1P 2022 vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Videoløsning del 1 av Lektor Lainz

DEL 1

Oppgave 1

Renten på et lån steg fra 2,0 % til 2,2 %.

a)

Renten steg med 0,2 prosentpoeng. Utregning: 2,2 - 2,0 = 0,2

b)

Deler endringen i prosentpoeng på opprinnelig rente:

$\frac{0,2}{2,0}=\frac{2}{20}=\frac{10}{100}=10$ %.

Renten steg med 10 prosent.

Oppgave 2

Leser av diagrammet og finner antall elever de ulike årene:

2018: 700 elever

2019: 800 elever

2020: 900 elever

2021: 1000 elever

Antall elever øker med 100 hvert år. Det var størst prosentvis økning i antall elever fra 2018 til 2019, fordi 100 er en større andel av 700, enn det er av 800, 900 eller 1000.

Oppgave 3

a)

To størrelser som er proporsjonale er for eksempel antall hektogram smågodt kjøpt i butikken, og prisen man betaler. For eksempel koster det 10 kr for 1 hg, 20 kr for 2 hg og så videre. Prisen øker altså jevnt (med samme stigningstall). Kjøper man ingenting, koster det heller ingenting (det er ikke noe konstantledd).

b)

Siden dette er del 1, må du tegne grafen til din funksjon for hånd.

Oppgave 4

a)

$V(x) = 4x^3 −100x^2 +600x \quad, \quad 0<x<10$

$V(5)= 4\cdot5^3 -100\cdot 5^2 +600\cdot 5 = 4\cdot 125 - 100\cdot 25 + 3000 = 500 - 2500 + 3000 = 1000$

Dersom Siri lager esken 5 cm høy, får den et volum på 1000 kubikkcentimeter.

b)

Dersom Siri løser likningen $V(x)=500$, finner hun ut hvor høy esken må være (x), for at den skal ha et volum på 500 kubikkcentimeter.

Oppgave 5

Eleven ønsker å finne ut hvor mange år det tar før en verdi på 2000 (for eksempel kroner) har økt til 4000 (eller mer), med en årlig økning på 5%.

I linje 1-4 defineres variablene startverdi, verdi, vekstfaktor og år. Variabelen "verdi" settes til samme verdi som "startverdi", altså 2000. I linje 6-8 har vi en while-løkke som gjentar seg så lenge "verdi" er mindre enn det dobbelte av "startverdi", altså 4000. Inni løkken ganger "verdi" med "vekstfaktor" for å få en 5% økning på "verdi", og variabelen "år" økes med én. Etter at løkkes avsluttes, skrives "verdi" og "år" ut på skjermen (linje 10 og 11). "verdi" vil være 4000 eller mer, og "år" forteller oss hvor mange år dette har tatt.

Oppgave 6

$A=l\cdot b = 3b\cdot b = 3b^2$

Setter arealet til 432 kvadratcentimeter:

$3b^2=432$

$b^2 =\frac{432}{3}$

$b^2 =144$

$b=\sqrt{144}$

$b=12$

Rektangelet er 12 cm bredt.

DEL 2

Oppgave 1

Løser oppgaven i Geogebra.

a)

$V(0)=0$ (se algebrafeltet på skjermbildet). Det vil si at før tappingen starter (ved 0 minutter), så har det ikke blitt tappet ut noe vann av tanken (0 liter).

b)

Verdimengden til V er 2000. Jeg fant høyeste punkt på grafen, A=(40,2000), ved å bruke knappen "Ekstremalpunkt". Laveste punkt er (0,0). Verdimengden er da 2000 - 0 = 2000.

c)

Lager linjen y = 1000, og bruker knappen "skjæring mellom to objekt" mellom linjen og grafen til V. Får punkt B=(11.7, 1000). Det vil si at det tar 11,7 minutter før halvparten av vannet er tappet ut av tanken. Se punkt B.

d)

Lager punkt C=(0,V(0)) og D=(30,V(30)), og lager en linje som gå gjennom disse to punktene med knappen "linje". Finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning". Stigningstallet er 62,5 (se verdien a1 i algebrafeltet). Svaret forteller oss at fra 0 til 30 minutter etter at tappingen har startet, tappes vannet med en gjennomsnittlig fart på 62,5 liter per minutt.

e)

Lager en glider b med kommandoen "glider(0,40,1)". Lager et punkt E=(b,V(b)) og tangenten til V i punktet E med knappen "tangenter". Viser stigningstallet til tangenten med knappen "stigning". Flytter på glideren slik at punkt E flytter seg langs hele grafen til V, og ser om stigningstallet noen gang overstiger 105. Jeg finner at det høyeste stigningstallet er 100, når E=(0,0). Se verdien a2 i algebrafeltet.

Det vil altså aldri tappes mer enn 105 liter i løpet av ett minutt.

Oppgave 2

a)

Grafen starter i 600 på y aksen, altså er konstantleddet b= 600. Vi ser at grafen øker med 100 når x verdien øker med 25, altså er stigningstallet 4 : A(x) = 4x + 600.

b)

Vi leser av grafen. 50 km på x aksen gir 1000 kroner på firma B. Det kaster altså 1000 kroner å kjøre 50 km. Det blir 20 kr per km.

Vi legger merke til at i firma B øker prisen med 100 kr per 50 km. 400 km koster da 1600 kroner, som blir 4 kr per kilometer.

I begge tilfeller deler man kostnad på antall kilometer.

c)

Det er 97 km. Firma A og C er like dyre dersom man kjører 100 km, så han bør velge ett av disse. Kjører man over 200 km er firma B billigst.

Oppgave 3

Vi gjør om til prosent avslag per flaske:

A: $1- \frac{2}{3} = 0,33 = 33 $ % rabatt.

B: 30 % rabatt

C: $1 - \frac{1,25}{2} = 0,375 = 37,5$ % rabatt.

D: $1- \frac 35 = 0,40 = 40$ % rabatt.

D, C, A, B, der D er best.

Oppgave 4

a)

$\frac{1 \quad liter}{0,9124 \quad kg} = \frac{0,010 \quad liter}{x}$ $x = 0,009124 \quad kg = 9,1 \quad gram$

b)

$\frac{0,9124}{1} = \frac{0,5566}{x} $

$x = \frac{05566}{0,9124} = 0,61$

Regnet i liter, det tilsvarer 6,1 dl.

Oppgave 5

Det er 3 tyveminutter i en time, altså 36 perioder på 12 timer:

$ A(36)= 1 \cdot 2^{36} = 6,87 \cdot 10^{10}$

Modellen tar ikke hensyn til at bakterier dør.

Oppgave 6

Arket viser figurene fra 1 - 25. Figur nummeret kvadres og figuren før legges til.

a)

55 klosser

b)

1210 klosser

c)

Han kan lage 17 figurer og har 1279 klosser igjen.

Oppgave 7

a)

a = 1,85 og b = 0,49.

b)

Modellen overestimerer allerede ved 120 minutter, men man kan si at den gir et greit bilde av temperaturforløpet de to første timene.

c)

Utfører regresjonen i Geogebra og får : $f(x) = -18,09 \cdot 0,98^x$

d)

f flater ut og får derved et større gyldighetsområde. T vokser hele tiden og vil avvike fra virkeligheten etter ca 120 minutter.

e)

$T_2(x)= -18,09 \cdot 0,98^x +20 $

$T_2(240)= -18,09 \cdot 0,98^{240} + 20 = 19,9 $ grader Celsius.

Oppgave 8

a)

Mellomrommene er 10 cm. En meter vil da ha 10 mellomrom og 11 tråder.

b)

Mønsteret er repetisjoner av tre. Tråd 3,6 og 9 har 9 pærer, tråd 10 har 3 og den siste har 6 tråder.

c)

Det er 150 mellomrom på 15 meter, altså er det 151 tråder. Det er 50 sekvenser med 3,6,9 lyspærer, altså $50 \cdot 18 + 3 = 903 $ på 15 meter gardin.

d)

Hvilke lengder i meter gir 9 pærer til slutt? Vi tester

0,2m

0,5m

0,8m

1,1m

1,4m

1,7m

2 meter.

Vi observere første treff er på 2 meter. Videre ser man at økningen per treersekvens er 0,3 meter hver gang ( bortsett fra første gang) det betyr at mønsteret vil repeteres hver 3 meter, altså på 2m, 5m, 8m, 11m,...... osv. Generelt kan det skive m = 3n -1, der n er treffnr. ( 1,2,3,4,5,6...) og m er lengde av gardin i antall meter.