Eksempel 18'''<p></p> <p></p>




Linje 477: Linje 472:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">


'''Eksempel 3'''<p></p> <p></p>
'''Eksempel 19'''<p></p> <p></p>




Linje 490: Linje 485:


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
==Standardform==
Det er plassbesparende å skrive store og små tall på standardform.
Man kan skrive 100 som 102, men hva med 300? 300 kan skrives som 3100, som kan skrives som 3102. På samme måte kan for eksempel 320 skrives som 3,2102.
Dette kaller man standardform.
Generelt ser formelen slik ut:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<math>
\pm k \cdot10^n </math><br> <br>Der n er et helt tall og 1≤ k < 10.
</div>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 20:'''
<br> Skriv 320000 på standardform. <p></p>
'''Løsning:'''
<p></p>Komma flyttes fem plasser mot venstre og man får
3,2105
</div>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 21:'''
<br> Skriv 0,00000012 på standardform. <p></p>
'''Løsning:'''
<p></p>Komma flyttes syv plasser mot høyre og man får
1,2107
</div>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 22:'''
<br> For å ionisere et hydrogenatom trengs det en energimengde på 0,000 000 000 000 000 00218
Joule.<p></p>På standardform blir det 2,181018Joule.<p></p>Enkelte kalkulatorer skriver det som 2,18'''E'''-18
</div>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 23:'''
<br> Utfør multiplikasjonen og skriv på standardform: 2,51045000  <p></p>
'''Løsning:'''
2,51045,0103=2,55,0104103=12,5104+3=12,5107 <p></p>
Legg merke til at man multipliserer tallene foran tierpotensene for seg, og brukerer regneregler for potenser på tierpotensene. Svaret over er ikke på standardform fordi 12,5 er større enn 10. Man flytter komma en plass mot venstre og øker eksponenten med en. Da får man at: <p></p>
12,5107=1,25108
</div>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 24:'''
<br> For å regne ut eller forenkle, der man har flere tall på standardform i samme uttrykk, bruker man potensreglene: <p></p>21023610478105=2681023+47(5)=1281029=1,51029
</div>





Siste sideversjon per 31. mar. 2023 kl. 04:40

Potenser uten brøkeksponent

Innledning

1000 kan skrives som 10 · 10 · 10 og 100 som 10 · 10. Noen ganger ønsker man å skrive tallene på denne måten. Å skrive 1.000.000 som 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 er både plasskrevende og tungvindt. Man innfører derfor en ny måte å skrive tall på, og vi kalle den for potens.

Eksempel 1


1000=101010=103

En potens består av et grunntall og en eksponent.
Grunntallet i dette tilfellet er 10 og eksponenten er 3. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet skal ganges med seg selv.


Eksempel 2


Tall 100000 10000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001
Potens 105 104 103 102 101 100 101 102 103

Potensene er alle tierpotenser, fordi grunntallet er 10. Eksponenten varierer fra 5 til -3.




Eksempel 3

36=333333=729

a4=aaaa

102=1010=100

109=101010101010101010=1000000000


Som man ser fra eksempel tre kan potenser ha andre grunntall enn ti.

Regneregler for potenser uten brøkesponent

Reglene nedenfor gjelder kun når potensene har samme grunntall.

Multiplikasjon av potenser

Dersom man skal multiplisere 43 med 44 får man;4344=4444444=43+4

Den generelle regel for potensmultiplikasjon er:


anam=an+m


Eksempel 4

a3a2=a3+2=a5


Test deg selv

Divisjon av potenser

Den generelle regel for potensdivisjon er:

anam=anm


Eksempel 5

a3a2=a32=a1=a





Test deg selv

Potens av potenser

(an)m=anm


Eksempel 6


(a3)2=a32=a6



Test deg selv

Tall i nulte

Alle tall (og bokstaver) opphøyd i null er per. definisjon lik 1.


a0=1


Eksempel 7


x5x2x7=x5+27=x0=1


Test deg selv

Negativ eksponent

an=1an


Eksempel 8


23=123=18





Test deg selv

Divisor og divident med samme eksponent og forskjellig grunntall

ambm=(ab)m


Eksempel 9


2575=(27)5



Test deg selv

Faktorer med samme eksponent og forskjellige grunntall

ambm=(ab)m


Eksempel 10


35x5=(3x)5



Test deg selv

Sammensatte problemer

Ofte får man regnestykker der man må kombinere to eller flere regneregler. Her er et par eksempler:

Eksempel 11


(35)23491=3103432=310+4(2)=34=134=181


Eksempel 12

(a2b4)3b(a2b5)1a2b9=a6b12ba2b5a2b9=a6+2(2)b12+1+(5)9=a10b1=a10b






Test deg selv



Kvadratrot

Kvadratroten av et tall m, er et tall n som ganget med seg selv gir m, og skrives m

Hva er kvadratroten av 4? Tallet som ganget med seg selv gir 4 er 2. Det skrives slik:

4=22=2

Mer generelt: dersom n·n = m så er: m=nn=n

Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.


Ut fra navnet kvadratrot er det naturlig å tro et det er en sammenheng mellom kvadratrot og kvadrat. La oss se!

Et kvadrat har sidekanter med lengde k.

Arealet av kvadratet er k · k, eller k 2. Dersom man setter k = 10 cm betyr det at arealet av kvadratet er 100cm 2. Dersom man kjenner arealet av et kvadrat kan vi bruke kvadratroten til å finne lengden av sidekantene.

Et kvadrat med areal 81 cm 2 har sidekanter med lengde:

L=81cm2=9cm

Kvadratroten kalles av og til for andreroten og kan også skrives slik:

x=x2
Det er nyttig å vite dette, men man bruker x når man ønsker å skrive kvadratroten av x.


Test deg selv

n'terot

På samme måten som man kan ta kvadratroten, eller andreroten av at tall, er det også mulig å ta tredjeroten. Tenk deg en terning med sidekanter k. Vi setter k = 5cm. Volumet av terningen blir V = k 3 =k · k · k = 5cm · 5cm · 5cm = 125cm 3.


Tredjeroten, eller kubikkroten som den også kalles, kan man bruke til å finne sidekanten av en terning dersom man kjenner volumet. Eksemplet over løser man på følgende måte:

124cm33

Når man skal finne tredjeroten jakter vi på det tallet som, ganget med seg selv tre ganger, har et produkt tilsvarende tallet under rottegnet. Vi kan skrive et generelt utrykk slik:

an

Her må n være et helt positivt tall. Dersom n = 2 (kvadratrot) pleier vi utelate 2 - tallet.


164=22224=2
x55=xxxxx5=x


Test deg selv

Rot som potens & brøk eksponent

Regneregler

an=a1n



Eksempel 13

325=3215=(25)15=2


amn=amn=(an)m


Eksempel 14

2723=2723=(273)2=32=9


(ab)1n=abn=anbn



Eksempel 15


(16x8)14=16x84=164x84=22224xxxxxxxx4=2x2



(ab)1n=abn=anan



Eksempel 16


(827)13=8273=23




Test deg selv regel 1

Test deg selv regel 2

Test deg selv regel 3

Test deg selv regel 4

Samensatte problemer

Ofte er en kombinasjon av flere regler nødvendig for å løse et problem:

Eksempel 17


Skriv aa23a16 enklest mulig.


aa23a16=a12+2316=a36+4616=a66=a


Eksempel 18


a3a4(a12)5=a13a14a512=a13+14512=a412+312512=a212=a16=a6


Eksempel 19


(3a)12(3a)23a12(3a5)16=312+2316a12+26(12)56=336+4616a36+26+3656=3a12=3a


Test deg selv

Standardform

Det er plassbesparende å skrive store og små tall på standardform.

Man kan skrive 100 som 102, men hva med 300? 300 kan skrives som 3100, som kan skrives som 3102. På samme måte kan for eksempel 320 skrives som 3,2102.

Dette kaller man standardform.

Generelt ser formelen slik ut:

±k10n

Der n er et helt tall og 1≤ k < 10.


Eksempel 20:


Skriv 320000 på standardform.

Løsning:

Komma flyttes fem plasser mot venstre og man får

3,2105


Eksempel 21:


Skriv 0,00000012 på standardform.

Løsning:

Komma flyttes syv plasser mot høyre og man får

1,2107


Eksempel 22:
For å ionisere et hydrogenatom trengs det en energimengde på 0,000 000 000 000 000 00218

Joule.

På standardform blir det 2,181018Joule.

Enkelte kalkulatorer skriver det som 2,18E-18


Eksempel 23:


Utfør multiplikasjonen og skriv på standardform: 2,51045000

Løsning:

2,51045,0103=2,55,0104103=12,5104+3=12,5107

Legg merke til at man multipliserer tallene foran tierpotensene for seg, og brukerer regneregler for potenser på tierpotensene. Svaret over er ikke på standardform fordi 12,5 er større enn 10. Man flytter komma en plass mot venstre og øker eksponenten med en. Da får man at:

12,5107=1,25108


Eksempel 24:


For å regne ut eller forenkle, der man har flere tall på standardform i samme uttrykk, bruker man potensreglene:

21023610478105=2681023+47(5)=1281029=1,51029