2P 2018 høst LØSNING

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL EN

Oppgave 1

1, 5, 1, 3, 3, 1, 4, 2, 4, 0

I stigende rekkefølge:

0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5

Medianverdi blir gjennomsnittet av tall fem og seks, altså: $\frac{2+3}{2} = 2,5$

Typetall: 1 (den verdi det er mest av)

Gjennomsnitt, Summen av verdier, delt på antall verdier. $\frac{0+1+1+1+2+3+3+4+4+5}{10}= \frac{24}{10}= 2,4$

Variasjonsbredde er største verdi minus minste verdi: 5 - 0 = 5.

Oppgave 2

Dersom 5% tilsvarer 40 kroner er 1% $\frac{40}{5} = 8$kr. Varen kostet $100 \cdot 8\, kr = 800 \, kr.$ før den ble satt opp.

Oppgave 3

Kaffe i norge: 1 920 000 liter

Kopp: 1,5 desiliter

1 920 000 l = 19 200 000 dl = $1,92 \cdot 10^7$

Deler totalvolumet på volumet av en kopp:

Det drikkes $\frac{1,92 \cdot 10^7}{1,5} = 1,28 \cdot 10^7$ kopper kaffe i Norge daglig.

Oppgave 4

$3^3 \cdot \frac 19 - 2^3(4-1) = \\ 27 \cdot \frac 19 - 8 \cdot 3 = \\ 3 - 24 = - 21$

Oppgave 5

a)

I kamp nr. 4 scoret hun 21 - 15 = 6 mål.

b)

På 6 kamper scoret hun totalt 30 mål. Det blir i snitt $\frac{30}{6} = 5$ mål per kamp.

Oppgave 6

a)

For å finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet i klassedelt materiale må vi anta at verdiene fordeler seg jevnt i hver klasse.

Vi multipliserer klassemidtpunktene med frekvensene, summerer og dividerer på det totale antall, som i dette tilfelle er 14:

$5 \cdot 4 = 20 \\ 12,5 \cdot 3 = 37,5 \\ 17,5 \cdot 3 =52,5 \\ 25 \cdot 4 = 100 \\ 20 + 37,5 + 52,5 + 100 = 210 \\ 210:14 =15$

b)

$Histogramhøyde = \frac{Frekvens}{Klassebredde}$

Husk at det er arealet av "søylene" som er viktig. Høyde gange bredde gir frekvensen i hver enkelt klasse.

Oppgave 7

a)

Dersom man løper med 10 km/h bruker man $\frac{1}{10}$ time på 1 km. 1/10 time tilsvar 6 min, siden det er 60 min i en time.

b)

$\frac{1}{12}$ time gir 5 min på en km.

c)

d)

Hun bruker 53 min på 10 km. altså brukte hun i snitt 5,3 min per km, eller 5 min og 18 sekunder.

Oppgave 8

a)

Figur 4.

b)

Små kvadrater i figur fem:

I denne type oppgave ser jeg alltid etter systemer. Vi ser at alle figurene har et kvadrat der sidekantene tilsvarer figurnummer i antall små kvadrater. Det blir 5 gange 5 som er 25. I tillegg har figuren to rader med små kvadrater som begge har ett mere enn figurtallet, altså 6 +6 = 12.

25 + 12 = 37 små kvadrater i figur 5.

c)

Vi tar utgangspunkt i figur nr. 3. Vi ser at vi kan dele alle figurene inn i tre områder, 1, 2 og 3. Fordi vi har figur nr.3 prøver vi nå å uttrykke antall små kvadrater med 3. Vi ser at:

Område 1: $3 \cdot 3$

Område 2: 3 + 1

Område 3: 3 + 1

For å finne et uttrykk for figur n, erstatter vi alle 3 tall med n og legger sammen:

$(n \cdot n) + (n+1) + (n+1) = n^2 +2n + 2 $

Vi kan døpe utrykket over til A, antall som funksjon av n og får:

$A(n) = n^2 +2n +2$

d)

$A(n) = n^2 +2n +2 \\ A(100) = 100^2 + 2 \cdot 100 + 2 \\ A(100)= 10000 + 200 +2 \\ A(100)=10202 $

DEL TO

Oppgave 1

a)

b)

Verdien var lavere enn 92 kroner i ca. 6 uker, fra slutten av uke to til starten av uke ni.

c)

Verdien varierte mellom 81,6 kroner og 163 kroner. Forskjellen var 81, 4 kroner.

d)

163 - 118 = 45

Aksjen steg med 45 kroner denne perioden. Gjennomsnittlig vekst per uke blir $\frac{45 \, kr }{30 \, uker} = 1,5$ kroner/uke.

e)

Dag nr. 154 $(22 \cdot 7) $ i 2017 avtar verdien av aksjen med 0,58 kroner.

Oppgave 2

Her må man lese av diagrammet så godt man kan. Så lenge man viser utregningen og tankegang er det ikke så farlig om man leser av litt feil. Diagrammet er i utgangspunktet ikke svært nøyaktig.

2006 : ca. 155 minutter.

2016: ca. 65 minutter.

(lest av fra blågrå kurve) Dersom du har litt andre tall vil utregningen bli litt forskjellig, men det gjør ikke noe da dette er sånn cirka hele veien.

Nedgang i seertid var ca. 90 minutter.

I prosent blir nedgangen da $\frac{90}{155} = 0,58$, som er 58%.

Oppgave 3

a)

Når rente for 2018 er godskrevet , vil han i starten på 2019 ha 53 110 kroner på konto (se figur over).

b)

I starten på 2023, når rentene for 2022 er godskrevet, passerer han 60 000 kroner.

Det går altså ca. 12 år.

c)

Han kan ta 16 uttak. Det første i 2040 og det siste i 2055.

Oppgave 4

a)

Modellen passer godt.

b)

Tanken er full når vannhøyden er 10 meter. Det tar 28,14 timer, se figur i a.

Det pumpes inn $18 m^3 = 18 000$ liter per time. Når den er full er det $18000 \frac{liter}{time}\cdot 28,14 timer = 506520 $ liter i tanken.

Oppgave 5

a)

b)

99,15% er under 90 år. Finner det ved å lese av kumulativ relativ frekvens.

c)

Medianverdien finner man i gruppen 25 - 45 år (30,5% - 57%. fra kumulativ relativ frekvens).

d)

Dersom antallet fordeler seg jevnt i intervallet 25 - 45 er dette ett brukbart estimat på antallet under 30 år. Tallet er summen av alle fra 0 til 25 pluss en fjerdedel i intervallet 25-45 år.

Oppgave 6

Sjekk skalaene på y aksene, her er det lett å bli lurt!!

a)

b)

Se punkt a. (Bruker funksjoner for gjennomsnitt og standardavvik i regnearket).

c)

Det regner mye mere i Brekke (ett av landets mest nedbørrike områder). Derfor er det naturlig at gjennomsnittet her ligger på ca. 250 mm (meningsløst å gi gjennomsnitt og standardavvik med to desimaler som jeg gjorde i a, fordi jeg sikkert har lest litt feil av verdiene i diagrammet).

I brekke er variasjonene store, i Mai måned er nedbørsmengden under 100 mm, mens den i November er nesten 500 mm. At det er store variasjoner i nedbørsmengde fører til et stort standardavvik.

Dersom man ikke sjekker skalaen på y aksen ser det ut som variasjonene i Skjåk er større, men slik er det altså ikke.

Oppgave 7

Situasjon 1

Når noe vokser med en gitt PROSENT per tidsrom er det eksponentiell vekst. Grafen vil stige, sakte i begynnelsen, så brattere og brattere. Dette passer med figur A.

Situasjon 2

Dersom noe minker (avtar , synker) med et gitt ANTALL per tidsrom har vi en lineær sammenheng ( rett linje). Siden det minker er linjen avtagende mot høyre (når tiden øker), altså figur D.

Situasjon 3

Dersom noe vokser hele tiden vil grafen alltid stige. I denne situasjonen vokser det, men veksten blir mindre med tiden. Det betyr at grafen "flater ut" (ikke helt). Dett passer til figur B.

Situasjon 4

Når noe avtar med en fast PROSENT per tidsenhet er det eksponentiell vekst (negativ). Grafen synker mye i begynnelsen og mindre etter som tiden går, men den synker hele tiden. Dette passer med figur F.