S1 2019 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Quiz (diskusjon | bidrag)
Quiz (diskusjon | bidrag)
 
(23 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 123: Linje 123:


[[File: Oppgave6.png]]
[[File: Oppgave6.png]]
Kantene i Pascals trekant er alltid 1-ere. Ellers er et tall i Pascals trekant summen av de to tallene over. Utregning av de to midterste tallene som mangler:
6611=55
495330=165
==Oppgave 7)==
Opplysningene gir oss følgende likningssett, hvor x er prisen for skolegang for ett barn i én måned, og y er prisen for barnehjemsplass for ett barn i én måned.
[2x+y=7004x+3y=1700]
Uttrykker likning I ved y:
y=7002x
Setter inn verdien av y i likning II:
4x+3(7002x)=17004x+21006x=17002x=400x=200
Fra likning I:
y=7002200=700400=300
Per barn per måned koster det 200kr for skolegang og 300kr for barnehjemsplass. For 20 barn blir det totalt:
20200kr+20300kr=4000kr+6000kr=10000kr
Klassen til Kari må samle inn 10 000 kr hver måned.
==Oppgave 8)==
===a)===
K(x)=0,2x2+50x+2000K(x)=0,4x+50K(100)=0,4100+50=40+50=90
K(100)=90 og dette forteller oss at kostnaden av å øke produksjonen fra 100 til 101 enheter er 90 kr.
===b)===
O(x)=0,3x2+90x2000O(x)=0,6x+90
Finner ekstremalpunktet for O(x):
O(x)=00,6x+90=00,6x=90x=900,6x=9006x=150
[[File: Oppgave8b.png]]
Vi ser at O(x) har et toppunkt i x=150. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er 150 enheter.
===c)===
O(x)=I(x)K(x)I(x)=O(x)+K(x)
I(x)=(0,3x2+90x2000)+(0,2x2+50x+2000)I(x)=0,3x2+0,2x2+90x+50x2000+2000I(x)=0,1x2+140x
I(100)=0,11002+140100=0,110000+14000=1000+14000=13000
Inntekten ved produksjon og salg av 100 enheter per dag er 13 000 kr.
===d)===
O(x)=I(x)K(x)
O(x)=0,1x2+ax(0,2x2+50x+2000)O(x)=0,1x20,2x2+ax50x2000O(x)=0,3x2+(a50)x2000
O(x)=0,6x+a50
Overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 100 enheter per dag, altså har vi:
O(100)=0
0,6100+a50=060+a50=0a=110
Verdien til a er 110.
==Oppgave 9==
===a)===
La x være antall pakker av type A, og y være antall pakker av type B.
Klassen bruker 3 esker fargestifter per Pakke A, og 2 esker fargestifter per Pakke B. Klassen har maksimalt 70 esker fargestifter.
3x+2y702y703xy1,5x+35
Klassen bruker 2 sprettballer per Pakke A, og 4 sprettballer per Pakke B. Klassen har maksimalt 72 sprettballer.
2x+4y724y722xy0,5x+18
Klassen bruker 2 hoppestrikker per Pakke A, og 3 hoppestrikker per Pakke B. Klassen har maksimalt 60 hoppestrikker
2x+3y603y602xy2x3+20
I tillegg har vi x0 og y0 fordi klassen må lage 0 eller flere gavepakker (kan ikke lage et negativt antall gavepakker).
Dersom vi tegner disse fem ulikhetene i samme koordinatsystem, vil det skraverte området oppfylle alle ulikhetene samtidig.
===b)===
Vi sjekker de fire hjørnene i det skraverte området for å se hvilken fordeling av x og y som gir maksimalt antall gavepakker, x+y.
Hjørnet i (0,18) gir 0+18=18 pakker totalt.
Hjørnet i (12,12) gir 12+12=24 pakker totalt.
Hjørnet i (18,8) gir 18+8=26 pakker totalt.
Hjørnet i ca. (23.5 ,0) gir 23+0=23.5 pakker totalt.
Det maksimale antall gavepakker klassen kan lage er 18 pakker av type A og 8 pakker av type B, til sammen 26 pakker totalt.
=DEL 2=
==Oppgave 1)==
===a)===
Utfører regresjonsanalyse i Geogebra.
[[File: oppg1exp.png]]
En eksponentiell modell brukes ofte for befolkningsvekst, og gir g(x)=613.61.017x. Vi kan se i statistikken (trykk på Σx i Geogebra) at modellen passer godt fordi R2=0.9962.
[[File: oppg1lin.png]]
En lineær modell passer likevel enda bedre til dataene i dette tilfelle (R2=0.997), og gir g(x)=10.97x+613.34.
===b)===
[[File: oppg1b.png]]
===c)===
[[File: oppg1c.png]]
Bruker CAS i Geogebra. Husk at folketallet i modellen f er oppgitt i tusener.
Ifølge modellen f vil folketallet passere 1 million etter 26,1 år. Denne oppgaven kan også løses grafisk.
===d)===
Definerer modellen h(x) for befolkningsveksten i Stockholm (linje 2 i CAS).
[[File: oppg1d.png]]
p må være 0,398 dersom Oslo skal ha samme folketall som Stockholm i januar 2050. Det vil si at Stockholm må ha en vekst i folketallet på 0,398% per år.
==Oppgave 2)==
La x være antall elbiler i 2018 og y være antall bensinbiler i 2018.
[[File: oppg2del2.png]]
Forhandleren solgte 28 elbiler og 34 bensinbiler i 2018.
==Oppgave 3)==
Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra i hele oppgaven.
===a)===
[[File: oppg3a.png]]
Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på minst 8 av de 10 skuddene fra liggende stilling er ca. 93%.
===b)===
Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 9 skudd fra liggende stilling:
[[File: oppg3b1.png]]
Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 8 skudd fra stående stilling:
[[File: oppg3b2.png]]
P(9 treff liggende og 8 treff stående)=0.38740.2856=0.11
Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 9 skudd fra liggende stilling og nøyaktig 8 skudd fra stående stilling er 11%.
===c)===
For at Jonas skal treffe blink på minst 19 av 20 skudd, må han treffe enten 9 liggende og 10 stående, 10 liggende og 9 stående, eller 10 liggende og 10 stående. Finner sannsynligheten for hver hendelse i sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.
[[File: oppg3c1.png]]
[[File: oppg3c2.png]]
Bruker CAS for å regne ut P(minst 19 av 20 treff) = P(9 treff liggende)*P(10 treff stående) + P(10 treff liggende)*P(9 treff stående) + P(10 treff liggende)*P(10 treff stående)
[[File: oppg3c3.png]]
Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på minst 19 av 20 skudd er 24,5%.
==Oppgave 4)==
===a)===
[[File: oppg4a1.png]]
===b)===
Tangentene til f er parallelle med x-aksen der den deriverte er lik 0, altså i ekstremalpunktene.
[[File: oppg4b.png]]
A=(-1,2) og B=(1,-2)
===c)===
[[File: oppg4c.png]]
De to tangentene er y=9x+16 og y=9x16
===d)===
[[File: oppg4d.png]]
Dersom a=13 er g(x)=0 i bare ett punkt, og grafen til g har derfor bare én tangent som er parallell med x-aksen.

Siste sideversjon per 29. des. 2019 kl. 11:38

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Svein Arneson

Løsningsforslag del 1 laget av Emilga

Løsningsforslag del 2 laget av Kristian Saug

Oppgaven som pdf

DEL 1

Oppgave 1)

a)

x2+4x12=0(x2)(x+6)=0x=6x=2

b)

lg(52x)=152x=102x=5x=52

Oppgave 2)

x22x<0

Finner nullpunktene.

x(x2)=0x=0x=2

x22x<0 når 0<x<2

Oppgave 3)

x2+4y=4x4x2y=6

Ganger likning II med 2 og bruker addisjonsmetoden.

Likning II ganger 2:

8x4y=12

Legger sammen likningene:

x2+4y+8x4y=4x+12x2+4x12=0x1=6x2=2

(Samme likning som i oppgave 1a)

Gjør om likning II:

4x2y=62y=64xy=3+2x

Setter inn de to x-verdiene:

y1=3+2(6)=15

y2=3+22=1

Løsninger:

x1=6,y1=15x2=2,y2=1

Oppgave 4)

a)

(a+2)3a(a+2)2=(a+2)(a+2)2a(a+2)2=(a+2)2((a+2)a)=(a2+4a+4)2=2a2+8a+8

b)

x+1x+2x+1x1x+5x2+x2

=(x+1)(x1)(x+2)(x1)(x+1)(x+2)(x1)(x+2)x+5(x+2)(x1)

=x21(x+2)(x1)x2+3x+2(x1)(x+2)x+5(x+2)(x1)

=(x21)(x2+3x+2)(x+5)(x+2)(x1)

=x21x23x2x5(x+2)(x1)

=4x8(x+2)(x1)

=4(x+2)(x+2)(x1)

=4x1=41x

c)

2lg(2x2)+lg5xlg(2x3)

2lg2+2lg(x2)+lg5lgx(lg2+lg(x3))

2lg2+4lgx+lg5lgxlg23lgx

lg2+lg5=lg(25)=lg10=1

Oppgave 5)

a)

(73)(52)=7653215421=3510=350

Det er mulig å sette sammen 350 komiteer.

b)

P(Anne og Jens)=3725=635

Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen er 635

c)

P(Anne eller Jens) = P(Anne men ikke jens) + P(Jens men ikke Anne)

=3735+4725=935+835=1735

Sannsynligheten for at én av dem blir med i komiteen er 1735

Oppgave 6)

Kantene i Pascals trekant er alltid 1-ere. Ellers er et tall i Pascals trekant summen av de to tallene over. Utregning av de to midterste tallene som mangler:

6611=55

495330=165

Oppgave 7)

Opplysningene gir oss følgende likningssett, hvor x er prisen for skolegang for ett barn i én måned, og y er prisen for barnehjemsplass for ett barn i én måned.

[2x+y=7004x+3y=1700]

Uttrykker likning I ved y:

y=7002x

Setter inn verdien av y i likning II:

4x+3(7002x)=17004x+21006x=17002x=400x=200

Fra likning I:

y=7002200=700400=300

Per barn per måned koster det 200kr for skolegang og 300kr for barnehjemsplass. For 20 barn blir det totalt:

20200kr+20300kr=4000kr+6000kr=10000kr

Klassen til Kari må samle inn 10 000 kr hver måned.

Oppgave 8)

a)

K(x)=0,2x2+50x+2000K(x)=0,4x+50K(100)=0,4100+50=40+50=90

K(100)=90 og dette forteller oss at kostnaden av å øke produksjonen fra 100 til 101 enheter er 90 kr.

b)

O(x)=0,3x2+90x2000O(x)=0,6x+90

Finner ekstremalpunktet for O(x):

O(x)=00,6x+90=00,6x=90x=900,6x=9006x=150

Vi ser at O(x) har et toppunkt i x=150. Den produksjonsmengden som gir størst overskudd er 150 enheter.

c)

O(x)=I(x)K(x)I(x)=O(x)+K(x)

I(x)=(0,3x2+90x2000)+(0,2x2+50x+2000)I(x)=0,3x2+0,2x2+90x+50x2000+2000I(x)=0,1x2+140x

I(100)=0,11002+140100=0,110000+14000=1000+14000=13000

Inntekten ved produksjon og salg av 100 enheter per dag er 13 000 kr.

d)

O(x)=I(x)K(x)

O(x)=0,1x2+ax(0,2x2+50x+2000)O(x)=0,1x20,2x2+ax50x2000O(x)=0,3x2+(a50)x2000

O(x)=0,6x+a50

Overskuddet er størst når bedriften produserer og selger 100 enheter per dag, altså har vi:

O(100)=0

0,6100+a50=060+a50=0a=110

Verdien til a er 110.

Oppgave 9

a)

La x være antall pakker av type A, og y være antall pakker av type B.

Klassen bruker 3 esker fargestifter per Pakke A, og 2 esker fargestifter per Pakke B. Klassen har maksimalt 70 esker fargestifter.

3x+2y702y703xy1,5x+35

Klassen bruker 2 sprettballer per Pakke A, og 4 sprettballer per Pakke B. Klassen har maksimalt 72 sprettballer.

2x+4y724y722xy0,5x+18

Klassen bruker 2 hoppestrikker per Pakke A, og 3 hoppestrikker per Pakke B. Klassen har maksimalt 60 hoppestrikker

2x+3y603y602xy2x3+20

I tillegg har vi x0 og y0 fordi klassen må lage 0 eller flere gavepakker (kan ikke lage et negativt antall gavepakker).

Dersom vi tegner disse fem ulikhetene i samme koordinatsystem, vil det skraverte området oppfylle alle ulikhetene samtidig.

b)

Vi sjekker de fire hjørnene i det skraverte området for å se hvilken fordeling av x og y som gir maksimalt antall gavepakker, x+y.

Hjørnet i (0,18) gir 0+18=18 pakker totalt.

Hjørnet i (12,12) gir 12+12=24 pakker totalt.

Hjørnet i (18,8) gir 18+8=26 pakker totalt.

Hjørnet i ca. (23.5 ,0) gir 23+0=23.5 pakker totalt.

Det maksimale antall gavepakker klassen kan lage er 18 pakker av type A og 8 pakker av type B, til sammen 26 pakker totalt.

DEL 2

Oppgave 1)

a)

Utfører regresjonsanalyse i Geogebra.

En eksponentiell modell brukes ofte for befolkningsvekst, og gir g(x)=613.61.017x. Vi kan se i statistikken (trykk på Σx i Geogebra) at modellen passer godt fordi R2=0.9962.

En lineær modell passer likevel enda bedre til dataene i dette tilfelle (R2=0.997), og gir g(x)=10.97x+613.34.

b)

c)

Bruker CAS i Geogebra. Husk at folketallet i modellen f er oppgitt i tusener.

Ifølge modellen f vil folketallet passere 1 million etter 26,1 år. Denne oppgaven kan også løses grafisk.

d)

Definerer modellen h(x) for befolkningsveksten i Stockholm (linje 2 i CAS).

p må være 0,398 dersom Oslo skal ha samme folketall som Stockholm i januar 2050. Det vil si at Stockholm må ha en vekst i folketallet på 0,398% per år.

Oppgave 2)

La x være antall elbiler i 2018 og y være antall bensinbiler i 2018.

Forhandleren solgte 28 elbiler og 34 bensinbiler i 2018.

Oppgave 3)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra i hele oppgaven.

a)

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på minst 8 av de 10 skuddene fra liggende stilling er ca. 93%.

b)

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 9 skudd fra liggende stilling:

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 8 skudd fra stående stilling:

P(9 treff liggende og 8 treff stående)=0.38740.2856=0.11

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 9 skudd fra liggende stilling og nøyaktig 8 skudd fra stående stilling er 11%.

c)

For at Jonas skal treffe blink på minst 19 av 20 skudd, må han treffe enten 9 liggende og 10 stående, 10 liggende og 9 stående, eller 10 liggende og 10 stående. Finner sannsynligheten for hver hendelse i sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

Bruker CAS for å regne ut P(minst 19 av 20 treff) = P(9 treff liggende)*P(10 treff stående) + P(10 treff liggende)*P(9 treff stående) + P(10 treff liggende)*P(10 treff stående)

Sannsynligheten for at Jonas treffer blink på minst 19 av 20 skudd er 24,5%.

Oppgave 4)

a)

b)

Tangentene til f er parallelle med x-aksen der den deriverte er lik 0, altså i ekstremalpunktene.

A=(-1,2) og B=(1,-2)

c)

De to tangentene er y=9x+16 og y=9x16

d)

Dersom a=13 er g(x)=0 i bare ett punkt, og grafen til g har derfor bare én tangent som er parallell med x-aksen.