Praktisk romgeometri

Nedenfor finner man en oversikt over de vanligste spørsmål som dukker opp i forbindelse med punkter, linjer og plan.

Objekter i rommet

---

Punkt

Et punkt i rommet er gitt ved tre koordinater. P (x, y, z).

$\\ \\ \\$

Linje

En linje i rommet kan ikke uttrykkes med en likning, slik en linje i planet kan det. Det er vanlig å uttrykke en linje i rommet med en parameterframmstilling. Dersom man ønsker å uttrykke en linje ved hjelp av likninger, er det mulig ved hjelp av to likninger for to plan som skjærer hverandre, de vil jo danne en rett linje.

En rett linje m som går gjennom punktet <math>p = (x_0 , y_0 , z_0) </math> og har retningsvektor <math> \vec{r} = (a, b, c) </math> har parameterfremstillingen:

<math>m: \left[ \begin{align*} x &=x_0+at \\ y &= y_0+bt \\ z &= z_0+ct \end{align*}\right]</math>

I planet er det slik at to linjer som ikke er parallelle vil skjære hverandre. I rommet er det nødvendigvis ikke tilfelle. To linjer som ikke er parallelle og som ikke skjærer hverandre sies å være vindskeive.

$\\ \\ \\$

Plan

Et plan er definert ved

(1) tre punkter

(2) ett punkt og en linje

(3) to linjer som krysser hverandre

(4) to parallelle linjer

Disse tilfellene er sider av samme sak, man trenger et punkt i planet og informasjon til å finne normalvektor, kryssproduktet mellom to ikke-parallelle vektorer i planet.

Likningen for et plan er:

<math> a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \\

ax+by+cz+d=0</math>

Der a,b og c er koordinatene til planets normalvektor, og $x_0,y_0,z_0$ er et punkt i planet.

Dersom d=0 skjærer planet origo.

Parameterfremstillingen for et plan er gitt ved

<math>\alpha: \left[ \begin{align*} x &=x_0 + u_xs+v_xt \\ y &=y_0 + u_ys+v_yt \\ z &=z_0 + u_zs+v_zt \end{align*}\right]</math>

Der u og v er vektorer i planet (ikke parallelle).

---

Xy planet

xy planet utspennes av x og y- aksen og har en normalvektor parallell med z- aksen [0, 0, 1].

Likningen for xy planet er z = 0

Et plan parallellt med xy planet er på formen z + n = 0

---

Xz planet

Har likningen y = 0 og plan parallelle med xz planet har likningen y + n = 0.

---

yz planet

Tilsvarende har yz planet likningen x = 0 og plan parallelle med yz planet har likningen x + n = 0

---

Plan parallell med akse

Et plan som er parallellt med x aksen har likning på formen ny + mz + k = 0. Tilsvarende er nx + my+ k = 0 og nx + mz+ k = 0 parallell med henholdsvis z og y aksen.

---

$\\ \\ \\ \\$

Kule

Et vilkårlig punkt S med koordinater $(x_0, y_0, z_0)$ er sentrum i kulen. Et tilfeldig punkt på kuleflaten er P, med koordinater (x, y, z). Lengden av SP vektor er radius i kulen.

Likning for kuleflate

$| \vec{SP}| = r \\ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 +(z-z_0)^2} = r \\ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = r^2$

Likningen over er en hensiktsmessig måte å skrive på dersom man har behov for å kjenne radius og koordinatene til sentrum i kulen. Formenlen er imidlertid ofte multiplisert ut, og da må man ty til metoden med å lage "fullstndige kvadrater".

Eks:

Finn radius og sentrum i kulen som har likningen: $x^2+y^2+z^2+4x-6y-12 =0$

$x^2+y^2+z^2+4x-6y-12 =0 \\ (x^2+4x) +(y^2-6y) + z^2 =12 \\ (x^2+4x+2^2)+(y^2-6y+3^2) +z^2 = 12+2^2+3^3 \\ (x+2)^2+(y-3)^2 +z^2 = 5^2 $

Kulen har radius 5, med sentrum i ( -2, 3, 0).

---

Parameterframstilling for en kule

$x = r \cdot cos u \cdot cos v \\ y = r \cdot cos u \cdot sin v \\ z= r \cdot sin u$

$\\ \\ \\ \\ $

Parallellepiped

"Vindskeivt" prisme som utspennes av tre lineært uavhengige vektorer.

Tetraeder

To lineært uavhengige vektorer i planet utspinner et parallellogram. Diagonalene i parallellogrammet deler flaten i to og danner en grunnflate i tetraederet. en tredje vektor, som ikke ligger i grunnflaten, utspenner høyde og volum i tetraederet, som er en "trekantpyramide".

---

punkt - punkt

Avstanden d mellom punktene A og B er gitt ved <math>d=|\vec{AB}|= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B -y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} </math>

Altså lik lengden av AB vektor.

Eks:

Gitt er punktene P = (1,2,3) og Q = (4,4,2). Hva er avstanden mellom P og Q?

<math>d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 -2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}</math>

punkt - linje

A er et vilkårlig punkt på linjen l. P er et punkt som ikke ligger på linjen. Arealformelen med vektorproduktet gir:

<math> T = \frac12 \cdot | \vec{AP} \times \vec{v}| </math>

Der <math>\vec{v}</math> er retningsvektoren til l.

Fra ungdomsskolen har man at arealet av en trekant er: <math>T = \frac12 \cdot g \cdot h = \frac12 \cdot |\vec{v}| \cdot h </math>

h er høyden i trekanten, altså den rette linjen fra punktet P som står normalt på linjen l, altså den avstanden man ønsker å finne. Kombinert gir dette:

<math> \frac12 \cdot |\vec{v}| \cdot h = \frac12 \cdot | \vec{AP} \times \vec{v}|</math>

<math> |\vec{v}| \cdot h = | \vec{AP} \times \vec{v}|</math>

<math> h = \frac{ | \vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}</math>

Eks:

Finn avstanden mellom linjen <math>m: \left[ \begin{align*} x &= -1-s\\ y &= 3+s \\ z &= -2s \end{align*}\right]</math>

og punktet P =(1, 1, 2)

Punktet A =(-1, 3, 0) ligger på linjen m. Da er $\vec{AP}=[2, -2, 2] \quad og \quad \vec{v} = [-1, 1, -2]$

$ h = \frac{ | \vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{ | [2, -2, 2] \times [-1, 1, -2]|}{|[-1, 1, -2]| } =\frac{2}{\sqrt{3}}$

punkt - plan

Man trenger likningen til planet og koordinatene til punktet.

Dersom planet er gitt ved <math> ax+by+c + d = 0</math> og punktet gitt som <math> P = (x_p, y_p, z_p)</math>

er avstanden s mellom punkt og plan gitt som

<math> s = \frac{|ax_p+by_p+cz_p + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>

Eks

Et plan har likningen <math> 2x-y+z-3=0 </math> og punktet P har koordinatene (2, 2, 3). Finn avstanden fra P til planet

<math> s = \frac{|ax_p+by_p+cz_p + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} }= \frac{|2 \cdot 2 + (-1)\cdot 2 + 1 \cdot 3 - 3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|4 -2 + 3 - 3|}{\sqrt{6}}= \frac{2}{\sqrt{6}} </math>

Punkt - kule

Avstanden fra et punkt til en kule: Vi finner avstanden fra punktet til kulens sentrum ved å finne avstanden mellom to punkt. Dersom man ønsker avstanden til kuleflaten finner man avstanden mellom punktet og kulens sentrum, så trekker man fra lengden av radien.

Plan - kule

Plan til sentrum av kule Samme som avstand plan punkt, man må kjenne sentrum av kule og likning for plan.

Plan til kuleflate: Samme som over, så trekker man fra radius av kule.

Linje - linje

Avstand mellom to linjer

Først finner man ut om de to linjene er parallelle, eller om de er vindskeive.

Dersom de er parallelle ser man det ved at retningsvektoren til den ene linjen er lik retningsvektoren til den andre multiplisert med en konstant.

PARALLELLE:

Man velger et punkt på hver av linjene (A og P) og setter inn i:

<math> h = \frac{ | \vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}</math>

Eks:

<math>m: \left[ \begin{align*} x &=-1-s\\ y &= 3+s \\ z &= -2s\end{align*}\right]</math>

<math>n: \left[ \begin{align*} x &=1+t \\ y &= 1-t \\ z &= 2+2t \end{align*}\right]</math>

er parallelle linjer.

A = (-1, 3, 0) er et punkt på m, og P = (1, 1, 2) er et punkt på n. Retningsvektor for m er [-1, 1, -2]. Vi får da:

<math> h = \frac{ | \vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{ | [2, -2, 2] \times [-1, 1, -2]|}{|[-1, 1, -2]| } =\frac{2}{\sqrt{3}} </math>

VINDSKEIVE:

For å finne avstanden mellom to vindskeive linjer må man finne lengden av den linje som står vinkelrett på begge de to vindskeive linjene.

Eks:

Finn avstanden mellom m og n.

<math>m: \left[ \begin{align*} x &=-1-s\\ y &= 3+s \\ z &= -2s\end{align*}\right]</math>

<math>n: \left[ \begin{align*} x &=1+t\\ y &= 1+t \\ z &= 2-t\end{align*}\right]</math>

Retningsvektorene er <math>\vec{v_m}= [-1,1,-2] </math> og <math> \vec{v_n}= [1,1,-1] </math>

Man må så finne punktene på m og n som forbinder de to linjene med et linjestykke som står normalt på både m og n.

<math>P_m = (-1-s, 3+s, -2s) </math> og <math>P_n = (1+t, 1+t, 2-t) </math> som gir <math>\vec{P_mP_n} = [1+t+1+s, 1+t-3-s, 2-t+2s]

= [2+t+s, -2+t-s, 2-t+2s] </math>

Da må

<math>\vec{v_m} \perp \vec{P_mP_n}</math> og <math>\vec{v_n} \perp \vec{P_mP_n}</math>

som gir

<math>\vec{v_m} \cdot \vec{P_mP_n} = 0</math> og <math>\vec{v_n} \cdot \vec{P_mP_n} = 0</math>

<math>[-1,1,-2] \cdot [2+t+s, -2+t-s, 2-t+2s] = 0</math> og <math> [1,1,-1] \cdot [2+t+s, -2+t-s, 2-t+2s] = 0</math>

<math>-2-t- s-2+t-s-4+2t-4s = 0</math> og <math>2+t-s-2+t-s-2+t-2s =0</math>

<math>-8+2t-6s = 0</math> og <math>-2 +3t -2s =0</math>

<math>t= 3s+4</math> og <math>-2+3(3s+4)-2s = 0</math>

<math>t= 2s+4</math> og <math>10+9s = 0</math>

<math>t= 2s+4</math> og <math>s= - \frac{10}{7}</math>

<math>t= - \frac 27</math> og <math>s= - \frac{10}{7}</math>

Innsatt gir det

<math>\vec{P_mP_n} = [\frac27 ,- \frac 67, - \frac47 ]</math>

Avstanden mellom linjene blir da 1,07

Situasjonen ser slik ut:

Korteste avstånd mellom linjene er den tykke røde streken.

---

Vinkler i rommet

Vinkel mellom to linjer

Vinkelen man søker er A. Man finner vinkelen mellom to linjer ved å finne vinkelen mellom retningsvektorene (skalarprodukt). Den største vinkelen mellom to linjer er 90 grader. Dersom den vinkelen man finner er større enn 90 grader (B), tar man 180 - B = A, som er den man ønsker å finne.

Eks:

Finn vinkelen mellom m og n. <math> m: \left [ x = -1-s\\ y = 3+s \\ z = -2s \right]</math> og <math> n: \left [ x = 1+t\\ y = 1+t \\ z = 2-t \right]</math>

Rettningsvektorene er <math> \vec{v_m} = [-1,1,-2] </math> og <math> \vec{v_n} = [1,1,-1] </math>

<math>cos \alpha = \frac{ \vec{v_m} \cdot \vec{v_n}}{ |\vec{v_m}| \cdot |\vec{v_n}|} = \frac{ [-1,1,-2] \cdot [1,1,-1]}{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{ \sqrt{18}} </math>

<math> \alpha = 61,9^{\circ} </math>

---

---

Vinkel mellom linje og plan

Vinkelen mellom en linje og en plan finner man ved å benytte skalarproduktet mellom retningsvektoren for linja og normalvektoren for planet.

---

---

Vinkelen mellom to plan

Vinkelen mellom to plan er den samme som den minste vinkelen mellom planenes normalvektor.

Eks:

To plan er gitt ved x + y + z + 1 = 0 og 3x - y + z = 0. Normalvektorer blir [1,1,1] og [3, -1, 1]. Vi får:

<math>cos \alpha = \frac{[1,1,1] \cdot [3,-1,1]}{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{11}}= \frac{3}{\sqrt {33}}</math>

<math> \alpha = 58,5^{\circ}</math>

---

Skjæring mellom objekter

Linje - plan

En rett linje kan ligge i planet. Da er alle punkter på linja også punkter i planet. En rett linje kan ligge parallell med et plan, da har linjen og planet ingen punkter felles. En rett linje kan skjære et plan. Linjen og planet har da et felles punkt.

Eks:

En linje er gitt som <math>m: \left[ \begin{align*} x &=-1-k\\ y &= 3+k\\ z &= -k\end{align*}\right]</math>

og et plan er gitt som <math> \alpha: 2x-y+z-1=0</math>

Ved skjæring vil linjen og planets koordinater være de samme. Det oppnår man ved å setter utrykket for linja i i likningen for planet:

2(-1-k)-(3+k)-k-1=0

-4k-6=0

<math>k=- \frac32</math> gir skjæringspunkt <math>( -\frac52 , \frac 32, \frac 32) </math>

---

Plan - Plan

Skjæring mellom to plan.

Dersom to plan ikke er parallelle vil de før eller senere skjære hverandre og danne en rett linje. For å finne uttrykket for linjen gjøres følgende: Ta vektorproduktet av planenes normalvektorer, det gir linjens retningsvektor. Sett så inn en vilkårlig x verdi (samme) i begge plans ligninger. Det gir to ligninger med to ukjente. Løs for y og z og man har et punkt på linjen.

Eks:

Vi har planet A: 2x + 3y - z + 3 = 0 og plan B: 4x + 5y + z - 1 = 0

med tilhørende normalvektorer: nA = [2,3,-1] og nB = [4,5,1]

Man finner retningsvektor til skjæringslinjen ved å ta vektorproduktet til normalvektorene:

nA x nB = [(3+5),(-4-2),(10-12)] = [8,-6,-2] = 2[4,-3,-1]

[4,-3,-1] er en retningsvektor for skjæringslinjen.

I ligningene for plan A og B setter vi x=1 og får:

2 -3y - z + 3 = 0 og 4 + 5y + z - 1 = 0

som gir y = -1 og z = 2 det gir punktet P(1,-1,2)

Skjæringslinjen er da bestemt til: [x,y,z] = [1,-1,2] +t[4,-3,-1] som er det samme som parameterframstillingen:

x = 1 + 4t

y = -1 - 3t

z = 2 - t

---

Plan - Kule

Dersom avstanden fra et plan til en kules sentrum er mindre enn kulens radius vil de to objeltene skjære hverandre. Dersom avstanden fra planet til kulen sentrum er lik radius til kulen tangerer objektene hverandre.

Figuren viser en kule med sentrum i S (1,2,3) og radius 4. Vi observerer at kulen skjærer xy - planet.

Kulen og planet sett inn langs y- aksen. R er kulens radius. r er sirkelens radius og h er avstand fra plan til sentrum i kule.

Kulen sett fra negativ z - akse.. Den dyprøde delen av kulen ligger under xy - planet.

$\\ \\ \\ \\$

Kule - Linje

For å finne skjæringspunktene mellom en linje og en kule setter man parameterfremmstillingen for linjen inn i likningen for kulen. De eller den parameterverdien vi får setter vi inn i parameterframstillingen for linjen og får koordinatene til skjæringspunktene (punktet, dersom vi har tangering).

Linje -Linje

Dersom to linjer i rommet skjærer hverandre må det være en parameterverdi for hver av linjene som gir et felles punkt, dvs. samme x-, y-, og z koordinat for begge linjene.

Eks:

Vi har gitt linjene:

<math>m: \left[ \begin{align*} x &= -1-s\\ y &= 3+s \\ z &= -s \end{align*}\right]</math>

og

<math> n: \left [ \begin{align*} x = 3-2t\\ y = t \\

z = 1+t \end{align*} \right]</math>

Skjærer linjene hverandre?

<math>-1-s = 3-2t \quad \wedge \quad 3+s = t \\ s = -2 \quad \wedge \quad t =1 </math>

Innsatt s = - 2 i linje m gir det punktet (1, 1, 2), og innsatt t = 1 i linje n gir (1, 1, 2).

Konklusjonen er at m og n skjærer hverandre i punktet (1, 1, 2).

---

---

Ligger punktet på linja?

Man finner først den parameterverdien som gir planets x verdi lik punktets x verdi. Dersom denne parameterverdien gir tilsvarende verdier for plantes y og z koordinat ligger punktet i planet.

En linje er gitt som

<math>m: \left[ \begin{align*} x &= -1 -s \\ y &= 3 +4s \\ z &= -s \end{align*}\right]</math>

Ligger punktet P =(4,-17,5) på linjen?

4=-1-s gir s = -5 innsatt s=-5 for y gir y = 3 +4(-5) = -17 og z = -(-5)= 5 hvilket betyr at punktet ligger på linjen.

---

Avstand linje og plan

Dersom en linje er parallell med planet vil den aldri skjære planet. Det kan da være av interesse å finne avstanden mellom linjen og planet. Man finner et punkt på linjen og benytter metoden vist nedenfor.

---

---

---

Ligger punktet eller linja i planet?

PUNKT

Ligger punktet i planet? Dersom koordinatene til punktet passer i likningen for planet ligger punktet i planet, ellers ikke.

Eks:

Et plan er gitt ved: 2x-3y+z-1=0. Ligger punktet S = (2, 1, 2) i planet?

Man setter inn for å se om punktets koordinater passer i likningen for planet. <math> 2 \cdot 2 - 3\cdot 1 +2 -1 =0</math>

LINJE

Dersom en linje ligger i planet er det nok å vise at to punkter på linjen ligger i planet

Eks:

Et plan er gitt ved: 4x+5y+z-1 =0. Ligger linjen

<math>m: \left[ \begin{align*} x &=1+4t\\ y &= -1-3t \\ z &= 2-t\end{align*}\right]</math>

i planet?

Man velger et punkt på linja, t=0 gir (1, -1,2) som innsatt i likningen for planet gir 4 + 5 + 2 - 1 = 0. Velger t=1 og får 20 - 20 + 1 -1 = 0. Linjen ligger i planet.

---

Tilbake til hovedside