2P 2019 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning del 2 laget av mattepratbruker Kristian Saug

Oppgave 1

1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8

a)

Median er gjennomsnittet av de to tallene i midten av tallmaterialet ( tall 10 og 11) som er $\frac {3+4}{2} = 3,5$

Gjennomsnittet er summen av alle observasjoner, delt på antallet observasjoner, altså:

$\frac{1+ 1+ 2+ 2+ 2+ 3+ 3+ 3+ 3+ 3+ 4+ 4+ 4+ 4+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+ 8}{20} = \frac{74}{20} = 3,7$

b)

Den kumulative frekvensen for 3 betyr hvor ofte 3 eller mindre forekommer i datamaterialet. Altså 1,1,,2,2,2 og 3,3,3,3,3 som til sammen er 10 forekomster. Den kumulative frekvensen for 3 er ti.

På norsk betyr det at 10 av de 20 spurte bruker tre eller mindre enn tre timer foran en skjerm hver dag.

Den relative frekvensen er hvor stor del noe utgjør av helheten. Det var fem som svarte 3 timer, av tyve spurte. Den relative frekvensen for 3 blir da $\frac {5}{20} = 0,25$ Man oppgir oftest relativ frekvens som et desimaltall, eller prosentfaktor. 0,25 tilsvarer 25%.

Oppgave 2

Dersom 15 stk er hvite og 40% er røde, vet vi at 60% tilsvarer 15 stk. Da er 20% lik 5 stk. 40% er da 10 stk.

$ \frac{15 \cdot 40}{60} = 10$

Vi deler 15 på 60 som gir en prosent, multipliserer med 40 for å finne hvor mange 40% er. Det er altså 10 stk.

Oppgave 3

$\frac{1,2 \cdot 10^7 - 6,5 \cdot 10^6}{0,0005} = \\ \frac{(12-6,5) 10^6}{5 \cdot 10^{-4}} = \\ \frac{5,5}{5} \cdot 10^{6 - (-4)} = \\ 1,1 \cdot 10^{10} $

Eller slik:

$\frac{1,2 \cdot 10^7 - 6,5 \cdot 10^6}{0,0005} = \\ \frac{12 000 000-6 500 000}{5 \cdot 10^{-4}} = \\ \frac{5 500 000}{ 5} \cdot 10^4 = \\ 1 100 000 \cdot 10^4 = 1,1 \cdot 10^{10}$

Oppgave 4

Vi omformer tallene slik at det blir lettere å sammenligne dem:

$ 75^0 = 1 \\ 2^3 \cdot 2^2 = 32 \\ (2^3)^2 = 64 \\ 2^{-3} = \frac 18 \\ \frac{1}{4^2} = \frac {1}{16}$

Vi får da følgende rekkefølge :

$ \frac {1}{4^2}, 2^{-3}, 75^0, 2^3 \cdot 2^2, (2^3)^2$

Oppgave 5

a)

L (x )= 40x + 60

L er lønna, som er avhengig av x

x er antall produkter

40 er beløpet hun får for hvert produkt (x) hun selger.

60 er fastlønna, uavhengig av x.

Denne funksjonen er en rett linje med 60 som konstantledd og 40 som stigningstall.

b)

$L(x) > 200 \\ 40x+60 >200 \\ 40x >200 - 60 \\ 40x > 140 \\ x > \frac{140}{40} x > 3,5 $

Hun må selge fire produkt i timen for å få en timelønn over 200kr.

c)

Vi sjekker hvor mange produkter hun må selge for at tilbudene gir samme lønn.

$40x + 110 = 48x +60 \\ - 8x = - 50 \\ x = 8,25$

Dersom hun vanligvis, mesteparten av tiden, selger åtte produkter eller mindre, lønner det seg å ta tilbudet med økt fastlønn. Selger hun vanligvis 9 eller flere er alternativ to best.

Oppgave 6

a)

Når man jobber med klassedelt materiale må man gjøre visse forutsetninger, fordi vi ikke kjenner fordelingen innen klassen. Eks Den første klassen består av 40 filmer med en lengde mellom 60 og 80 minutter. Det kan være at alle 40 filmene er 60 minutter lange. Det kan være at alle filmene er 79 minutter lange. Det vet vi ingen ting om.

Derfor antar vi at lengden på filmene fordeler seg jevnt i hele klassen. Da blir gjennomsnittet for en klasse lik klassemidtpunkt. Vi multipliserer med frekvens, gjør dette for alle klasser, summerer opp og deler på antall ( i dette tilfellet) filmer.

Løsning:

klassemidtpunkt ganger frekvens:

$70 \cdot 40= 2800 \\ 100 \cdot 100 = 10000 \\ 130 \cdot 40 = 5200 \\ 160 \cdot 20 = 3200 $

Vi legger sammen alle resultatene fra multiplikasjonene og får 2800 + 10 000 + 5200 +3200 = 21200. Dette er filmenes totale antall minutter.

Antallet filmer totalt er 200. Vi deler minuttene på antallet og får gjennomsnittet:

21200 : 200 = Dette er det samme som:

212 : 2 = 106,5 minutter

Gjennomsnittslengden for filmene er 106,5 minutter

b)

Oppgave 7

Vi legger merke til at alle figurene kan deles i tre. De to gule delene er like. I figur 2 er antallet sirkler $2^2$ i en gul del, og $3^2$ i figur 3.

a)

Fra figuren over ser man at figur nr. 4 vil bestå av fire ganger fire, pluss fem ganger fem, pluss fire ganger fire antall kuler:

$4^2 + 5^2 + 4^2 = 16 + 25 + 16 = 57$

Det er 57 kuler i figur 4.

b)

Vi ser at de to "gule" kvadratene har sidekanter med samme antall kuler som figurnummer, mens det "røde" kvadratet i midten har en kule mer i sidekanten enn figurnummeret.

Kaller antall kuler for A(n)

Vi får da:

$A(n) = n^2 + (n+1)^2 + n^2 = 2n^2 + (n+1)^2 = 2n^2+n^2+2n+1 = 3n^2+2n+1$

c)

Figur nr. 100:

$A(100) = 3 \cdot 100^2 + 2 \cdot 100 + 1 = 30000 + 200 + 1 = 30201 $

Oppgave 1

a)

b)

I ca. 25 år, fra 1972 til 1997. Se graf i a.

c)

Den øker i gjennomsnitt med 20 100 tonn per år.

Laget et linjestykke fra minste til største verdi og fant stigningstallet til denne rette linjen. Det er det samme som den gjennomsnittlige veksten i perioden.

d)

Med momentan menes i øyeblikket, altså forandringen i 1970. Den momentane veksten er negativ, -34 500 tonn per år ( i 1970). Det betyr at i løpet av året 1970 blir det 34 500 tonn mindre sei i Arktis. Når vi snakker om vekst er det fort å tenke at noen eller noe blir flere, men når veksten er negativ blir det mindre.

Laget en tangent til grafen i x=10, som tilsvarer år 1970. Fant stigningen til tangenten, som tilsvarer grafens momentane vekst. Legg merke til forskjellen fra oppgave c der man fant gjennomsnittet.

Oppgave 2

a)

Bruker funksjonene i Excel og får følgende statistikk:

b)

Mennene er 6-7 år eldre enn damene, når de vinner en Oscar. Begge spredningsmålene forteller oss også at det er en mindre aldersvariasjon blant menn.

Oppgave 3

a)

Bruker regresjon i Geogebra og finner at p er 13,53 og q er 0,39.

b)

Fra figuren i a ser man at det vil ta ca. 8 sekunder.

Oppgave 4

a)

Bruker funksjonen Linje (punkt, punkt) i CAS.

Stigningstallet er 11,3

b)

Finner antall landmil: $ 4,5 \cdot \frac{24}{2} =54 $

Postruten var 54 landmil.

Bruker så funksjonen fra a for å gjøre om til kilometer:

$11. 3 \cdot 54 = 610$

Det tilsvarer omtrent 610 kilometer.

Oppgave 5

Det er en FEIL i bildet over:

For å finne hvor mye prosent verdien på aksjen har falt siden Januar 2019 kan vi jo ikke skrive "100*(verdi jan 2019 - verdi feb 2019) / verdi forrige måned" på alle månedene. Denne metoden vil for eksempel fortelle oss at verdien på aksjen som har falt fra 3336.58kr i jan 19 til 1500kr i oktober 19 vil tilsvare et fall på 17.30%. Dette kan da umulig stemme, i og med at 1500kr er mindre enn halvparten av 3336.58kr.

Løsningen på denne oppgaven burde være "100*(verdi jan 19 - verdi denne måneden)/verdi jan 19". Dersom vi gjør dette for samme eksempel som istad vil vi få at aksjen har falt med 54.6%, som høres mye mer fornuftig ut.

Oppgave 6

a)

Havn A hadde flest anløp året rundt og har derfor det høyeste gjennomsnittet.

b)

Vi ser at havn C har stor forskjell på anløp i november - januar kontra sommermånedene. Store variasjoner gir her det største standardavviket.

c)

Fra figuren ser det ut som om antall anløp er det samme hele tiden. Da er standardavviket null.

Oppgave 7

a)

Når noe øker eller minker med en fast prosent per tidsenhet, for eksempel 3% per år, er det en eksponentiell vekst. Dersom det minker er veksten negativ.

b)

Skrittene dobler seg i lengde, derfor er vekstfaktoren 2. Startverdien er 0,5 meter, lengden av det første skrittet. Det første skrittet tilsvarer to i "nulte", derfor opphøyer vi to i 29, ikke 30.

Skritt nr 30 vil da ha en lengde på $S(30) = 0,5\cdot 2^{29} =2,68 \cdot 10^{8}$ meter, eller ca. 268435 kilometer.

c)

Vi bruker Excel og regner ut lengden av alle skrittene, med referanse til en celler der vi prøver oss fram med skrittlengde på det første skrittet. Vi bruker summefunksjonen og justerer den første skrittlengde til summen, som er lengden til månen, stemmer.

Skrittlengde på det første skrittet må være ca. 0,36 meter.

Gå til månen med eksponentielle skritt??? Kunne kanskje funnet et noe mere virkeplighethetsnært problem...

Oppgave 8

a)

Prosentvis endring er forskjell delt på det som var før, ganget med hundre:

$\frac{457 - 380}{380} \cdot 100 = \frac {77}{380} \cdot 100 = 20,3$%

Økningen var på drøye 20%

b)

Her må vi regne oss bakover, og det er geit å bruke vekstfaktor:

$x \cdot 1,16 = 487000 \\ x = \frac{487000}{1,16} = 419828$

Det var 419828 passasjerer i 2017.

c)

Vi finner gjennomsnittlige antall passasjerer per båt i 2017: 419 828 : 380 = 1105

I 2018 var tilsvarende forhold: 487 000 = 457 = 1066

Vi observerer en gjennomsnittlig nedgang på 39 passasjerer. I prosent blir det $ \frac{39}{1105} \cdot 100 = 3,5$ %