1T 2016 vår LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven

Mer diskusjon av denne oppgaven

Løsning av denne oppgaven laget av mattepratbruker LektorH

DEL EN

Oppgave 1

$\frac{1,8 \cdot 10^{12}}{0,0005} = \frac{18 \cdot 10^{11}}{5 \cdot 10^{-4}} = 3,6 \cdot 10^{15}$

Oppgave 2

$(1) \quad 4^{-1} = \frac14 = 0,25 = F \\ (2) \quad 4 \cdot ( \frac14)^0 = 4 \cdot 1 =4 = L \\ (3) \quad lg 0,001 = lg 10^{-3} = -3 = B \\ (4) \quad 5^{\frac 12} = \sqrt{5} = I \\ (5) \quad tan 45^{\circ} = 1 = G \\ (6) \quad \sqrt[3]{27}= \sqrt[3]{3\cdot3\cdot3} =3= K $

Oppgave 3

<math> \left[ \begin{align*}x^2+y^2=2x+3 \\ -x+y=1 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*}x^2+y^2=2x+3 \\ y=x+1 \end{align*}\right] </math>

Setter likning 2 inn i likning en og får:

$x^2+(x+1)^2=2x+3 \\x^2+(x^2+2x+1)-2x-3 =0 \\ 2x^2-2 =0 \\ 2(x+1)(x-1)=0 \\ x=-1 \vee x=1$

Setter inn disse x verdiene i den enkleste likningen (likning to) for å finne tilhørende y verdier.

x = -1: y = x + 1 = -1 + 1 = 0

x = 1: y = x + 1 = 1 + 1 = 2

Løsning ( - 1, 0) og (1, 2).

Oppgave 4

$2x^2+3x>2 \\ 2x^2+3x-2>0 \\ 2(x+2)(x- \frac12)>0$

Fortegnsskjema:

$x \in < \leftarrow, -2> \cup < \frac12, \rightarrow >$

Oppgave 5

a)

$( \sqrt6 - \sqrt3)\cdot (\sqrt6 + \sqrt 3)= 6-3 =3$

(Tredje kvadratsetning.)

b)

$\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{10} - \sqrt{10} \cdot \sqrt 8 = \\ 3\sqrt5 + 2\sqrt5 - \sqrt{80} = \\ 5\sqrt5 - 4\sqrt5= \\ \sqrt5$

Oppgave 6

$\frac{x^2+10x+25}{2x^2-50} = \frac{(x+5)(x+5)}{2(x+5)(x-5)}=\frac{x+5}{2(x-5)}$

Oppgave 7

$2 lg x +8 = 2 - lgx \\ 2lg x + lgx = 2-8 \\ 3lgx = -6 \\ lgx = -2 \\ 10^{lgx} = 10^{-2} \\ x= 10^{-2}= 0,01$

Oppgave 8

$\frac{x}{4x+8} + \frac{1}{12} - \frac{4x+5}{6x+12} = \\ \frac{x}{2\cdot2(x+2)} + \frac {1}{2 \cdot 2 \cdot 3}- \frac{4x+5}{2 \cdot 3 (x+2)}= \\ \frac {3x}{12(x+2)} + \frac {(x-2)}{12(x-2)} -\frac{2(4x+5)}{12(x-2)} = \\ \frac{3x+x+2-8x-10}{12(x+2)} = \\ \frac{-4(x+2)}{12(x+2)} = - \frac 13$

Oppgave 9

a)

P(3 blå) = $\frac {6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac 48 = \frac 16$

b)

Dersom han ikke tar minst en rosa tar han bare blå. Den sannsynligheten kjenner vi fra a. Sannsynligheten for minst en rosa blir da:

P( minst en rosa) = 1 - P( 3 blå) = $\frac 56$

c)

Den rosa ballongen kan trekkes på tre måter, første, andre eller tredje gang:

P( en rosa og to blå) = $3 \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac 69 \cdot \frac 58 = 3 \cdot \frac 16 = \frac 12$, altså 50%.

Oppgave 10

Vi observerer at graf A er den eneste som har et minimum for en negativ x verdi. 2x + 6 = 0 gir løsning for x = - 3, altså er

h(x) funksjonen til graf A.

Graf B har ingen nullpunkter : $b^2 - 4ac < 0$

Vi observerer at $x^2 -2x + 9=0$ ikke har noen løsning, altså er

f(x) funksjonen til graf B.

g(x) er da funksjonen til C.

Oppgave 11

a)

$f´(x)= 3x^2-10x+3 \\ f´(2)= 3\cdot 4 - 10 \cdot 2 +3 = -5$

b)

$f(1)= 1-5+3+4 = 3 \\ f(3)= 27 - 45+9+4 = -5$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac {-5-3}{3-1} = -4$

Oppgave 12

a)

BC = 10

Høyde i grå trekant: $h^2 = 100 - 25 \\ h = \sqrt{75} = 5\sqrt3$

Areal: $A= \frac{Gh}{2} = \frac{10 \cdot 5\sqrt3}{2}= 25 \sqrt3$

b)

Areal av grønn og blå trekant:

$A = \frac{6 \cdot \sqrt{6^2-3^2}}{2} + \frac{8 \cdot \sqrt{8^2-4^2}}{2} = 3\sqrt{27} + 4 \sqrt{48} = \\ 3 \sqrt{9\cdot 3} + 4\sqrt{16 \cdot3} = 9\sqrt3 + 16\sqrt3 = 25 \sqrt 3$

Altså samme svar som i a.

Oppgave 13

Vi leser av figuren:

$cos 53^{\circ} \approx 0,6 \\ sin 53^{\circ} \approx 0,8$

Tangens:

$tan 53^{\circ} \approx \frac 86 \approx 1,33 $

Oppgave 14

a)

Funksjonen har ekstremalpunkter når den deriverte er null. For x = 0 og x = 4 er det tilfelle. x = 0 er et toppunkt fordi den deriverte skifter fra positiv til negativ verdi, og x = 4 er et bunnpunkt fordi den deriverte skifter fra negativ til positiv verdi.

b)

Likningen for en rett linje er y = ax + b

I punktet (2,-3) er den deriverte lik -2. Det gir y= -2x + b

Setter så punktet (2, -3) inn for x og y for å finne b: $ -3 = -2 \cdot 2 +b$ som gir b=1.

Likningen blir da:

y = -2x + 1

Oppgave 1

a)

Definerer g(x)=f(x) siden jeg gav den feil navn i Geogebra:

b)

f(4)= 20149, Fra figuren i a. Det betyr at i 2014 var det ca 20150 registrerte elbiler.

f´(4) = 15245 betyr at økningen i registrerte elbiler i 2014 var ca. 15245.

Oppgave 2

a)

En brukbar modell er f(x)= - 1,3x + 28,9

b)

Modeller tar utgangspunkt i at et gitt antall personer, det samme hvert år, slutter å røyke. I følge modellen vil det derfor ikke være røykere i 2025. Dette er lite trolig. Konklusjonen er at modellen ikke kan brukes i utviklingen mot 2025. En eksponentiell modell ville trolig være bedre.

Oppgave 3

a)

	R1	ikke R1	Total
Fysikk	16	0	16
Ikke Fysikk	4	6	10
Total	20	6	26

b)

Det er fire elever som har R1 og ikke fysikk:

$P(R1 \cap \overline{fysikk}) = \frac{4}{26} = \frac{2}{13}$

c)

Alle elever som har valgt fysikk har også valg R1. Sannsynligheten er 1.

Oppgave 4

a)

Den rette vinkelen kan ligge i B, eller den kan ligge i C.

b)

BC dersom vinkel B er 90 grader: $tan 53 = \frac{BC}{10} \\ BC = 10 \cdot tan 53 = 13,3\approx 13$

BC dersom vinkel C er 90 grader: $sin 53 = \frac{BC}{10} \\ BC = 10 \cdot sin 53 \approx 8$

Oppgave 5

$f(x)= x^3+bx^2+cx+d \\ f´(x) = 3x^2+2bx+c$

Nullpunkt for x=4 gir oss likningen: $4^3+16b+4c+d=0$

Minimumspunkt i (3,-5) gir oss to likninger; f(3)= -5 og f´(3) =0:

$3^3+b3^2+3c+d =-5 \\ 3 \cdot 3^2+6b+c=0$

Da har vi tre likninger med tre ukjente, bruker cas i Geogebra og får:

$b= -5, c =3, d= 4 \\ f(x)= x^3-5x^2+3x+4$

Oppgave 6

Areal av begge kvadrater: $A= x^2 + y^2$

Omkrets av begge: $4x + 4y = 16$ som gir $x= 4-y$

Innsatt i areal:

$A(y) = (4-y)^2 + y^2= 2y^2-8y + 16\\ A´(y) = 4y-8 \\ A´(y)=0 \Rightarrow y = 2$

Det betyr, fra omkretslikningen, at x også er lik 2.

Arealet av kvadratene blir minst når x = y = 2.

Oppgave 7

Firkanten ABCD består av to trekanter der arealet implisitt er gitt.

Bruker først CAS i Geogebra til å finne AD, ved hjelp av cosinussetningen:

Ser bort fra den negative verdien. Bruker så arealsetningen på hver av trekanten og får:

Arealet av firkanten er $\frac{45}{2}$.