2P 2018 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Joes (diskusjon | bidrag)
Ingen redigeringsforklaring
Ingen redigeringsforklaring
 
(16 mellomliggende versjoner av 3 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
*[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2122 Oppgaven]
*[https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2122 Oppgaven]


*[https://goo.gl/6MwZLE Løsningsforslag (pdf)] fra joes. Dette er foreløpig en rask kladd. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.
*[https://goo.gl/6MwZLE Løsningsforslag (pdf)] fra Espen Johanssen, AOF Haugaland. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%202P%20V18%20fasit melding] hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.


* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2119 Løsningsforslag nr 2 (docx)]
* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2139 Løsningsforslag laget av mattepratbruker LektorNilsen (pdf)]


* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2120 Løsningsforslag nr 3 (docx)]
* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2127 Løsningsforslag fra Georg Ellila – Wang Toppidrett Tønsberg (docx) ]
 
* [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2135 Løsningsforslag nr 3 (pdf)]  [https://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2136  (docx)]
 
* [https://youtu.be/dVqZcSxC3l8 Løsning av del 1 som video av Lektor Lainz]


*[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=47568 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]
*[https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=47568 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]
==DEL EN==
==Oppgave 1==
Variasjonsbredde: 30(24)=30+24=54 poeng
Gjennomsnitt: 2015+5+158324+308=208=52=2,5 poeng
==Oppgave 2==
40 milliarder = 40109
0,15dm3=150cm3
Antall bakterier i svampen = antall baterier per cm^3 * antall cm^3 i svampen.
Antall bakterier i svampen = 40109150=6000109=61012
Det er 61012 bakterier i svampen.
==Oppgave 3==
===a)===
[[File:1-4a.png]]
===b)===
80 personer har fedme.
520 personer er undervektige eller normalvektige.
40% av personene er overvektige.
92% av personene er undervektige, normalvektige eller overvektige.
===c)===
Medianen er vekten til personen mellom nr. 500 og 501 (siden det er 1000 personer med i undersøkelsen), og vi ser i den kumulative frekvensen at denne personen befinner seg i klassen for normalvektige.
==Oppgave 4==
===a)===
[[File:1-5a.png]]
===b)===
Antall sirkler i ytterste sekskant er 246. Vi bruker formelen for antall sirkler i ytterste sekstant, og setter den lik 246:
6(n1)=246n1=2466n1=41
Formel for antall sekskanter i en figur er n1
Dermed vet vi at det er 41 sekskanter i figuren.
===c)===
[[File:1-5b.png]]
===d)===
Bruker formelen for antall sirkler i figuren og setter inn n=100.
2n2n=21002100=210000100=20000100=19900
Det vil være 19 900 sirkler i figur nr. 100.
==Oppgave 5==
===a)===
En lineær modell skrives y=ax+b
Vi vet at konstantleddet b = 12 000 fordi dyrebestanden i dag er 12 000 dyr.
Vi finner stigningstallet a=y2y1x2x1=600012000100=600010=600
Modellen som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om ''x'' år er y=600x+12000
===b)===
1140012000=0,95
11 400 dyr tilsvarer 95% av 12 000 dyr. Det betyr at vekstfaktoren for ett år er 0,95.
Den eksponentielle modellen som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år er f(x)=120000,95x
===c)===
I den lineære modellen avtar bestanden med 600 dyr hvert år. Det første året tilsvarer det 5% av startverdien på 12 000 dyr. Bestanden vil fortsette å avta med 600 dyr hvert år, og det vil tilsvare en større og større prosentandel av dyrene som er igjen hvert år.
I den eksponentielle modellen avtar bestanden med 5% av antall dyr som er igjen hvert år. Det første året tilsvarer det 600 dyr, men de neste årene vil bestanden minke med færre og færre dyr, fordi 5% av en stadig minkende bestand, tilsvarer et mindre og mindre antall dyr.
Det vil si at det vil være færrest dyr igjen om 10 år ifølge den lineære modellen.
==DEL TO==
==Oppgave 1==
===a)===
[[File: 1a.png]]
Tegner funksjonen i Geogebra.
===b)===
[[File: 1b.png]]
Tegner linja y=10 og bruker ''Skjæring mellom to objekt'' for å finne punkt B=(5,35, 10) og C=(11,55, 10), se figur.
5,35 måneder etter 1. januar tilsvarer litt ut i juni måned. 11,55 måneder etter 1. januar tilsvarer midten av desember (husk at x=0 den 1.januar, x=1 den 1. februar osv.). Det vil si at det varte i 11,55-5,35=6,2 måneder.
Det var mer enn 10 millioner kvadratkilometer dekket av havis fra litt ut i juni til midten av desember, i 6,2 måneder.
===c)===
[[File: 1c.png]]
1. mars tilsvarer x=2 (2 måneder etter 1. januar). 1. september tilsvarer x= 8 (8 måneder etter 1. januar).
Tegnet punktene D=(2,A(2)) og E=(8,A(8)). Brukte knappen "linje" til å tegne en linje ''i'' som går gjennom punkt D og E. Brukte knappen "Stigning" til å finne stigningen til linjen ''i''. Stigningen a=2,28.
Det betyr at den gjennomsnittlige økningen i antall kvadratkilometer dekket av havvis fra 1. mars til 1. september var 2,28 millioner kvadratkilometer per måned.
===d)===
[[File: 1d.png]]
Lagde punktet F=(5,A(5)). Brukte knappen "Tangent" til å lage en tangent til funksjonen A(x) i punktet F. Brukte knappen "Stigning" til å finne stigningen til tangenten. Stigningen a=3.
Den momentane vekstfarten når x=5 var 3 millioner kvadratkilometer per måned. Det vil si at havisen vokste med en fart på 3 millioner kvadratkilometer per måned den 1. juni.
==Oppgave 2==
===a)===
2010025=500100=5
5 elever i klassen til Mats har bodd i Norge i mindre enn fire år.
===b)===
Alternativ 1: en økning på 150% tilsvarer en vekstfaktor på 2,5.
x2,5=1500x=15002,5x=600
Det var 600 elevplasser ved skolen før utbygningen.
Alternativ 2: Du kan også bruke vanlig prosentregning:
250100x=1500x=1002501500x=600
Det var 600 elevplasser ved skolen før utbygningen.
==Oppgave 3==
Leser av grafen. CO2-utslippet for bensinbilder i januar 2016 var 105 g/km. Utslippet for bensinbiler i oktober 2017 var 90 g/km.
Prosent nedgang i CO2-utslipp = 10590105100%=15105100%14,3%
CO2-utslippet for bensinbiler gikk ned med gjennomsnittlig 14,3% fra januar 2016 til oktober 2017.
==Oppgave 4==
===a)===
Setter om et funksjonsuttrykk ''f(x)'' for verdien av bilen om ''x'' år. En årlig nedgang i verdien på 12% tilsvarer en årlig vekstfaktor på 0,88.
f(x)=3000000,88x
Om 5 år er bilen verdt:
f(5)=3000000,885158320kr
===b)===
For 5 år siden var bilen verdt:
f(5)=3000000,885568470kr
==Oppgave 5==
===a)===
For å finne antall personer i boligområdet finner vi frekvensen i hver aldersgruppe (klassebredden ganget med histogramhøyden), og legger sammen frekvensen i alle aldersgruppene.
153+55+107+205+301=270
Det bor 270 personer i boligområdet.
===b)===
Bruker Excel til å lage et søylediagram.
[[File: 3b.png]]
===c)===
I et søylediagram er det lettere å se antall personer i hver aldersgruppe. Mange vil kanskje foretrekke søylediagram, da antall personer i hver aldersgruppe blir lett å sammenligne.
I et histogram er det lettere å se bredden på de ulike aldersgruppene.
Valg av diagram kommer altså an på hvilken informasjon man vil legge vekt på.
==Oppgave 6==
===a)===
[[File: 2-4a.png]]
Legger inn verdiene i regnearket i Geogebra og bruker ''Regresjonsanalyse'' for å finne en eksponentiell modell. Husk at x=0 i 1920, x=20 i 1940 osv.
Vi har vist at modellen f(x)=1775,61,015x passer fint med tallene i tabellen.
===b)===
Vekstfaktoren i modellen er 1,015, det betyr at folketall øker med 1,5% per år ifølge modellen.
===c)===
[[File: 4c.png]]
Tegner funksjonen f(x) i Geogebra. Lager punktene A=(70,f(70)) og B=(95, f(95)). Bruker knappen ''Linje'' til å lage linja ''h'' som går gjennom punkt A og B. Bruker knappen ''Stigning'' til å finne stigninga til linjen ''h''. Stigningen a=90,8.
Det vil si at folketallet steg med gjennomsnittlig 90,8 millioner per år fra 1990 til 2015.
===d)===
[[File: 4d.png]]
År 2050 tilsvarer x=130. Et folketall på 9,8 milliarder tilsvarer y= 9800. År 2100 tilsvarer x=180.  Et folketall på 11,2 milliarder tilsvarer y= 11200.
Lager punktet C1=(130, (f(130)) og C2=(130, 9800). Vi ser at modellen ikke stemmer helt med FNs prognoser for år 2050. Vår modell forutsier 12,3 milliarder mennesker i 2050, som er et noe høyere folketall enn FNs prognoser på 9,8 milliarder.
Lager punktet D1=(180, (f(180)) og D2=(180, 11200). Vi ser at modellen ikke stemmer i det hele tatt med FNs prognoser for år 2100. Vår modell forutsier 25,9 milliarder mennesker i 2100, som er over dobbelt så høyt folketall som FNs prognoser på 11,2 milliarder.
==Oppgave 7==
===a)===
5+20+405+20+40+65+55+15=65200=0,352=32,5%
32,5% av elevene fikk karakter 4 eller bedre.
===b)===
Bruker Excel.
[[File: 5b.png]]
Med formler:
[[File: 5b2.png]]
===c)===
For hvert av de to årene ganger vi gjennomsnittet med frekvensen for å få summen av karakterene:
År 1: 3,05200=610
År 2: 3,25180=585
For å finne det nye gjennomsnittet legger vi sammen summen av karakterene og deler på summen av antall elever:
Gjennomsnitt for begge årene = 610+585200+180=3,145

Siste sideversjon per 5. okt. 2020 kl. 09:02

  • Løsningsforslag (pdf) fra Espen Johanssen, AOF Haugaland. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

DEL EN

Oppgave 1

Variasjonsbredde: 30(24)=30+24=54 poeng

Gjennomsnitt: 2015+5+158324+308=208=52=2,5 poeng

Oppgave 2

40 milliarder = 40109

0,15dm3=150cm3

Antall bakterier i svampen = antall baterier per cm^3 * antall cm^3 i svampen.

Antall bakterier i svampen = 40109150=6000109=61012

Det er 61012 bakterier i svampen.

Oppgave 3

a)

b)

80 personer har fedme.

520 personer er undervektige eller normalvektige.

40% av personene er overvektige.

92% av personene er undervektige, normalvektige eller overvektige.

c)

Medianen er vekten til personen mellom nr. 500 og 501 (siden det er 1000 personer med i undersøkelsen), og vi ser i den kumulative frekvensen at denne personen befinner seg i klassen for normalvektige.

Oppgave 4

a)

b)

Antall sirkler i ytterste sekskant er 246. Vi bruker formelen for antall sirkler i ytterste sekstant, og setter den lik 246:

6(n1)=246n1=2466n1=41

Formel for antall sekskanter i en figur er n1

Dermed vet vi at det er 41 sekskanter i figuren.

c)

d)

Bruker formelen for antall sirkler i figuren og setter inn n=100.

2n2n=21002100=210000100=20000100=19900

Det vil være 19 900 sirkler i figur nr. 100.

Oppgave 5

a)

En lineær modell skrives y=ax+b

Vi vet at konstantleddet b = 12 000 fordi dyrebestanden i dag er 12 000 dyr.

Vi finner stigningstallet a=y2y1x2x1=600012000100=600010=600

Modellen som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år er y=600x+12000

b)

1140012000=0,95

11 400 dyr tilsvarer 95% av 12 000 dyr. Det betyr at vekstfaktoren for ett år er 0,95.

Den eksponentielle modellen som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år er f(x)=120000,95x

c)

I den lineære modellen avtar bestanden med 600 dyr hvert år. Det første året tilsvarer det 5% av startverdien på 12 000 dyr. Bestanden vil fortsette å avta med 600 dyr hvert år, og det vil tilsvare en større og større prosentandel av dyrene som er igjen hvert år.

I den eksponentielle modellen avtar bestanden med 5% av antall dyr som er igjen hvert år. Det første året tilsvarer det 600 dyr, men de neste årene vil bestanden minke med færre og færre dyr, fordi 5% av en stadig minkende bestand, tilsvarer et mindre og mindre antall dyr.

Det vil si at det vil være færrest dyr igjen om 10 år ifølge den lineære modellen.

DEL TO

Oppgave 1

a)

Tegner funksjonen i Geogebra.

b)

Tegner linja y=10 og bruker Skjæring mellom to objekt for å finne punkt B=(5,35, 10) og C=(11,55, 10), se figur.

5,35 måneder etter 1. januar tilsvarer litt ut i juni måned. 11,55 måneder etter 1. januar tilsvarer midten av desember (husk at x=0 den 1.januar, x=1 den 1. februar osv.). Det vil si at det varte i 11,55-5,35=6,2 måneder.

Det var mer enn 10 millioner kvadratkilometer dekket av havis fra litt ut i juni til midten av desember, i 6,2 måneder.

c)

1. mars tilsvarer x=2 (2 måneder etter 1. januar). 1. september tilsvarer x= 8 (8 måneder etter 1. januar).

Tegnet punktene D=(2,A(2)) og E=(8,A(8)). Brukte knappen "linje" til å tegne en linje i som går gjennom punkt D og E. Brukte knappen "Stigning" til å finne stigningen til linjen i. Stigningen a=2,28.

Det betyr at den gjennomsnittlige økningen i antall kvadratkilometer dekket av havvis fra 1. mars til 1. september var 2,28 millioner kvadratkilometer per måned.

d)

Lagde punktet F=(5,A(5)). Brukte knappen "Tangent" til å lage en tangent til funksjonen A(x) i punktet F. Brukte knappen "Stigning" til å finne stigningen til tangenten. Stigningen a=3.

Den momentane vekstfarten når x=5 var 3 millioner kvadratkilometer per måned. Det vil si at havisen vokste med en fart på 3 millioner kvadratkilometer per måned den 1. juni.

Oppgave 2

a)

2010025=500100=5

5 elever i klassen til Mats har bodd i Norge i mindre enn fire år.

b)

Alternativ 1: en økning på 150% tilsvarer en vekstfaktor på 2,5.

x2,5=1500x=15002,5x=600

Det var 600 elevplasser ved skolen før utbygningen.

Alternativ 2: Du kan også bruke vanlig prosentregning:

250100x=1500x=1002501500x=600

Det var 600 elevplasser ved skolen før utbygningen.

Oppgave 3

Leser av grafen. CO2-utslippet for bensinbilder i januar 2016 var 105 g/km. Utslippet for bensinbiler i oktober 2017 var 90 g/km.

Prosent nedgang i CO2-utslipp = 10590105100%=15105100%14,3%

CO2-utslippet for bensinbiler gikk ned med gjennomsnittlig 14,3% fra januar 2016 til oktober 2017.

Oppgave 4

a)

Setter om et funksjonsuttrykk f(x) for verdien av bilen om x år. En årlig nedgang i verdien på 12% tilsvarer en årlig vekstfaktor på 0,88.

f(x)=3000000,88x

Om 5 år er bilen verdt:

f(5)=3000000,885158320kr

b)

For 5 år siden var bilen verdt:

f(5)=3000000,885568470kr

Oppgave 5

a)

For å finne antall personer i boligområdet finner vi frekvensen i hver aldersgruppe (klassebredden ganget med histogramhøyden), og legger sammen frekvensen i alle aldersgruppene.

153+55+107+205+301=270

Det bor 270 personer i boligområdet.

b)

Bruker Excel til å lage et søylediagram.

c)

I et søylediagram er det lettere å se antall personer i hver aldersgruppe. Mange vil kanskje foretrekke søylediagram, da antall personer i hver aldersgruppe blir lett å sammenligne.

I et histogram er det lettere å se bredden på de ulike aldersgruppene.

Valg av diagram kommer altså an på hvilken informasjon man vil legge vekt på.

Oppgave 6

a)

Legger inn verdiene i regnearket i Geogebra og bruker Regresjonsanalyse for å finne en eksponentiell modell. Husk at x=0 i 1920, x=20 i 1940 osv.

Vi har vist at modellen f(x)=1775,61,015x passer fint med tallene i tabellen.

b)

Vekstfaktoren i modellen er 1,015, det betyr at folketall øker med 1,5% per år ifølge modellen.

c)

Tegner funksjonen f(x) i Geogebra. Lager punktene A=(70,f(70)) og B=(95, f(95)). Bruker knappen Linje til å lage linja h som går gjennom punkt A og B. Bruker knappen Stigning til å finne stigninga til linjen h. Stigningen a=90,8.

Det vil si at folketallet steg med gjennomsnittlig 90,8 millioner per år fra 1990 til 2015.

d)

År 2050 tilsvarer x=130. Et folketall på 9,8 milliarder tilsvarer y= 9800. År 2100 tilsvarer x=180. Et folketall på 11,2 milliarder tilsvarer y= 11200.

Lager punktet C1=(130, (f(130)) og C2=(130, 9800). Vi ser at modellen ikke stemmer helt med FNs prognoser for år 2050. Vår modell forutsier 12,3 milliarder mennesker i 2050, som er et noe høyere folketall enn FNs prognoser på 9,8 milliarder.

Lager punktet D1=(180, (f(180)) og D2=(180, 11200). Vi ser at modellen ikke stemmer i det hele tatt med FNs prognoser for år 2100. Vår modell forutsier 25,9 milliarder mennesker i 2100, som er over dobbelt så høyt folketall som FNs prognoser på 11,2 milliarder.

Oppgave 7

a)

5+20+405+20+40+65+55+15=65200=0,352=32,5%

32,5% av elevene fikk karakter 4 eller bedre.

b)

Bruker Excel.

Med formler:

c)

For hvert av de to årene ganger vi gjennomsnittet med frekvensen for å få summen av karakterene:

År 1: 3,05200=610

År 2: 3,25180=585

For å finne det nye gjennomsnittet legger vi sammen summen av karakterene og deler på summen av antall elever:

Gjennomsnitt for begge årene = 610+585200+180=3,145