Potenser: Forskjell mellom sideversjoner
(20 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke) | |||
Linje 101: | Linje 101: | ||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;"> | |||
:[https://www.youtube.com/watch?v=i1833JE6W2c Video eksempel] | |||
</div> | </div> | ||
Linje 171: | Linje 178: | ||
</div> | </div> | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;"> | |||
:[https://www.youtube.com/watch?v=66v-WdveNF0 Video eksempel] | |||
</div> | |||
Linje 239: | Linje 254: | ||
<math> \frac{(a^2b^4)^{3} \cdot b \cdot (a^{-2}b^5)^{-1}}{a^{-2}b^9} = \frac{a^6b^{12} \cdot b \cdot a^{2}b^{-5}}{a^{-2}b^9} | <math> \frac{(a^2b^4)^{3} \cdot b \cdot (a^{-2}b^5)^{-1}}{a^{-2}b^9} = \frac{a^6b^{12} \cdot b \cdot a^{2}b^{-5}}{a^{-2}b^9} | ||
= a^{6+2-(-2)}b^{12+1+(-5)-9} = a^{10}b^{-1} = \frac {a^{10}}{b} </math> | = a^{6+2-(-2)}b^{12+1+(-5)-9} = a^{10}b^{-1} = \frac {a^{10}}{b} </math> | ||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #FFFF66 ;"> | |||
:[https://www.youtube.com/watch?v=K5NVMyYF9u0 Video eksempel] | |||
</div> | </div> | ||
Linje 250: | Linje 273: | ||
---- | ---- | ||
==Kvadratrot== | ==Kvadratrot== | ||
Linje 324: | Linje 345: | ||
< | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
</div> | </div> | ||
Linje 372: | Linje 359: | ||
'''Eksempel 13''' | '''Eksempel 13''' | ||
$ \sqrt [5]{32}= 32^{\frac{1}{5}} = (2^5) ^{\frac 1 5} =2 $ | |||
</div> | </div> | ||
Linje 379: | Linje 366: | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
</div> | </div> | ||
Linje 394: | Linje 383: | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
</div> | </div> | ||
Linje 412: | Linje 403: | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
</div> | </div> | ||
Linje 442: | Linje 437: | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
'''Eksempel | '''Eksempel 17'''<p></p> <p></p> | ||
Linje 462: | Linje 457: | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
'''Eksempel | '''Eksempel 18'''<p></p> <p></p> | ||
Linje 477: | Linje 472: | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
'''Eksempel | '''Eksempel 19'''<p></p> <p></p> | ||
Linje 490: | Linje 485: | ||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
==Standardform== | |||
Det er plassbesparende å skrive store og små tall på standardform. | |||
Man kan skrive 100 som | |||
Dette kaller man standardform. | |||
Generelt ser formelen slik ut: | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |||
<math> | |||
\pm k \cdot10^n </math><br> <br>Der n er et helt tall og 1≤ k < 10. | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel 20:''' | |||
<br> Skriv 320000 på standardform. <p></p> | |||
'''Løsning:''' | |||
<p></p>Komma flyttes fem plasser mot venstre og man får | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel 21:''' | |||
<br> Skriv 0,00000012 på standardform. <p></p> | |||
'''Løsning:''' | |||
<p></p>Komma flyttes syv plasser mot høyre og man får | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel 22:''' | |||
<br> For å ionisere et hydrogenatom trengs det en energimengde på 0,000 000 000 000 000 00218 | |||
Joule.<p></p>På standardform blir det | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel 23:''' | |||
<br> Utfør multiplikasjonen og skriv på standardform: | |||
'''Løsning:''' | |||
Legg merke til at man multipliserer tallene foran tierpotensene for seg, og brukerer regneregler for potenser på tierpotensene. Svaret over er ikke på standardform fordi 12,5 er større enn 10. Man flytter komma en plass mot venstre og øker eksponenten med en. Da får man at: <p></p> | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel 24:''' | |||
<br> For å regne ut eller forenkle, der man har flere tall på standardform i samme uttrykk, bruker man potensreglene: <p></p> | |||
</div> | |||
Siste sideversjon per 31. mar. 2023 kl. 04:40
Potenser uten brøkeksponent
Innledning
1000 kan skrives som 10 · 10 · 10 og 100 som 10 · 10. Noen ganger ønsker man å skrive tallene på denne måten. Å skrive 1.000.000 som 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 er både plasskrevende og tungvindt. Man innfører derfor en ny måte å skrive tall på, og vi kalle den for potens.
Eksempel 1
En potens består av et grunntall og en eksponent.
Grunntallet i dette tilfellet
er 10
og eksponenten er 3. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet skal ganges
med seg selv.
Eksempel 2
Tall | 100000 | 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
Potens | | | | |
| | | | |
Eksempel 3
Som man ser fra eksempel tre kan potenser ha andre grunntall enn ti.
Regneregler for potenser uten brøkesponent
Reglene nedenfor gjelder kun når potensene har samme grunntall.
Multiplikasjon av potenser
Dersom man skal multiplisere
Den generelle regel for potensmultiplikasjon er:
Eksempel 4
Divisjon av potenser
Den generelle regel for potensdivisjon er:
Eksempel 5
Potens av potenser
Eksempel 6
Tall i nulte
Alle tall (og bokstaver) opphøyd i null er per. definisjon lik 1.
Eksempel 7
Negativ eksponent
Eksempel 8
Divisor og divident med samme eksponent og forskjellig grunntall
Eksempel 9
Faktorer med samme eksponent og forskjellige grunntall
Eksempel 10
Sammensatte problemer
Ofte får man regnestykker der man må kombinere to eller flere regneregler. Her er et par eksempler:
Eksempel 11
Eksempel 12
Kvadratrot
Kvadratroten av et tall m, er et tall n som ganget med seg selv gir m, og skrives
Hva er kvadratroten av 4? Tallet som ganget med seg selv gir 4 er 2. Det skrives slik:
Mer generelt: dersom n·n = m så er:
Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.
Ut fra navnet kvadratrot er det naturlig å tro et det er en sammenheng mellom kvadratrot og kvadrat. La oss se!
Et kvadrat har sidekanter med lengde k.
Arealet av kvadratet er k · k, eller k
Et kvadrat med areal 81 cm
Kvadratroten kalles av og til for andreroten og kan også skrives slik:
Det er nyttig å vite dette, men man bruker
n'terot
På samme måten som man kan ta kvadratroten, eller andreroten av at tall, er det også mulig å ta tredjeroten. Tenk deg en terning med sidekanter k. Vi setter k = 5cm. Volumet av terningen blir V = k
Tredjeroten, eller kubikkroten som den også kalles, kan man bruke til å finne sidekanten av en terning dersom man kjenner volumet. Eksemplet over løser man på følgende måte:
Når man skal finne tredjeroten jakter vi på det tallet som, ganget med seg selv tre ganger, har et produkt tilsvarende tallet under rottegnet. Vi kan skrive et generelt utrykk slik:
Her må n være et helt positivt tall. Dersom n = 2 (kvadratrot) pleier vi utelate 2 - tallet.
Rot som potens & brøk eksponent
Regneregler
Eksempel 13
Eksempel 14
Eksempel 15
Eksempel 16
Samensatte problemer
Ofte er en kombinasjon av flere regler nødvendig for å løse et problem:
Skriv
Standardform
Det er plassbesparende å skrive store og små tall på standardform.
Man kan skrive 100 som
Dette kaller man standardform.
Generelt ser formelen slik ut:
Der n er et helt tall og 1≤ k < 10.
Eksempel 20:
Skriv 320000 på standardform.
Løsning:
Komma flyttes fem plasser mot venstre og man får
Eksempel 21:
Skriv 0,00000012 på standardform.
Løsning:
Komma flyttes syv plasser mot høyre og man får
Eksempel 22:
For å ionisere et hydrogenatom trengs det en energimengde på 0,000 000 000 000 000 00218
Eksempel 23:
Utfør multiplikasjonen og skriv på standardform:
Løsning:
Eksempel 24:
For å regne ut eller forenkle, der man har flere tall på standardform i samme uttrykk, bruker man potensreglene: