S1 2020 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Quiz (diskusjon | bidrag)
Paracellus (diskusjon | bidrag)
m →‎c): Det skal være -5/2 og ikke 5/2. Personen skrev det tidligere, men glemte sikkert å skrive det på slutten.
 
(33 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 4: Linje 4:


[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3257 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=3257 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]
[https://youtu.be/dnAHD6Q3HCI Videoløsning del 1 av Lektor Lainz]


=DEL 1=
=DEL 1=
Linje 43: Linje 45:
==Oppgave 4==
==Oppgave 4==


Vi lar x være antall gullmedaljer, og y være antall sølvmedaljer.
La x være antall gullmedaljer, og y være antall sølvmedaljer.


Ix+y=16II7x+5y=102
Ix+y=16II7x+5y=102
Linje 96: Linje 98:


==Oppgave 7==
==Oppgave 7==
===a)===
Skriver om ulikhetene på formen y=ax+b. Tegner inn disse linjene i et koordinatsystem (du må gjøre det for hånd).
2x+5y8y25x+85y0,4x+1,6
2x+y4y2x+4
2xy8y2x8
[[File: S1_H20_del1_7-2.png]]
===b)===
Regner ut verdien til uttrykket 2x+3y i hjørnene:
Hjørnet (1,2): 21+32=2+6=4
Hjørnet (3,-2): 23+3(2)=66=12
Hjørnet (6,4): 26+34=12+12=0
Uttrykket 2x+3y kan få alle verdier i intervallet [12,4], dersom (x,y) skal ligge i <i>M</i>.
==Oppgave 8==
g(x)=x332x2
===a)===
g(32)=(32)332(32)2=(32)3(32)3=0
g(2)=233222=832=86=2
Gjennomsnittlig vekstfart:
y2y1x2x1=20232=20,5=4
Den gjennomsnittlige vekstfarten til <i>g</i> i intervallet [32,2] er 4.
===b)===
g(x)=3x2322x=3x23x
g(2)=32232=126=6
===c)===
Setter g(x)=6
3x23x=63x23x6=0|:3x2x2=0(x+1)(x2)=0x1=1x2=2
g(1)=(1)332(1)2=132=2232=52
g(2)=2, som vi regnet ut i a).
A=(1,52) og B=(2,2).
==Oppgave 9==
===a)===
Vi har omkretsen til rektangelet O=2x+2y=96cm
2x+2y=96y=962x2y=48x
===b)===
Vi trenger et uttrykk for radiusen til sylinderen. Vi har omkretsen til sylinderen O=2πr=x
2πr=xr=x2π
Volumet av en sylinder: V=πr2h
V(x)=π(x2π)2(48x)=π(x24π2)(48x)=x24π(48x)=14π(48x2x3)
===c)===
V(x)=14π(96x3x2)
Setter V(x)=0
14π(96x3x2)=096x3x2=0x(963x)=0x1=0x2=963=32
Vi kan ikke ha en omkrets x=0, så vi må ha omkretsen x=32 for at volumet av sylinderen skal bli størst mulig.
Notat: andregradsleddet til den deriverte har negativt fortegn, så den deriverte er en andregradsfunksjon som vender den hule siden ned. Det vil si at V'(x) er positiv i intervallet x[0,32], så funksjonen V(x) vokser i dette intervallet, og vi vet derfor at vi har et toppunkt i x=32 (og ikke et bunnpunkt).
=DEL 2=
===a)===
Sannsynligheten for at det er sol en tilfeldig dag på Gran Canaria er 3003650,8219.
Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra og velger binomisk fordeling. Velger n=14 og p=0,8219, som gir P(X14)0,064.
[[File: S1_H20_del2_1a.png]]
Agnete har antatt en binomisk fordeling av soldager. Det innebærer at:
Sannsynligheten for at det er sol en dag er den samme hver dag.
Sannsynligheten for at det er sol en dag er uavhengig av sannsynligheten for at det er sol en annen dag.
Det er enten sol eller ikke sol. Hun har ikke tatt høyde for ulike varianter av sol med skyer, sol kun på formiddagen etc.
===b)===
Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og velger igjen en binomisk fordeling. Velger n = 8 (antall ferier), og p = 0,064 (sannsynligheten for bare soldager i en ferie). Finner P(X2)=0,0886.
[[File: S1_H20_del2_1b.png]]
Det er 8,86 % sannsynlighet for at familien opplever bare soldager på minst 2 av sine 8 ferier på Gran Canaria.
===c)===
Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og velger binomisk fordeling. Velger n = 28 (4 x 7 dager), og prøver meg frem til en sannsynlighet som gir p(X22). Finner da p=0,8551.
[[File: S1_H20_del2_1c.png]]
x365=0,8551x=0,8551365312,11
Det må minst være i gjennomsnitt 313 soldager i året på dette stedet, for at påstanden fra reisebyrået skal være sann.
==Oppgave 2==
===a)===
Bruker <i>regresjonsanalyse</i> i Geogebra.
[[File: S1_H20_del2_2a.png]]
g(x)=39361,125x er en eksponentiell modell for avskogingen i Amazonas (målt i kvadratkilometer) x år etter 2011.
===b)===
Tegner grafen i Geogebra.
[[File: S1_H20_del2_2b.png]]
===c)===
Avskogingen var 7893 kvadratkilometer per år i 2016. Tegner linja y=27893, og finner skjæringspunktet med grafen til f (se punkt A).
[[File: S1_H20_del2_2c.png]]
15,48 år etter 2011, det vil si i løpet av år 2026, vil avskogingen per år for første gang være mer enn dobbelt så stor som avskogingen var i 2016, ifølge modellen f.
===d)===
Bruker CAS i Geogebra til å finne f'(10).
[[File: S1_H20_del2_2d.png]]
Dette forteller oss at 10 år etter 2011, altså i år 2021, øker avskogingen med 797,4 kvadratkilometer per år.
==Oppgave 3==
===a)===
La og være antall marsipanpølser konditoriet produserer hver dag av henholdsvis type A og type B.
Vi har x0 og y0 fordi konditoriet må produsere 0 eller flere marsipanpølser.
Setter opplysningene om marsipanpølsene i en tabell.
{| width="auto"
|
| Type A
| Type B
| Mengde tilgjengelig
|-
| Melis
| 50%500g=250g
| 20%500g=100g
| 60000g
|-
| Mandler
| 45%500g=225g
| 70%500g=350g
| 88200g
|-
| Eggehvite
| 5%500g=25g
| 10%500g=50g
| 12000g
|}
Leser av for melis i tabellen, at 250 g melis per type A marsipanpølse og 100 g melis per type B marsipanpølse, til sammen må forbruke mindre enn 60000g tilgjengelig melis.
250x+100y600002,5x+y600
Leser av for mandler i tabellen, at 225 g mandler per type A marsipanpølse og 350 g mandler per type B marsipanpølse, til sammen må forbruke mindre enn 88200g tilgjengelig mandler.
225x+350y882002,25x+3,5y882
Leser av for eggehvite i tabellen, at 25 g eggehvite per type A marsipanpølse og 50 g eggehvite per type B marsipanpølse, til sammen må forbruke mindre enn 12000g tilgjengelig eggehvite.
25x+50y12000x+2y480
===b)===
[[File: S1_H20_del2_3b.png]]
===c)===
Lager en glider, 20x+15y=I, og finner ut i hvilket hjørne av området fortjenesten er maksimert. Dette er i punkt A, men det går ikke an å produsere et desimaltall antall marsipanpølser.
[[File: S1_H20_del2_3c.png]]
Undersøker de nærmeste punktene med hele antall marsipanpølser, som fortsatt er innenfor det skraverte området. Se punkt B, C og D.
[[File: S1_H20_del2_3c2.png]]
Regner ut maksimal fortjeneste i de ulike punktene:
Punkt B: 20kr186+15kr132=5700kr
Punkt C: 20kr187+15kr131=5705kr
Punkt D: 20kr188+15kr130=5710kr
For å maksimere fortjenesten sin, må konditoriet produsere 188 marsipanpølser av type A, og 130 marsipanpølser av type B. Fortjenesten blir da 5710 kr.
===d)===
Legger til x+y250 til de andre ulikhetene i Geogebra. Beveger glidere fra oppgave c), og ser at fortjenesten nå er størst i nærheten av punkt F.
[[File: S1_H20_del2_3d.png]]
Finner de nærmeste punktene med hele tall som fremdeles er innenfor det skraverte området, og regner ut fortjenesten:
[[File: S1_H20_del2_3d2.png]]
Punkt G: 20kr233+15kr17=4915kr
Punkt H: 20kr234+15kr15=4905kr
Den største fortjenesten konditoriet klarer å få per dag denne uken er 4915 kr.

Siste sideversjon per 19. mai 2021 kl. 01:41

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Videoløsning del 1 av Lektor Lainz

DEL 1

Oppgave 1

a)

2(3x+2)=2x(x+2)+46x+4=2x2+4x+42x2+2x=0|:(2)x2x=0x(x1)=0x=0x=1

b)

3x32=1353x+2=35x+2=5x=7

c)

lg(3x2)=2lgxlg(3x2)=lg(x2)10lg(3x2)=10lg(x2)3x2=x2x2+3x2=0|:(1)x23x+2=0(x1)(x2)=0x=1x=2

Oppgave 2

a)

4a3(a2b3)2(21)2ab4=4a3a4b622ab4=a341b64=a2b2=(ba)2

b)

1x12xx21+1=x+1(x+1)(x1)2x(x+1)(x1)+(x+1)(x1)(x+1)(x1)=x+12x+(x21)(x+1)(x1)=x2x(x+1)(x1)=x(x1)(x+1)(x1)=xx+1

Oppgave 3

x23x+20(x1)(x2)0

Nullpunkter: x=1 og x=2

x23x+20 når x[1,2]

Oppgave 4

La x være antall gullmedaljer, og y være antall sølvmedaljer.

Ix+y=16II7x+5y=102

Iy=16x

II7x+5(16x)=1027x+805x=1022x=10280x=222=11

Norge tok 11 gullmedaljer i vinter-OL i 2014.

Oppgave 5

a)

P(tolike)=P((BB)(RR))=2413+2413=212+212=412=13

Sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget er 13.

b)

La x være antall røde kuler.

P(toulike)=P((BR)(RB))=22+xx2+x1+x2+x22+x1=2x(2+x)(1+x)2=4xx2+2x+x+2=4xx2+3x+2

Setter P(toulike)<12

4xx2+3x+2<128x<x2+3x+2x2+5x2<0x25x+2>0x>5±254122x1>5+172x2>5172

Velger den positive løsningen, x1. Vi vet at 17>4, siden 16=4.

x1>5+42x1>4,5

Det må ligge flere enn 5 røde kuler i krukken, dersom sannsynligheten for at de to kulene som trekkes har ulik farge, er mindre enn 50 %.

Oppgave 6

Vi har en vertikal asymptote i x = 3. Det vil si at nevner er lik null når x = 3.

3+c=0c=3

Vi lar x gå mot uendelig:

limxax+bx+climxaxx=a

Vi har en horisontal asymptote i y = -2, og har derfor a=2

Ser at vi har et nullpunkt i x=2. Setter f(x)=0

ax+bx+c=022+bx3=04+b=0b=4

Vi har a=2, b=4 og c=3.

Oppgave 7

a)

Skriver om ulikhetene på formen y=ax+b. Tegner inn disse linjene i et koordinatsystem (du må gjøre det for hånd).

2x+5y8y25x+85y0,4x+1,6

2x+y4y2x+4

2xy8y2x8

b)

Regner ut verdien til uttrykket 2x+3y i hjørnene:

Hjørnet (1,2): 21+32=2+6=4

Hjørnet (3,-2): 23+3(2)=66=12

Hjørnet (6,4): 26+34=12+12=0

Uttrykket 2x+3y kan få alle verdier i intervallet [12,4], dersom (x,y) skal ligge i M.

Oppgave 8

g(x)=x332x2

a)

g(32)=(32)332(32)2=(32)3(32)3=0

g(2)=233222=832=86=2

Gjennomsnittlig vekstfart:

y2y1x2x1=20232=20,5=4

Den gjennomsnittlige vekstfarten til g i intervallet [32,2] er 4.

b)

g(x)=3x2322x=3x23x

g(2)=32232=126=6

c)

Setter g(x)=6

3x23x=63x23x6=0|:3x2x2=0(x+1)(x2)=0x1=1x2=2

g(1)=(1)332(1)2=132=2232=52

g(2)=2, som vi regnet ut i a).

A=(1,52) og B=(2,2).

Oppgave 9

a)

Vi har omkretsen til rektangelet O=2x+2y=96cm

2x+2y=96y=962x2y=48x

b)

Vi trenger et uttrykk for radiusen til sylinderen. Vi har omkretsen til sylinderen O=2πr=x

2πr=xr=x2π

Volumet av en sylinder: V=πr2h

V(x)=π(x2π)2(48x)=π(x24π2)(48x)=x24π(48x)=14π(48x2x3)

c)

V(x)=14π(96x3x2)

Setter V(x)=0

14π(96x3x2)=096x3x2=0x(963x)=0x1=0x2=963=32

Vi kan ikke ha en omkrets x=0, så vi må ha omkretsen x=32 for at volumet av sylinderen skal bli størst mulig.

Notat: andregradsleddet til den deriverte har negativt fortegn, så den deriverte er en andregradsfunksjon som vender den hule siden ned. Det vil si at V'(x) er positiv i intervallet x[0,32], så funksjonen V(x) vokser i dette intervallet, og vi vet derfor at vi har et toppunkt i x=32 (og ikke et bunnpunkt).

DEL 2

a)

Sannsynligheten for at det er sol en tilfeldig dag på Gran Canaria er 3003650,8219.

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra og velger binomisk fordeling. Velger n=14 og p=0,8219, som gir P(X14)0,064.

Agnete har antatt en binomisk fordeling av soldager. Det innebærer at:

Sannsynligheten for at det er sol en dag er den samme hver dag.

Sannsynligheten for at det er sol en dag er uavhengig av sannsynligheten for at det er sol en annen dag.

Det er enten sol eller ikke sol. Hun har ikke tatt høyde for ulike varianter av sol med skyer, sol kun på formiddagen etc.

b)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og velger igjen en binomisk fordeling. Velger n = 8 (antall ferier), og p = 0,064 (sannsynligheten for bare soldager i en ferie). Finner P(X2)=0,0886.

Det er 8,86 % sannsynlighet for at familien opplever bare soldager på minst 2 av sine 8 ferier på Gran Canaria.

c)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og velger binomisk fordeling. Velger n = 28 (4 x 7 dager), og prøver meg frem til en sannsynlighet som gir p(X22). Finner da p=0,8551.

x365=0,8551x=0,8551365312,11

Det må minst være i gjennomsnitt 313 soldager i året på dette stedet, for at påstanden fra reisebyrået skal være sann.

Oppgave 2

a)

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra.

g(x)=39361,125x er en eksponentiell modell for avskogingen i Amazonas (målt i kvadratkilometer) x år etter 2011.

b)

Tegner grafen i Geogebra.

c)

Avskogingen var 7893 kvadratkilometer per år i 2016. Tegner linja y=27893, og finner skjæringspunktet med grafen til f (se punkt A).

15,48 år etter 2011, det vil si i løpet av år 2026, vil avskogingen per år for første gang være mer enn dobbelt så stor som avskogingen var i 2016, ifølge modellen f.

d)

Bruker CAS i Geogebra til å finne f'(10).

Dette forteller oss at 10 år etter 2011, altså i år 2021, øker avskogingen med 797,4 kvadratkilometer per år.


Oppgave 3

a)

La og være antall marsipanpølser konditoriet produserer hver dag av henholdsvis type A og type B.

Vi har x0 og y0 fordi konditoriet må produsere 0 eller flere marsipanpølser.

Setter opplysningene om marsipanpølsene i en tabell.

Type A Type B Mengde tilgjengelig
Melis 50%500g=250g 20%500g=100g 60000g
Mandler 45%500g=225g 70%500g=350g 88200g
Eggehvite 5%500g=25g 10%500g=50g 12000g

Leser av for melis i tabellen, at 250 g melis per type A marsipanpølse og 100 g melis per type B marsipanpølse, til sammen må forbruke mindre enn 60000g tilgjengelig melis.

250x+100y600002,5x+y600

Leser av for mandler i tabellen, at 225 g mandler per type A marsipanpølse og 350 g mandler per type B marsipanpølse, til sammen må forbruke mindre enn 88200g tilgjengelig mandler.

225x+350y882002,25x+3,5y882

Leser av for eggehvite i tabellen, at 25 g eggehvite per type A marsipanpølse og 50 g eggehvite per type B marsipanpølse, til sammen må forbruke mindre enn 12000g tilgjengelig eggehvite.

25x+50y12000x+2y480

b)

c)

Lager en glider, 20x+15y=I, og finner ut i hvilket hjørne av området fortjenesten er maksimert. Dette er i punkt A, men det går ikke an å produsere et desimaltall antall marsipanpølser.

Undersøker de nærmeste punktene med hele antall marsipanpølser, som fortsatt er innenfor det skraverte området. Se punkt B, C og D.

Regner ut maksimal fortjeneste i de ulike punktene:

Punkt B: 20kr186+15kr132=5700kr

Punkt C: 20kr187+15kr131=5705kr

Punkt D: 20kr188+15kr130=5710kr

For å maksimere fortjenesten sin, må konditoriet produsere 188 marsipanpølser av type A, og 130 marsipanpølser av type B. Fortjenesten blir da 5710 kr.

d)

Legger til x+y250 til de andre ulikhetene i Geogebra. Beveger glidere fra oppgave c), og ser at fortjenesten nå er størst i nærheten av punkt F.

Finner de nærmeste punktene med hele tall som fremdeles er innenfor det skraverte området, og regner ut fortjenesten:

Punkt G: 20kr233+15kr17=4915kr

Punkt H: 20kr234+15kr15=4905kr

Den største fortjenesten konditoriet klarer å få per dag denne uken er 4915 kr.